14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 1: Bất đẳng thức có đáp án

Câu 1:

Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: $(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 a b c$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

$(a + b) (b + c) (c + a) \geq 2 \sqrt{a b} .2 \sqrt{b c} .2 \sqrt{a c} = 8 a b c$ (đpcm)

Câu 2:

Cho 4 số thực dương a, b, c, d. Chứng minh rằng:

\sqrt{a c} + \sqrt{b d} \leq \sqrt{(a + b) (c + d)}

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

$\begin{matrix} \frac{\sqrt{a c} + \sqrt{b d}}{\sqrt{(a + b) (c + d)}} = \sqrt{\frac{a}{(a + b)} . \frac{c}{(c + d)}} + \sqrt{\frac{b}{(a + b)} . \frac{d}{(c + d)}} \\ \leq \frac{1}{2} (\frac{a}{a + b} + \frac{c}{c + d}) + \frac{1}{2} (\frac{b}{a + b} + \frac{d}{c + d}) = \frac{1}{2} (\frac{a + b}{a + b} + \frac{c + d}{c + d}) = 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow \sqrt{a c} + \sqrt{b d} \leq \sqrt{(a + b) (c + d)}$ (đpcm)

Câu 3:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a > c \\ b > c \end{cases}$ .

Chứng minh rằng

\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có: $\begin{matrix} \frac{\sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)}}{\sqrt{a b}} = \sqrt{\frac{c}{b} . \frac{(a - c)}{a}} + \sqrt{\frac{c}{a} . \frac{(b - c)}{b}} \\ \leq \frac{1}{2} (\frac{c}{b} + \frac{a - c}{a}) + \frac{1}{2} (\frac{c}{a} + \frac{b - c}{b}) \\ \leq \frac{1}{2} (\frac{c}{b} + 1 - \frac{c}{a}) + \frac{1}{2} (\frac{c}{a} + 1 - \frac{c}{b}) = 1 \end{matrix}$

$\Rightarrow \sqrt{c (a - c)} + \sqrt{c (b - c)} \leq \sqrt{a b}$ (đpcm)

Câu 4:

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng: $16 a b {(a - b)}^{2} \leq {(a + b)}^{4}$

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

$16 a b {(a - b)}^{2} = 4. (4 a b) {(a - b)}^{2} \leq 4. {[\frac{4 a b + {(a - b)}^{2}}{2}]}^{2} = 4. {[\frac{{(a + b)}^{2}}{2}]}^{2} = {(a + b)}^{4}$ (đpcm)

Câu 5:

Cho 2 số thực dương a, b. Chứng minh rằng:

a b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq a + b + 1

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có:

$a b + \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = (\frac{a b}{2} + \frac{a}{2 b}) + (\frac{a b}{2} + \frac{b}{2 a}) + (\frac{a}{2 b} + \frac{b}{2 a}) \geq 2 \sqrt{\frac{a b}{2} . \frac{a}{2 b}} + 2 \sqrt{\frac{a b}{2} . \frac{b}{2 a}} + 2 \sqrt{\frac{a}{2 b} . \frac{b}{2 a}} = a + b + 1$ (đpcm)

Câu 6:

Chứng minh rằng:

\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2, \forall a, b > 0

Xem đáp án

Vì $a, b > 0$ nên $\frac{a}{b} > 0, \frac{b}{a} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b} . \frac{b}{a}} = 2$ (đpcm)

Câu 7:

Chứng minh rằng: $a + \frac{1}{a - 1} \geq 3, \forall a > 1$

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

a + \frac{1}{a - 1} = a - 1 + \frac{1}{a - 1} + 1 \geq 2 \sqrt{(a - 1) \frac{1}{a - 1}} + 1 = 2 + 1 = 3

(đpcm)

Câu 8:

Chứng minh rằng: $\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2, \forall a \in R$

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$\frac{a^{2} + 2}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \frac{a^{2} + 1 + 1}{\sqrt{a^{2} + 1}} = \sqrt{a^{2} + 1} + \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}} \geq 2 \sqrt{\sqrt{a^{2} + 1} \frac{1}{\sqrt{a^{2} + 1}}} = 2$ (đpcm)

Câu 9:

Chứng minh rằng: $\frac{3 a^{2}}{1 + 9 a^{4}} \leq \frac{1}{2}, \forall a \neq 0$

Xem đáp án

Với $\forall a \neq 0$ , áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: $\frac{3 a^{2}}{1 + 9 a^{4}} = \frac{1}{\frac{1}{3 a^{2}} + \frac{9 a^{4}}{3 a^{2}}} = \frac{1}{\frac{1}{3 a^{2}} + 3 a^{2}} \leq \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{3 a^{2}} .3 a^{2}}} = \frac{1}{2}$

(đpcm)

Câu 10:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = {(a + 1)}^{2} + {(\frac{a^{2}}{a + 1} + 2)}^{2}, \forall a \neq - 1

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = {(a + 1)}^{2} + {(\frac{a^{2} + 2 a + 2}{a + 1})}^{2} \\ = {(a + 1)}^{2} + {[\frac{{(a + 1)}^{2} + 1}{a + 1}]}^{2} \\ = {(a + 1)}^{2} + {(a + 1 + \frac{1}{a + 1})}^{2} \\ = 2 {(a + 1)}^{2} + \frac{1}{{(a + 1)}^{2}} + 2 \overset{C a u c h y}{} 2 \sqrt{2 {(a + 1)}^{2} \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}} + 2 = 2 \sqrt{2} + 2 \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $2 {(a + 1)}^{2} = \frac{1}{{(a + 1)}^{2}}$ hay $a = \frac{- 2 \pm \sqrt[4]{8}}{2}$

Vậy GTNN của $A = 2 \sqrt{2} + 2$

Câu 11:

Chứng minh rằng:

a + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3, \forall a > b > 0

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$a + \frac{1}{b (a - b)} = b + (a - b) + \frac{1}{b (a - b)} \geq 3 \sqrt[3]{b . (a - b) . \frac{1}{b (a - b)}} = 3$

Câu 12:

Cho ba số thực dương a, b, c. CMR: $\frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} + \frac{a b}{c} \geq a + b + c$

Xem đáp án

Ta có:

\begin{matrix} \frac{b c}{a} + \frac{c a}{b} + \frac{a b}{c} = \frac{1}{2} (\frac{b c}{a} + \frac{c a}{b}) + \frac{1}{2} (\frac{c a}{b} + \frac{a b}{c}) + \frac{1}{2} (\frac{a b}{c} + \frac{b c}{a}) \\ \geq \sqrt{\frac{b c}{a} . \frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{c a}{b} . \frac{a b}{c}} + \sqrt{\frac{a b}{c} . \frac{b c}{a}} = a + b + c \end{matrix}

Câu 13:

Cho ba số thực $a b c \neq 0$ . CMR: $\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} \geq \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c}$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{a^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}}) + \frac{1}{2} (\frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{c^{2}}{a^{2}}) + \frac{1}{2} (\frac{c^{2}}{a^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}}) \\ \geq \sqrt{\frac{a^{2}}{b^{2}} \frac{b^{2}}{c^{2}}} + \sqrt{\frac{b^{2}}{c^{2}} . \frac{c^{2}}{a^{2}}} + \sqrt{\frac{c^{2}}{a^{2}} . \frac{a^{2}}{b^{2}}} = |\frac{b}{a}| + |\frac{c}{b}| + |\frac{a}{c}| \geq \frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} \end{array}$

Câu 14:

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa $a b c = 1$ . CMR $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$

Xem đáp án

$\begin{matrix} \frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \frac{2 \sqrt[]{b c}}{\sqrt{a}} + \frac{2 \sqrt{c a}}{\sqrt{b}} + \frac{2 \sqrt{a b}}{\sqrt{c}} = 2 (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) \\ = (\sqrt{\frac{b c}{a}} + \sqrt{\frac{c a}{b}}) + (\sqrt{\frac{c a}{b}} + \sqrt{\frac{a b}{c}}) + (\sqrt{\frac{a b}{c}} + \sqrt{\frac{b c}{a}}) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \geq 2 \sqrt{\sqrt{\frac{b c}{a}} \sqrt{\frac{c a}{b}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{c a}{b}} \sqrt{\frac{a b}{c}}} + 2 \sqrt{\sqrt{\frac{a b}{c}} \sqrt{\frac{b c}{a}}} \\ = 2 (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) = (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) + (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}) \\ \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \sqrt[3]{\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}} = \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3 \end{matrix}$

Vậy $\frac{b + c}{\sqrt{a}} + \frac{c + a}{\sqrt{b}} + \frac{a + b}{\sqrt{c}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + 3$