5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án

Dạng 2: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên có đáp án

821 lượt thi
5 câu hỏi
50 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho số thực $a \geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của $A = a + \frac{1}{a}$

Sai lầm thường gặp là: $A = a + \frac{1}{a} \geq 2 \sqrt{a . \frac{1}{a}} = 2$ . Vậy GTNN của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 $\Leftrightarrow a = \frac{1}{a} \Leftrightarrow a = 1$ vô lý vì theo giả thuyết thì $a \geq 2$ .

Xem đáp án

Lời giải đúng: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{4} + \frac{1}{a} + \frac{3 a}{4} \geq 2 \sqrt{\frac{a}{4} . \frac{1}{a}} + \frac{3 a}{4} \geq 1 + \frac{3.2}{4} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a}{4} = \frac{1}{a} hay a = 2$

Vậy GTNN của A là $\frac{5}{2}$ .

Vì sao chúng ta lại biết phân tích được như lời giải trên. Đây chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức.

Quay lại bài toán trên, dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt GTNN khi $a = 2$ . Khi đó ta nói A đạt GTNN tại “Điểm rơi ” $a = 2$ . Ta không thể áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho hai số a và $\frac{1}{a}$ vì không thỏa quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách a hoặc $\frac{1}{a}$ để khi áp dụng bất đẳng thức AM - GM thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức AM - GM cho cặp số $(\frac{a}{α}, \frac{1}{a})$ sao cho tại “Điểm rơi ” $a = 2$ thì $\frac{a}{α} = \frac{1}{a}$ , ta có sơ đồ sau:

$a = 2 \Rightarrow \{\begin{cases} \frac{a}{α} = \frac{2}{α} \\ \frac{1}{a} = \frac{1}{2} \end{cases} \Rightarrow \frac{2}{α} = \frac{1}{2} \Rightarrow α = 4$

Khi đó: $A = a + \frac{1}{a} = \frac{a}{4} + \frac{3 a}{4} + \frac{1}{a}$ và ta có lời giải như trên.

Câu 2:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ . Tìm GTNN của $A = a b + \frac{1}{a b}$

Xem đáp án

Ta có:

$\begin{array}{l} a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2} \leq \frac{1}{4} \\ \Rightarrow - a b \geq - \frac{1}{4} \end{array}$

$A = 16 a b + \frac{1}{a b} - 15 a b \geq 2 \sqrt{16 a b \frac{1}{a b}} - 15 a b \geq 8 - 15. \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a b = \frac{1}{4} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là $\frac{17}{4}$

Câu 3:

Cho số thực $a \geq 6$ . Tìm GTNN của $A = a^{2} + \frac{18}{a}$

Xem đáp án

Ta có: $A = \frac{a^{2}}{24} + \frac{9}{a} + \frac{9}{a} + \frac{23 a^{2}}{24} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a^{2}}{24} . \frac{9}{a} . \frac{9}{a}} + \frac{23 a^{2}}{24} \geq \frac{9}{2} + \frac{23.36}{24} = 39$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{24} = \frac{9}{a} \Leftrightarrow a = 6$

Vậy GTNN của A là 39

Câu 4:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + 2 b + 3 c \geq 20$ .

Tìm GTNN của $A = a + b + c + \frac{3}{a} + \frac{9}{2 b} + \frac{4}{c}$

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = (\frac{3 a}{4} + \frac{3}{a}) + (\frac{b}{2} + \frac{9}{2 b}) + (\frac{c}{4} + \frac{4}{c}) + \frac{a}{4} + \frac{b}{2} + \frac{3 c}{4} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{3 a}{4} . \frac{3}{a}} + 2 \sqrt{\frac{b}{2} . \frac{9}{2 b}} + 2 \sqrt{\frac{c}{4} . \frac{4}{c}} + \frac{a + 2 b + 3 c}{4} \\ \geq 3 + 3 + 2 + 5 = 13 \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = 2, b = 3, c = 4$

Vậy GTNN của A là 13

Câu 5:

Cho3 số thực dương a, b, c thỏa $\{\begin{cases} a b \geq 12 \\ b c \geq 8 \end{cases}$ .

Chứng minh rằng:

(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}

Xem đáp án

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

$\begin{array}{l} \frac{a}{18} + \frac{b}{24} + \frac{2}{a b} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{18} . \frac{b}{24} . \frac{2}{a b}} = \frac{1}{2} \\ \frac{a}{9} + \frac{c}{6} + \frac{2}{c a} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a}{9} . \frac{c}{6} . \frac{2}{c a}} = 1 \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{b}{16} + \frac{c}{8} + \frac{2}{b c} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{b}{16} . \frac{c}{8} . \frac{2}{b c}} = \frac{3}{4} \\ \frac{a}{9} + \frac{c}{6} + \frac{b}{12} + \frac{8}{a b c} \geq 4 \sqrt[4]{\frac{a}{9} . \frac{c}{6} . \frac{b}{12} . \frac{8}{a b c}} = \frac{4}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{13 a}{18} + \frac{13 b}{24} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13 a}{18} . \frac{13 b}{24}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13}{18} . \frac{13}{24} .12} = \frac{13}{3} \\ \frac{13 b}{48} + \frac{13 c}{24} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13 b}{48} . \frac{13 c}{24}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{13}{48} . \frac{13}{24} .8} = \frac{13}{4} \end{array}$

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

$(a + b + c) + 2 (\frac{1}{a b} + \frac{1}{b c} + \frac{1}{c a}) + \frac{8}{a b c} \geq \frac{121}{12}$ (đpcm)

Bắt đầu thi ngay