66 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Chuyên đề 1: Căn bậc 2 có đáp án

\sqrt{\frac{28 {(a - 2)}^{2}}{7}}

, với a > 2

Xem đáp án

$\sqrt{\frac{28 {(a - 2)}^{2}}{7}} = \sqrt{4 {(a - 2)}^{2}}$

$= 2 . | (a - 2) | = 2 (a - 2) . D o a > 2 n ê n a - 2 > 0 \Rightarrow | a - 2 | = a - 2$

Câu 4:

A = \sqrt{20} - \sqrt{45} + 3 \sqrt{80}

Xem đáp án

$A = \sqrt{20} - \sqrt{45} + 3 \sqrt{80}$ $= 2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} + 12 \sqrt{5} = 11 \sqrt{5}$

Câu 5:

Tính giá trị biểu thức

T = \sqrt{4} + \sqrt{25} - \sqrt{9}

Xem đáp án

$T = \sqrt{4} + \sqrt{25} - \sqrt{9} = 2 + 5 - 3 = 4$

Câu 6:

Khi x = 7 biểu thức $\frac{4}{\sqrt{x + 2} - 1}$ có giá trị là

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{4}{\sqrt{8}}$

C. $\frac{4}{3}$

D. 2

Xem đáp án

Chọn D

Thay x = 7 (thỏa mãn) vào biểu thức $\frac{4}{\sqrt{x + 2} - 1}$ ta tính được biểu thức có giá trị bằng

$\frac{4}{\sqrt{7 + 2} - 1} = \frac{4}{3 - 1} = 2$

Câu 7:

Tính giá trị biểu thức

$A = 2 \sqrt{48} + 3 \sqrt{75} - 2 \sqrt{108}$

Xem đáp án

$A = 2 \sqrt{48} + 3 \sqrt{75} - 2 \sqrt{108} A = 2 \sqrt{4^{2} .3} + 3 \sqrt{5^{2} .3} - 2 \sqrt{6^{2} .3} A = 2.4. \sqrt{3} + 3.5 \sqrt{3} - 2.6 \sqrt{3} A = 8 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} A = (8 + 15 - 12) \sqrt{3} = 11 \sqrt{3}$

Vậy $A = 11 \sqrt{3} .$

Câu 8:

Tính giá trị biểu thức

B = \sqrt{19 + 8 \sqrt{3}} + \sqrt{19 - 8 \sqrt{3}}

Xem đáp án

$B = \sqrt{19 + 8 \sqrt{3}} + \sqrt{19 - 8 \sqrt{3}} B = \sqrt{4^{2} + 2.4. \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}} + \sqrt{4^{2} - 2.4. \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}} B = \sqrt{{(4 + \sqrt{3})}^{2}} + \sqrt{{(4 - \sqrt{3})}^{2}} B = | 4 + \sqrt{3} | + | 4 - \sqrt{3} | B = 4 + \sqrt{3} + 4 - {\sqrt{3}}^{} (4 + \sqrt{3} > 0; 4 - \sqrt{3} > 0) B = 8$

Vậy B = 8.

Câu 9:

Rút gọn biểu thức:

$A = \sqrt{45} - 2 \sqrt{20}$

Xem đáp án

$A = \sqrt{45} - 2 \sqrt{20} = \sqrt{3^{2} .5} - 2 \sqrt{2^{2} .5} = 3 \sqrt{5} - 2.2 \sqrt{5} = - \sqrt{5}$

Câu 10:

B = \frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{27}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} - \sqrt{{(3 - \sqrt{12})}^{2}}

Xem đáp án

$B = \frac{3 \sqrt{5} - \sqrt{27}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} - \sqrt{{(3 - \sqrt{12})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{3}}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} - |3 - \sqrt{12}| = \frac{3 (\sqrt{5} - \sqrt{3})}{\sqrt{3} - \sqrt{5}} - (- 3 + \sqrt{12})$

(do $3^{2} < 12 \Rightarrow 3 < \sqrt{12}$ )

$= - 3 + 3 - \sqrt{12} = - \sqrt{12} = - 2 \sqrt{3}$

Câu 11:

A = \sqrt{27} - \sqrt{12}

Xem đáp án

$A = \sqrt{27} - \sqrt{12} A = 3 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} A = \sqrt{3}$

Câu 12:

Giá trị rút gọn của biểu thức $P = 2 \sqrt{27} + \sqrt{300} - 3 \sqrt{75}$

A. $31 \sqrt{3} .$

B. $\sqrt{3} .$

C. $8 \sqrt{3} .$

D. $- 3 \sqrt{3} .$

Xem đáp án

Chọn B

$P = 2 \sqrt{27} + \sqrt{300} - 3 \sqrt{75} = 6 \sqrt{3} + 10 \sqrt{3} - 15 \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Câu 13:

Điều kiện của x đề biểu thức $\sqrt{2 x - 4}$ có nghĩa là

A. $x \geq - \frac{1}{2} .$

B. $x \geq 2.$

C. $x \geq - 2.$

D. $x \geq \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

Chọn B

Biểu thức $\sqrt{2 x - 4}$ có nghĩa khi và chỉ khi: $2 x - 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$

Câu 14:

A = \sqrt{32} - \sqrt{6} . \sqrt{3} + \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{11}}

Xem đáp án

$A = \sqrt{32} - \sqrt{6} . \sqrt{3} + \frac{\sqrt{22}}{\sqrt{11}} = 4 \sqrt{2} - \sqrt{2} . \sqrt{3} . \sqrt{3} + \sqrt{\frac{22}{11}}$

$= 4 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} + \sqrt{2}$

$= 2 \sqrt{2}$

Câu 15:

Rút gọn:

A = (\sqrt{5} - 3) (\sqrt{5} + 3) + 6

Xem đáp án

$A = {(\sqrt{5})}^{2} - 3^{2} + 6 = 5 - 9 + 6 = 2$

Câu 16:

P = \sqrt{5} (\sqrt{5} + 2) - \sqrt{20}

Xem đáp án

$P = \sqrt{5} (\sqrt{5} + 2) - \sqrt{20} = \sqrt{5} . \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} = 5$

Vậy P = 5.

Câu 17:

A = \frac{4 + \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}}

Xem đáp án

$A = \frac{4 + \sqrt{8} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6}}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{4 + 3 \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{3}}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) + (2 \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2} . \sqrt{3})}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2} - \sqrt{3})}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2})}{2 + \sqrt{2} - \sqrt{3}} = 1 + \sqrt{2}$

Vậy A = $= 1 + \sqrt{2}$

Câu 18:

Rút gọn biểu thức sau:

$3 \sqrt{4} + 2 \sqrt{25} - 4 \sqrt{9}$

Xem đáp án

$3 \sqrt{4} + 2 \sqrt{25} - 4 \sqrt{9} = 3.2 + 2.5 - 4.3 = 4$

Câu 19:

Rút gọn biểu thức sau:

$3 \sqrt{3} + 5 \sqrt{12} - 2 \sqrt{27}$

Xem đáp án

$3 \sqrt{3} + 5 \sqrt{12} - 2 \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} + 5.2 \sqrt{3} - 2.3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} + 10 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} = 7 \sqrt{3}$

Câu 20:

K = \sqrt{9} + \sqrt{45} - 3 \sqrt{5}

Xem đáp án

$K = \sqrt{9} + \sqrt{45} - 3 \sqrt{5} = 3 + 3 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} = 3$

Câu 21:

Tính giá trị của biểu thức sau:

Q = \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} + \frac{x + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}}

(với x > 0)

Xem đáp án

$Q = \frac{x - 4}{\sqrt{x} + 2} + \frac{x + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} + 2) . (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 2 = 2 \sqrt{x}$

Câu 22:

\sqrt{4} + 3

Xem đáp án

$\sqrt{4} + 3 = 2 + 3 = 5$

Câu 23:

Tính giá trị của biểu thức sau:

$\sqrt{5} + \sqrt{{(6 - \sqrt{5})}^{2}}$

Xem đáp án

$\sqrt{5} + \sqrt{{(6 - \sqrt{5})}^{2}} = \sqrt{5} + |6 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} + 6 - \sqrt{5} = 6$

Câu 24:

Tính

\sqrt{27} + 4 \sqrt{12} - \sqrt{3}

Xem đáp án

$\sqrt{27} + 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} + 8 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 10 \sqrt{3}$

Câu 25:

Tính giá trị của biểu thức sau

$A = \sqrt{16} - \sqrt{4}$

Xem đáp án

$A = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$

Câu 26:

Tính giá trị của biểu thức sau

$B = \sqrt{5} (\sqrt{5} - 3) + 3 \sqrt{5}$

Xem đáp án

$B = \sqrt{5} (\sqrt{5} - 3) + 3 \sqrt{5} = 5 - 3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5} = 5$

Câu 27:

Tính giá trị của biểu thức sau

$C = \sqrt{{(\sqrt{2} - 5)}^{2}} + \sqrt{2}$

Xem đáp án

$C = \sqrt{{(\sqrt{2} - 5)}^{2}} + \sqrt{2} = |\sqrt{2} - 5| + \sqrt{2} = - (\sqrt{2} - 5) + \sqrt{2} = - \sqrt{2} + 5 + \sqrt{2} = 5$

Câu 28:

Rút gọn biểu thức sau:

$A = (\sqrt{12} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{3} + \sqrt{60} .$

Xem đáp án

$A = (\sqrt{12} - 2 \sqrt{5}) \sqrt{3} + \sqrt{60} = \sqrt{36} - 2 \sqrt{15} + 2 \sqrt{15} = \sqrt{36} = 6$

Câu 29:

Rút gọn biểu thức sau:

B = \frac{\sqrt{4 x}}{x - 3} . \sqrt{\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x}}

với 0 < x < 3

Xem đáp án

Với 0 < x < 3 thì

|x - 3| = 3 - x

B = \frac{\sqrt{4 x}}{x - 3} . \sqrt{\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x}} = \frac{2 \sqrt{x}}{x - 3} . \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{x}} = \frac{- 2 \sqrt{x}}{3 - x} . \frac{|x - 3|}{\sqrt{x}} = \frac{- 2 \sqrt{x} (3 - x)}{(3 - x) \sqrt{x}} = - 2

Câu 30:

P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{3}{\sqrt{x} - 3} + \frac{6 \sqrt{x}}{x - 9}

(với

x \geq 0, x \neq 9

)

Xem đáp án

$P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{3}{\sqrt{x} - 3} + \frac{6 \sqrt{x}}{x - 9}$

$\begin{array}{l} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} - \frac{3 (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} + \frac{6 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} \\ = \frac{x - 3 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} - 9 + 6 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} \\ = \frac{x - 9}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} = \frac{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 3)} = 1 \end{array}$

Vậy P = 1.

Câu 31:

Rút gọn biểu thức :

P = (\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{a}}) (\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1})

với a > 0 và

a \neq 1

Xem đáp án

P = (\frac{\sqrt{a}}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{a}}) (\frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1} - \frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1})

với a > 0 và

a \neq 1

= \frac{a - 1}{2 \sqrt{a}} . \frac{{(\sqrt{a} - 1)}^{2} - {(\sqrt{a} + 1)}^{2}}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)} = \frac{a - 1}{2 \sqrt{a}} . \frac{- 4 \sqrt{a}}{a - 1} = - 2

Vậy P = -2.

Câu 32:

A = \sqrt{12} + \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}

Xem đáp án

$\begin{array}{l} A = \sqrt{12} + \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \\ A = 2 \sqrt{3} + |\sqrt{2} - 1| - \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})} \\ = 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} - 1 - \sqrt{3} - \sqrt{2} \\ = \sqrt{3} - 1 \end{array}$

Câu 33:

Cho biểu thức $B = \frac{1}{x + \sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}}$ với x > 0 và $x \neq 1$ . Rút gọn biểu thức B và tìm x để B = 8.

Xem đáp án

$\begin{array}{l} B = \frac{1}{x + \sqrt{x}} + \frac{2 \sqrt{x}}{x - 1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \\ B = \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1)} + \frac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \\ B = \frac{\sqrt{x} - 1 + 2 x - \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} \\ B = \frac{2 x - 2}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{2 (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{2}{\sqrt{x}} \end{array}$

$B = 8 \Leftrightarrow \frac{2}{\sqrt{x}} = 8 \Leftrightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = \frac{1}{6} (T M Đ K)$

Câu 34:

P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2}) . (x - 4)

(với

x \geq 0

và

x \neq 4

)

Xem đáp án

P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2}) . (x - 4)

(với

x \geq 0

và

x \neq 4

)

\begin{array}{l} P = (\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} + \frac{2 (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}) . (x - 4) \\ = \frac{x - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} + 4}{x - 4} . (x - 4) \\ = x + 4 \end{array}

Câu 35:

Cho biểu thức:

A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{5}{x + \sqrt{x} - 6} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}

b) Tìm giá trị của của A khi

x \geq 0; x \neq 4.

a) Rút gọn A

x = 6 + 4 \sqrt{2}

Xem đáp án

a) $A = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 3} - \frac{5}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}$

$= \frac{x - 4 - 5 - (\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{x - \sqrt{x} - 12}{(\sqrt{x} + 3) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} - 2}$

b) $x = 6 + 4 \sqrt{2} = {(2 + \sqrt{2})}^{2}$ (TMĐK)

$\sqrt{x} = 2 + \sqrt{2}$ thay vào A ta được $A = \frac{(2 + \sqrt{2}) - 4}{(2 + \sqrt{2}) - 2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}$

Vậy với $x = 6 + 4 \sqrt{2}$ thì $A = 1 - \sqrt{2}$

Câu 36:

Tìm giá trị của x sao cho biểu thức A = x - 1 có giá trị dương.

Xem đáp án

Ta có A có giá trị dương $\Leftrightarrow A > 0 \Leftrightarrow x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1$

Vậy x > 1 thì A có giá trị dương

Câu 37:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, tính giá trị biểu thức

B = 2 \sqrt{2^{2} .5} - 3 \sqrt{3^{2} .5} + 4 \sqrt{4^{2} .5}

Xem đáp án

$B = 2 \sqrt{2^{2} .5} - 3 \sqrt{3^{2} .5} + 4 \sqrt{4^{2} .5} = 2 \sqrt{2^{2} .5} - 3 \sqrt{3^{2} .5} + 4 \sqrt{4^{2} .5} = 2.2 \sqrt{5} - 3.3 \sqrt{5} + 4.4 \sqrt{5} = 4 \sqrt{5} - 9 \sqrt{5} + 16 \sqrt{5} = 11 \sqrt{5}$

Vậy B = $11 \sqrt{5}$

Câu 38:

C = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) {(\frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a})}^{2}

a \geq 0

và

a \neq 1

Xem đáp án

ĐKXĐ: $a \geq 0$ ; $a \neq 1$

$C = (\frac{1 - a \sqrt{a}}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}) {(\frac{1 - \sqrt{a}}{1 - a})}^{2} = [\frac{(1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a} + a)}{1 - \sqrt{a}} + \sqrt{a}] . {[\frac{1 - \sqrt{a}}{(1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a})}]}^{2} = (1 + \sqrt{a} + a + \sqrt{a}) . {(\frac{1}{1 + \sqrt{a}})}^{2} = (1 + 2 \sqrt{a} + a) . {(\frac{1}{1 + \sqrt{a}})}^{2} = {(1 + \sqrt{a})}^{2} . {(\frac{1}{1 + \sqrt{a}})}^{2} = 1$

Vậy với $a \geq 0$ ; $a \neq 1$ thì B = 1.

Câu 39:

Cho

A = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1}

Tính giá trị của biếu thức A khi x = 2.

x \geq 0

;

x \neq 1

.

Xem đáp án

Ta có $A = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)}{x - 1} = \frac{\sqrt{x^{3}} - 1}{x - 1}$

$x = 2 \Rightarrow A = 2 \sqrt{2} - 1$

Câu 40:

Cho $B = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0$ ; $x \neq 1$

Rút gọn biểu thức B.

Xem đáp án

$B = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{x + 2}{x \sqrt{x} - 1} - \frac{\sqrt{x} + 1}{x + \sqrt{x} + 1} B = \frac{x + \sqrt{x} + 1 - (x + 2) - (\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} B = \frac{- x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1) (x + \sqrt{x} + 1)} B = \frac{- \sqrt{x}}{x + \sqrt{x} + 1}$

Câu 41:

Chứng minh A = $A = \sqrt{2 \sqrt{5} + 6} - \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} + 2018$ là một số nguyên

Xem đáp án

$A = \sqrt{2 \sqrt{5} + 6} - \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} + 2018 \begin{array}{l} = \sqrt{{(\sqrt{5} + 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} + 2018 \\ = \sqrt{5} + 1 - \sqrt{5} + 1 + 2018 \\ = 2020 \end{array}$

Vậy A là một số nguyên

Câu 42:

Rút gọn biểu thức $P = \frac{a - 1}{\sqrt{b} - 1} \sqrt{\frac{b - 2 \sqrt{b} + 1}{a^{2} - 2 a + 1}}$ với a < 1 và b > 1

Xem đáp án

$P = \frac{a - 1}{\sqrt{b} - 1} \sqrt{\frac{b - 2 \sqrt{b} + 1}{a^{2} - 2 a + 1}} \begin{array}{l} = \frac{a - 1}{\sqrt{b} - 1} \sqrt{\frac{{(\sqrt{b} - 1)}^{2}}{{(a - 1)}^{2}}} \\ = \frac{a - 1}{\sqrt{b} - 1} . \frac{|\sqrt{b} - 1|}{|a - 1|} \\ = \frac{a - 1}{\sqrt{b} - 1} . \frac{\sqrt{b} - 1}{1 - a} \\ = - 1 \end{array}$

(do a < 1 và b > 1)

Câu 43:

Cho biểu thức $A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ với $x \geq 0$ , $x \neq 1$ .

a) Rút gọn A

b) Tìm x là số chính phương để 2019A là số nguyên.

Xem đáp án

$a) A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2} - 3 \sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{x + 2 \sqrt{x} + 1 + x - 2 \sqrt{x} + 1 - 3 \sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{2 x - 3 \sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{2 x - 2 \sqrt{x} - \sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} .$

b) $2019 A = \frac{2019 (2 \sqrt{x} + 2 - 3)}{\sqrt{x} + 1} = 4038 - \frac{6057}{\sqrt{x} + 1}$

2019A là số nguyên khi và chỉ khi $\sqrt{x} + 1$ là ước nguyên dương của 6057 gồm: $1; 3; 9; 673, 2019; 6057$ .

+) $\sqrt{x} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 64$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 673 \Leftrightarrow x = 451584$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 2019 \Leftrightarrow x = 4072324$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 6057 \Leftrightarrow x = 36675136$ , thỏa mãn.

Câu 44:

Cho biểu thức $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{3}$ với $x > 0; x \neq 1$ .

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm giá trị của x để P = 1.

Xem đáp án

a) $P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{3}$

$P = (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{3} P = (\frac{\sqrt{x} . \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{3} P = \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{3} P = \frac{x + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \cdot \frac{3}{\sqrt{x} + 1} P = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) .3}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} P = \frac{3}{\sqrt{x} - 1}$

b) $P = 1 \Leftrightarrow \frac{3}{\sqrt{x} - 1} = 1$

$\Leftrightarrow \sqrt{x} - 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 4 \Leftrightarrow x = 16$

Vậy x = 16 thì P = 1.

Câu 45:

Cho biểu thức:

A = \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}

Tính giá trị biểu thức A khi x = 5.

x \geq 1

Xem đáp án

Khi x = 5, ta có

$A = \sqrt{5 + 2 \sqrt{5 - 1}} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{5 - 1}} = \sqrt{5} + 2 \sqrt{4} + \sqrt{5 - 2 \sqrt{4}} = \sqrt{5 + 2 \cdot 2} + \sqrt{5 - 2 \cdot 2} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3 + 1 = 4$

Vậy khi x = 5 thì A = 4.

Câu 46:

Cho biểu thức:

A = \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}}

x \geq 1

Rút gọn biểu thức A khi

1 \leq x \leq 2

.

Xem đáp án

Với $1 \leq x \leq 2$ , ta có

$A = \sqrt{x + 2 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x - 2 \sqrt{x - 1}} = \sqrt{x - 1 + 2 \sqrt{x - 1} + 1} + \sqrt{x - 1 - 2 \sqrt{x - 1} + 1} = \sqrt{{(\sqrt{x - 1} + 1)}^{2}} + \sqrt{{(\sqrt{x - 1} - 1)}^{2}} = | \sqrt{x - 1} + 1 | + | \sqrt{x - 1} - 1 | = \sqrt{x - 1} + 1 + 1 - \sqrt{x - 1} (1 \leq x \leq 2 \Rightarrow 0 \leq \sqrt{x - 1} \leq 1 \Rightarrow \sqrt{x - 1} - 1 \leq 0) = 2$

Vậy khi $1 \leq x \leq 2$ thì A = 2.

Câu 47:

A = [\frac{2 (x - 2 \sqrt{x} + 1)}{x - 4} - \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2}] : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}

x > 0; x \neq 4

Xem đáp án

Với $x > 0; x \neq 4$ ta có

$A = [\frac{2 x - 4 \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{(2 \sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}] : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

$= [\frac{2 x - 4 \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{2 x - 5 \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}] : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Kết luận A = $= \frac{1}{\sqrt{x} + 2}$

Câu 48:

Cho biểu thức $A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} - \frac{3 \sqrt{x} + 1}{x - 1}$ với $x \geq 0$ , $x \neq 1$ .

a) Rút gọn biểu thức

b) Tìm x là số chính phương để 2019A là số nguyên.

Xem đáp án

$a) A = \frac{{(\sqrt{x} + 1)}^{2} + {(\sqrt{x} - 1)}^{2} - 3 \sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{x + 2 \sqrt{x} + 1 + x - 2 \sqrt{x} + 1 - 3 \sqrt{x} - 1}{x - 1} = \frac{2 x - 3 \sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{2 x - 2 \sqrt{x} - \sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) (2 \sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1) (\sqrt{x} + 1)} = \frac{2 \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1} .$

b) $2019 A = \frac{2019 (2 \sqrt{x} + 2 - 3)}{\sqrt{x} + 1} = 4038 - \frac{6057}{\sqrt{x} + 1}$

2019A là số nguyên khi và chỉ khi $\sqrt{x} + 1$ là ước nguyên dương của 6057 gồm: $1; 3; 9; 673, 2019; 6057$ .

+) $\sqrt{x} + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 4$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 9 \Leftrightarrow x = 64$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 673 \Leftrightarrow x = 451584$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 2019 \Leftrightarrow x = 4072324$ , thỏa mãn.

+) $\sqrt{x} + 1 = 6057 \Leftrightarrow x = 36675136$ , thỏa mãn.

Câu 49:

Rút gọn biếu thức:

A = \frac{4}{\sqrt{5} - 1} - 3 \sqrt{45} + \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}}

Xem đáp án

$A = \frac{4}{\sqrt{5} - 1} - 3 \sqrt{45} + \sqrt{{(\sqrt{5} - 1)}^{2}} = \frac{4 (\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} - 9 \sqrt{5} + |\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} + 1 - 9 \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 = - 7 \sqrt{5}$

Câu 50:

Cho biểu thức: $B = (\frac{1}{3 - \sqrt{x}} - \frac{1}{3 + \sqrt{x}}) . \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ , (với $x > 0; x \neq 9$ ).

Rút gọn biểu thức và tìm tất cả các giá trị nguyên của x để $B > \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án

$B = (\frac{1}{3 - \sqrt{x}} - \frac{1}{3 + \sqrt{x}}) . \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{3 + \sqrt{x} - (3 - \sqrt{x})}{(3 - \sqrt{x}) (3 + \sqrt{x})} . \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2 \sqrt{x}}{(3 - \sqrt{x}) (3 + \sqrt{x})} . \frac{3 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{2}{3 - \sqrt{x}}$

$B > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3 - \sqrt{x}} > \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3 - \sqrt{x}} - \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow \frac{4 - (3 - \sqrt{x})}{2 (3 - \sqrt{x})} > 0$

$\Leftrightarrow \frac{1 + \sqrt{x}}{2 (3 - \sqrt{x})} > 0; (*)$

Vì $1 + \sqrt{x} > 0$ nên $(*) \Leftrightarrow 3 - \sqrt{x} > 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} < 3 \Leftrightarrow 0 < x < 9$

Vì $x \in ℤ \Rightarrow x \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8\}$

Câu 51:

Cho hai biểu thức $A = \frac{4 (\sqrt{x} + 1)}{25 - x}$ và $B = (\frac{15 - \sqrt{x}}{x - 25} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5}$ với $x \geq 0; x \neq 25$ .

a) Tìm giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât.

Xem đáp án

a) Với x = 9

Thay vào A ta có : $A = \frac{4 (\sqrt{x} + 1)}{25 - x} = \frac{4 (\sqrt{9} + 1)}{25 - 9} = \frac{4. (3 + 1)}{16} = 1$

b)

Với $x \geq 0; x \neq 25$ ta có

$B = (\frac{15 - \sqrt{x}}{x - 25} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5}) : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} B = [\frac{15 - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)} + \frac{2}{\sqrt{x} + 5}] : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} B = \frac{15 - \sqrt{x} + 2 (\sqrt{x} - 5)}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} B = \frac{15 - \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} - 10}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)} : \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 5} B = \frac{\sqrt{x} + 5}{(\sqrt{x} + 5) (\sqrt{x} - 5)} \cdot \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 1} B = \frac{1}{\sqrt{x} + 1}$

c) Ta có $P = A . B = \frac{4 (\sqrt{x} + 1)}{25 - x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = \frac{4}{25 - x}$ .

Để P nhận giá trị nguyên khi $x \in ℤ$ thì $4 ⋮ (25 - x)$ hay $25 - x \in U_{(4)} = \{- 4; - 2; - 1; 1; 2; 4\}$ .

Khi đó, ta có bảng giá trị sau:

Cho hai biểu thức A = 4(căn bậc hai của x + 1)/25 - x và B = (ảnh 1)

Do P đạt giá trị nguyên lớn nhất nên ta có P = 4. Khi đó giá trị cần tìm của x là x = 24.

Câu 52:

Rút gọn biểu thức sau:

A = \sqrt{50} - \sqrt{18} .

Xem đáp án

$A = \sqrt{25.2} - \sqrt{9.2} = \sqrt{25} . \sqrt{2} - \sqrt{9} . \sqrt{2}$

$= 5 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} .$

Câu 53:

Rút gọn biểu thức sau:

$B = (\frac{2}{a^{2} + a} - \frac{2}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1}$ (với $a \neq 0$ và $a \neq \pm 1$ )

Xem đáp án

$B = (\frac{2}{a^{2} + a} - \frac{2}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1} B = \frac{2 (1 - a)}{a (a + 1)} : \frac{1 - a}{{(a + 1)}^{2}} B = \frac{2 (1 - a)}{a (a + 1)} \cdot \frac{{(a + 1)}^{2}}{1 - a} B = \frac{2 a + 2}{a}$

Câu 54:

Rút gọn biểu thức:

$A = \sqrt{72} - \sqrt{8} .$

Xem đáp án

$A = \sqrt{36.2} - \sqrt{4.2} = \sqrt{36} . \sqrt{2} - \sqrt{4} . \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} .$

Câu 55:

Rút gọn biểu thức:

$B = (\frac{1}{a^{2} + a} - \frac{1}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1}$ (với $a \neq 0$ ; $a \neq \pm 1$ )

Xem đáp án

$B = (\frac{1}{a^{2} + a} - \frac{1}{a + 1}) : \frac{1 - a}{a^{2} + 2 a + 1}$

$= \frac{(1 - a)}{a (a + 1)} : \frac{1 - a}{{(a + 1)}^{2}}$

$= \frac{1 - a}{a (a + 1)} \cdot \frac{{(a + 1)}^{2}}{1 - a} = \frac{a + 1}{a} .$

Câu 56:

P = (\frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2 x}{9 - x}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})

Tìm điều kiện của x để biểu thức

x > 0, x \neq 9, x \neq 25

Xem đáp án

$P = (\frac{\sqrt{x}}{3 + \sqrt{x}} + \frac{2 x}{9 - x}) : (\frac{\sqrt{x} - 1}{x - 3 \sqrt{x}} - \frac{2}{\sqrt{x}})$

$\begin{array}{l} = \frac{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x}) + 2 x}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})} : \frac{\sqrt{x} - 1 - 2 (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)} \\ = \frac{3 \sqrt{x} - x + 2 x}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})} : \frac{\sqrt{x} - 1 - 2 \sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)} \\ = \frac{3 \sqrt{x} + x}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})} : \frac{5 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 3)} \\ = \frac{\sqrt{x} (3 + \sqrt{x})}{(3 + \sqrt{x}) (3 - \sqrt{x})} \cdot \frac{\sqrt{x} (3 - \sqrt{x})}{\sqrt{x} - 5} \\ = \frac{x}{\sqrt{x} - 5} \end{array}$

Vậy $P = \frac{x}{\sqrt{x} - 5}$ với $x > 0, x \neq 9, x \neq 25$

Câu 57:

Cho hai biểu thức: $A = (\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3 \sqrt{5}) : \sqrt{5};$ $B = \frac{x + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3}$ (với x > 0).

a) Rút gọn các biểu thức A, B

b) Tìm các giá trị của x sao cho giá trị biểu thức B bằng giá trị biểu thức A

Xem đáp án

a) $A = (\sqrt{20} - \sqrt{45} + 3 \sqrt{5}) : \sqrt{5} = (2 \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} + 3 \sqrt{5}) : \sqrt{5}$ = 2

Với x > 0 ta có

$B = \frac{x + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3}$

$B = \frac{x + 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{x - 9}{\sqrt{x} + 3} = \sqrt{x} + 2 + \frac{(\sqrt{x} - 3) (\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} B = \sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 3 = 2 \sqrt{x} - 1$

b) Để giá trị biểu thức B = A

$2 \sqrt{x} - 1 = 2 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} = 3$ .

$\Leftrightarrow x = \frac{9}{4}$ (thỏa mãn)

Vậy $x = \frac{9}{4}$ thì B = A.

Câu 58:

Cho biểu thức $P = \sqrt{4 x} - \sqrt{9 x} + 2 \frac{x}{\sqrt{x}}$ với x > 0

a) Rút gọn

b) Tính giá trị của P biết $x = 6 + 2 \sqrt{5}$ (không dùng máy tính cầm tay).

Xem đáp án

a) Với x > 0 thì

$\begin{array}{l} P = \sqrt{4 x} - \sqrt{9 x} + 2. \frac{x}{\sqrt{x}} \\ = 2 \sqrt{x} - 3 \sqrt{x} + 2 \sqrt{x} \\ = \sqrt{x} \end{array}$

Vậy $P = \sqrt{x}$ với x > 0

b) Ta có

$x = 6 + 2 \sqrt{5} = 5 + 2 \sqrt{5} + 1 = {(\sqrt{5})}^{2} + 2. \sqrt{5} .1 + 1^{2} = {(\sqrt{5} + 1)}^{2}$

Thay $x = {(\sqrt{5} + 1)}^{2} (t m)$ vào $P = \sqrt{x}$ ta được $P = \sqrt{{(\sqrt{5} + 1)}^{2}} = |\sqrt{5} + 1| = \sqrt{5} + 1.$

Vậy $P = \sqrt{5} + 1.$

Câu 59:

\frac{x + 1}{x - 3}

có nghĩa.

Xem đáp án

Điều kiện của x để biểu thức

\frac{x + 1}{x - 3}

có nghĩa là

x - 3 \neq 0

\Leftrightarrow x \neq 3

Câu 60:

Chứng minh đẳng thức

(1 - \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}) (1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}) = 1 - a

(a \geq 0, a \neq 1) .

Xem đáp án

$(1 - \frac{a + \sqrt{a}}{\sqrt{a} + 1}) (1 - \frac{a - \sqrt{a}}{\sqrt{a} - 1}) = (1 - \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} + 1}) (1 - \frac{\sqrt{a} (\sqrt{a} - 1)}{\sqrt{a} - 1}) = (1 - \sqrt{a}) (1 + \sqrt{a}) = 1 - a$

Câu 61:

Cho biểu thức $M = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{x}{4 - x}$

a) Tìm các giá trị thực của x để biểu thức có nghĩa?

b) Rút gọn biểu thức.

c) Tính giá trị của M biết x = 16

Xem đáp án

a) Điều kiện: $\{\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} - 2 \neq 0 \\ \sqrt{x} + 2 \neq 0 \\ 4 - x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq 4 \end{cases} (*)$

Vậy

x \geq 0, x \neq 0

thì biểu thức M có nghĩa

b) Điều kiện:

x \geq 0

và

x \neq 4

\begin{array}{l} M = \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{x}{4 - x} \\ = \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} + \frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} + \frac{x}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} \\ = \frac{\sqrt{x} + 2 + \sqrt{x} - 2 + x}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{2 \sqrt{x} + x}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2) (\sqrt{x} + 2)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} \end{array}

Vậy

M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}

c) Điều kiện:

x \geq 0

và

x \neq 4

Với x = 16 thì

M = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16} - 2} = \frac{4}{4 - 2} = 2

Vậy với x = 16 thì M = 2.

Câu 62:

Cho biểu thức $H = \frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0; x \neq 1$

a) Rút gọn biểu thức H

b) Tìm tất cả các giá trị của x để $\sqrt{x} - H < 0$

Xem đáp án

a)

$H = \frac{2 x^{2} + 2 x}{x^{2} - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 x (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 x}{x - 1} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2 x}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} - \frac{1}{\sqrt{x} - 1}$

b) Theo đề bài ta có $\sqrt{x} - H < 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 < \Leftrightarrow \sqrt{x} < 2 \Leftrightarrow x < 4$

Kết hợp điều kiện $x \geq 0; x \neq 1$ ta có $0 \leq x < 4; x \neq 1$

Vậy với $0 \leq x < 4; x \neq 1$ thì $\sqrt{x} - H < 0$

Câu 63:

B = \frac{6}{\sqrt{7} + 2} + \sqrt{\frac{2}{8 + 3 \sqrt{7}}}

Xem đáp án

\begin{array}{l} B = \frac{6}{\sqrt{7} + 2} + \sqrt{\frac{2}{8 + 3 \sqrt{7}}} \\ = \frac{6 (\sqrt{7} - 2)}{(\sqrt{7} + 2) (\sqrt{7} - 2)} + \sqrt{\frac{2 (8 - 3 \sqrt{7})}{(8 + 3 \sqrt{7}) (8 - 3 \sqrt{7})}} \\ = 2 (\sqrt{7} - 2) + \sqrt{16 - 6 \sqrt{7}} \\ = 2 \sqrt{7} - 4 + \sqrt{{(3 - \sqrt{7})}^{2}} \\ = 2 \sqrt{7} - 4 + 3 - \sqrt{7} \\ = \sqrt{7} - 1 \end{array}

Câu 64:

Cho biểu thức $P = \frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{\sqrt{a} + 1} + 1$ với $a \geq 0, a \neq 1$

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P khi a =3

Xem đáp án

a)

$P = \frac{1}{\sqrt{a} - 1} - \frac{1}{\sqrt{a} + 1} + 1 = \frac{\sqrt{a} + 1}{a - 1} - \frac{\sqrt{a} - 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{a - 1} = \frac{\sqrt{a} + 1 - \sqrt{a} + 1 + a - 1}{a - 1} = \frac{a + 1}{a - 1}$

Vậy $P = \frac{a + 1}{a - 1}$ với $a \geq 0, a \neq 1$

b)

Thay a = 3 vào $P = \frac{a + 1}{a - 1}$ ta có $P = \frac{3 + 1}{3 - 1} = 2$

Vậy P = 2 với a = 3

Câu 65:

A = \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}

Xem đáp án

$A = \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} = \sqrt{2 - 2. \sqrt{2} .1 + 1} - \sqrt{2 - 2. \sqrt{2} .1 + 1} \begin{array}{l} = \sqrt{{(\sqrt{2} - 1)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}} = |\sqrt{2} - 1| - |\sqrt{2} + 1| \\ = \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} - 1 = - 2 \end{array}$

Câu 66:

Chứng minh rằng

(\frac{2}{\sqrt{a} + 3} - \frac{1}{\sqrt{a} - 3} + \frac{6}{a - 9}) . (\sqrt{a} + 3) = 1