Đổi 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ.

Gọi vận tốc xe đạp của bạn Chiến là x (km/h, x > 0)

Vận tốc của ô tô là x + 35 (km/h)

Quãng đường bạn Chiến đi bằng xe đạp là: 7x (km)

Quãng đường bạn Chiến đi bằng ô tô là: 1,5(x + 35) (km)

Do tổng quãng đường bạn Chiến đi là 180km nên ta có phương trình:

$7x+1,5(x+35)=180\iff 7x+1,5x+52,2=180\iff 8,5x=127,5\iff x=15$ (thỏa mãn)

Vậy bạn Chiến đi bằng xe đạp với vận tốc là 15 km/h.

Gọi lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng A là x%/ năm. (x > 0)

Thì lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng B là (x + 1)%/ năm.

Tiền lãi bác Bình nhận được sau 1 năm gửi vào ngân hàng A là : 100x% (triệu đồng)

Tiền lãi bác Bình nhận được sau 1 năm gửi vào ngân hàng B là : 150(x + 1)% (triệu đồng)

Tổng số tiền lãi bác Bình nhận được từ hai khoản tiết kiệm trên là 16,5 triệu đồng nên ta có phương trình : 

$100x\%+150\left(x+1\right)\%=16,5$

$\begin{array}{l}\iff 100x+150x+150=1650\\ \iff 250x=1500\end{array}$

$\iff x=6$ (thỏa mãn )

Vậy lãi suất tiền gửi tiết kiệm kì hạn một năm của ngân hàng A là 6%

Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm theo kế hoạch là x(sp).ĐK $x>0;x\in Z$

Khi đó, số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm trong thực tế là x + 5 (sp)

Thời gian hoàn thành công việc theo kế hoạch là $\frac{250}{x}$ (ngày)

Số sản phẩm làm được trong 4 ngày đầu là: 4x (sp)

Số sản phẩm còn lại phải làm là 250 - 4x (sp)

Thời gian làm 250 - 4x (sp) còn lại là $\frac{250-4x}{x+5}$ (ngày).

Theo bài toán ta có PT: $\frac{250}{x}=4+\frac{250-4x}{x+5}+1$

Giải PT này ta được: $x_1=25$ (nhận)

$x_2=-50$ (loại)

Vậy số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân đó làm theo kế hoạch là 25 sản phẩm.

Gọi x (ngày), y (ngày) lần lượt là thời gian hoàn thành công việc một mình của người thứ nhất và người thứ hai, $(x, y \in N^{*})$

Do hai người cùng làm trong 9 ngày thì xong công việc nên: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{9}$ (1)

Trong cùng một ngày người thứ hai làm được nhiều gấp ba lần người thứ nhất nên $\frac{1}{y}=\frac{3}{x}$ (2)

Từ (1) và (2) giải hệ tìm được x = 36; y = 12 (thỏa mãn).

Vậy nếu làm một mình xong công việc người thứ nhất làm hết 36 ngày, người thứ hai làm hết 12 ngày.

Gọi số thí sinh vào trường THPT Chuyên và số thí sinh vào trường PTDT Nội trú lần lượt là x , y (thí sinh) (điều kiện x > 0, y > 0)

Vì số thí sinh vào trường THPT Chuyên bằng $\frac{2}{3}$ số thí sinh vào trường PTDT Nội trú nên ta có: $x=\frac{2}{3}y$ (1)

Vì tổng số phòng thi của cả hai trường là 80 phòng thi và mỗi phòng thi có đúng 24 thí sinh nên tổng số thí sinh của cả hai trường là:

24.80 = 1920 (thí sinh)

Do đó ta có phương trình; x + y = 1920 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}y\\ x+y=1920\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}y\\ \frac{2}{3}y+y=1920\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}y\\ \frac{5}{3}y=1920\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=1152\\ x=768\end{array}\right.$

Đối chiếu điều kiện ta thấy x = 768; y = 1152 đều thỏa mãn.

Vậy số thí sinh vào trường THPT Chuyên và số thí sinh vào trường PTDT Nội trú lần lượt là 768 thí sinh , 1152 thí sinh.

Gọi thời gian lớp 9A làm một mình xong công việc là x (giờ) $\left(x>\frac{35}{12}\right)$

Gọi thời gian lớp 9B làm một mình xong công việc là y (giờ) (y > 2)

Mỗi giờ lớp 9A làm được phần công việc là: $\frac{1}{x}$ (công việc)

Mỗi giờ lớp 9B làm được phần công việc là: $\frac{1}{y}$ (công việc)

Mỗi giờ lớp cả hai ớp 9A, 9B làm được phần công việc là: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ (công việc)

Theo đề bài, hai lớp cùng làm chung công việc trong $\frac{35}{12}$ giờ thì xong công việc nên ta có phương trình:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1:\frac{35}{12}\text{\hspace{0.17em}⇔}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{12}{35}$ (1)

Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian lớp 9B là 2 giờ nên ta có phương trình:

y = x + 2 (2)

Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

$\left(1\right)\iff \frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}=\frac{12}{35}\iff 35(x+2)+35\text{x}=12\text{x}(x+2)$

$\begin{array}{l}\iff 35\text{x}+70+35\text{x}=12{\text{x}}^2+24\text{x}\\ \iff 12{\text{x}}^2-46\text{x}-70=0\\ \iff 12{\text{x}}^2-60\text{x+14x}-70=0\\ \iff 12x(x-5)+14(x-5)=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff (x-5)(12\text{x}+14)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x-5=0\\ 12\text{x}+14=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=5\left(tm\right)\\ x=-\frac{7}{6}\left(Ktm\right)\end{array}\right.\end{array}$

Vậy nếu làm một mình thì lớp 9A làm xong công việc trong 5 giờ, lớp 9B làm xong công việc trong 5 + 2 = 7 giờ

a. Ngày $02/09/2019$, có n = 2, t = 9, H = 0. Do đó $T=n+H=2+0=2$.

Số 2 chia cho 7 có số dư là 2 nên ngày này là thứ Hai.

Ngày $20/11/2019$ có $n=20,t=11,H=-2$. Do đó $T=n+H=20-2=18$.

Số 18 chia cho 7 có số dư là 4 nên ngày này là thứ Tư.

b. Do ngày sinh nhật của Hằng là vào thứ Hai nên r = 2. Do đó $T=7q+2$.

Mặt khác $T=n+2\Rightarrow n=T-2=7q+2-2=7q$.

Biện luận

Do n là bội của 3 nên chọn n = 21.

Vậy sinh nhật của ngày vào ngày $21/10/2019$.

Số tiền cả lớp phải đóng bù: $\left(31-3\right)\times 18.000=504.000$ ngàn

Số tiền mỗi học sinh phải đóng: $504.000÷3=168.000$ ngàn

Tổng chi phí ban đầu là: $168.000\times 31=\mathrm{5.208.000}$ ngàn

Đổi: 1,5 giờ = 90 phút.

Gọi x (phút) là thơi gian Dũng bơi

y (phút) là thời gian Dũng chạy bộ

Theo giải thiết ta có hệ phương trình :

$\left\{\begin{array}{c}15x+10y=1200\\ x+y=90\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=60\\ y=30\end{array}\right.$

Vậy Dũng mất 60 phút để bơi và 30 phút để chạy bộ để tiêu thụ hết 1200 ca-lo.

Gọi x, y lần lượt là chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn, điều kiện x > 0, y > 0, x > y.

Có $\left\{\begin{array}{l}x-y=5\\ xy=150\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+5\\ y\left(y+5\right)=150\left(1\right)\end{array}\right.$

$\left(1\right)\iff y^2+5y-150=0\iff \left[\begin{array}{l}y=10\left(\text{nhận}\right)\\ y=-15\left(\text{lọai}\right)\end{array}\right.$.

Vậy chiều rộng mảnh vườn là 10 (m)

Gọi số đèn mà lớp 9A, lớp 9B làm được trong 1 ngày lần lượt là $x,y(x,y\in \mathbb{N})$.

Theo bài ra ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+y=23\\ x+2y=22\end{array}\right..$

Giải hệ phương trình trên ta thu được $\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=7\end{array}\right.$.

Suy ra trong một ngày cả 2 lớp làm được 8 + 7 = 15 chiếc đèn.

Vậy nếu cả 2 lớp cùng làm thì hết $\frac{90}{15}=6$ ngày sẽ xong công việc đã dự định.

Gọi x (km/h) là vận tốc ô tô thứ nhất. Điều kiện x > 10

Khi đó vận tốc ô tô thứ hai là x - 10 (km/h)

Từ giả thiết ta có $\frac{150}{x}+\frac{1}{2}=\frac{150}{x-10}$

$\iff x^2-10x-3000=0\iff \left[\begin{array}{l}x=60\\ x=-50\end{array}\right.$

Do x > 10 nên nhận x = 60.

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 km/h và vận tốc của ô tô thứ hai là 50 km/h.

Gọi số bài điểm 9 và điểm 10 của An đạt được lần lượt là x, y (bài) $\left(x,y\in \mathbb{N}\right)$.

Theo giả thiết x + y > 16.

Vì tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đó là 160 nên 9x + 10y = 160.

Ta có $160=9x+10y\ge 9\left(x+y\right)\Rightarrow x+y\le \frac{160}{9}$.

Do $x+y\in \mathbb{N}$ và $16<x+y\le \frac{160}{9}$ nên x + y = 17.

Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y=17\\ 9x+10y=160\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=17-y\\ 9\left(17-y\right)+10y=160\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=7\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

Vậy An được 10 bài điểm 9 và 7 bài điểm 10.

Gọi vận tốc của người thứ nhất là x (km/h) (Đk: x > 0)

Khi đó, vận tốc của người thứ hai là x + 4 (km/h)

Thời gian người thứ nhất đi từ A đến C là: $\frac{78-36}{x}=\frac{42}{x}$(giờ)

Thời gian người thứ hai đi từ B đến C là: $\frac{36}{x+4}$(giờ)

Do người thứ nhất đi trước người thứ hai 1 giờ, nên khi hai người gặp nhau tại C thì ta có phương trình:

$\frac{42}{x}-\frac{36}{x+4}=1$ (1)

Giải phương trình (1) và kết hợp với ĐK x > 0, ta được: x = 14 (km/h)

Vậy, vận tốc của người thứ nhất là 14 (km/h) và vận tốc của người thứ hai là 14 + 4 = 18 (km/h)

Số học sinh yêu thích hội họa chiếm 20% số học sinh toàn trường nên số học sinh yêu thích hội họa là $1500.20\%=300$ học sinh

Gọi số học sinh yêu thích thể thao, âm nhạc và yêu thích khác lần lượt là a; b; c

Ta có $a+b+c+300=1500\Rightarrow a+b+c=1200$ (1)

Số học sinh yêu thích thể thao và hội họa bằng với số học sinh yêu thích âm nhạc và yêu thích khác nên $a+300=b+c$ (2)

Số học sinh yêu thích thể thao hơn số học sinh yêu thích âm nhạc là 30 nên ta được a - b = 30 (3)

(Tìm các mối quan hệ giữa các biến)

Thay (2) vào phương trình (1) ta được $a+a+300=1200\Rightarrow a=450$

Thay vào phương trình (3) $\Rightarrow b=420$

Vậy tổng số học sinh yêu thích thể thao và âm nhạc là a + b = 870

(học sinh có thể lập hệ phương trình rồi giải bằng máy tính)

a) OA = AC + R = 27 + 3 = 30 km

Xét $\Delta ABO$ vuông tại B, có: $AB=\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}=\sqrt{{30}^2-3^2}=9\sqrt{11}km$

b) t/gian xe thứ nhất đi từ A đến B là: $\frac{9\sqrt{11}}{40}\approx 0.75$ (giờ)

t/gian xe thứ hai đi từ A đến C là: $\frac{27}{60}=0.45$ (giờ)

Xét $\Delta ABO$ vuông tại B, có:

$\tan \widehat{O}=\frac{AB}{OB}=\frac{9\sqrt{11}}{3}\Rightarrow \widehat{O}\approx {84.3}^0$

Độ dài đoạn đường từ C đến B là $l_{\stackrel{⏜}{CB}}=\frac{3.\pi .84,3}{180}\approx 4,41km$

T/gian đi từ C đến B là : $\frac{4,41}{30}\approx 0,15$ giờ

Suy ra thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là : 0,45 + 0,15 = 0,6 giờ

Vậy xe thứ hai đến điểm tai nạn trước xe thứ nhất.

Gọi số tấn mũ cao su mỗi ngày nông trường khai thác được là x (tấn)

(Điều kiện: 0 < x < 260)

Thời gian dự định khai thác mũ cao su của nông trường là: $\frac{260}{x}$ (ngày)

Trên thực tế, mỗi ngày nông trường khai thác được: x + 3 (tấn)

Thời gian thực tế khai thác mũ cao su của nông trường là: $\frac{261}{x+3}$ (ngày)

Theo đề bài, ta có phương trình: $\frac{261}{x+3}+1=\frac{260}{x}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{261x}{x(x+3)}+\frac{x(x+3)}{x(x+3)}=\frac{260(x+3)}{x(x+3)} \\ \Rightarrow 261x+x(x+3)=260(x+3) \\ \iff 261x+x^2+3x=260x+780 \\ \iff 261x+x^2+3x-260x-780=0 \\ \iff x^2+4x-780=0 \left(1\right) \\ \Delta \text{'}=4+780=784>0\Rightarrow \sqrt{\Delta \text{'}}=\sqrt{784}=28 \end{gathered}$$

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-2+28}{1}=26$ (nhận) hoặc $x_2=\frac{-2-28}{1}=-30$ (loại)

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày nông trường cao su khai thác 26 tấn.

Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng hoàn thành công việc là x (giờ, x > 5).

Thời gian đội thứ hai làm riêng hoàn thành công việc là y (giờ, y > 0).

Mỗi giờ đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ công việc, đội thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ công việc.

Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được $\frac{4}{x}$ công việc, đội thứ hai làm được $\frac{4}{y}$ công việc.

Theo đề ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3}\text{ (1)}\\ x-y=5\text{ (2)}\end{array}\right.$

$\left(2\right)\iff x=y+5$ thế vào (1) ta được

$$\begin{gathered} \frac{4}{y+5}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow 6y+6(y+5)=y(y+5) \\ \iff y^2-7y-30=0\iff \left[\begin{array}{l}y=-3\left(ktm\right)\\ y=10\Rightarrow x=15\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ nhất là 15 giờ, đội thứ hai là 10 giờ.

Gọi số sách Toán và sách Ngữ văn Hội khuyến học trao cho trường A lần lượt là x, y (quyển), $\left(x,y\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

Vì tổng số sách nhận được là 245 nên x + y = 245 (1)

Số sách Toán và Ngữ văn đã dùng để phát cho học sinh lần lượt là $\frac{1}{2}x$ và $\frac{2}{3}y$ (quyển)

Ta có: $\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y\left(2\right)$

Đưa ra hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y=245\\ \frac{1}{2}x=\frac{2}{3}y\end{array}\right.$.

Giải hệ được nghiệm $\left\{\begin{array}{l}x=140\\ y=105\end{array}\right.\cdot$

Kết luận: Hội khuyến học trao cho trường 140 quyển sách Toán và 105 quyển sách Ngữ văn

Gọi số bài điểm 9 và điểm 10 của An đạt được lần lượt là x, y (bài) $\left(x,y\in \mathbb{N}\right)$.

Theo giả thiết x + y > 16.

Vì tổng số điểm của tất cả các bài kiểm tra đó là 160 nên 9x + 10y = 160.

Ta có $160=9x+10y\ge 9\left(x+y\right)\Rightarrow x+y\le \frac{160}{9}$.

Do $x+y\in \mathbb{N}$ và $16<x+y\le \frac{160}{9}$ nên x + y = 17.

Ta có hệ $\left\{\begin{array}{l}x+y=17\\ 9x+10y=160\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=17-y\\ 9\left(17-y\right)+10y=160\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=7\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

Vậy An được 10 bài điểm 9  và 7 bài điểm 10.

Vkhối cầu = $\frac{4}{3}\pi {\left(1,1\right)}^3\cong 5,58\left(m^3\right)$

Vkhối trụ = $\pi .{\left(1,1\right)}^2\mathrm{.3.5}\cong 13,3\left(m^3\right)$

Thể tích của bồn chứa là:

$V=V_{kc}+V_{kt}=18,88\left(m^3\right)$

Gọi gia bán của một bút bi và một bút chì lần lượt là x và y (đồng) với 0 < x, y < 30000

Số tiền khi mua 1 bút bi và 1 bút chì: x + y = 30000

Số tiền 5 bút bi và 3 bút chì bằng 2 bút bi và 5 bút chì: $5x+3y=2x+5y\iff 3x-2y=0$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=30000\\ 3x-2y=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=12000\\ y=18000\end{array}\right.$

Vậy giá mỗi bút bi là 12000 đồng và giá mỗi bút chì là 18000 đồng.

Gọi x, y (thí sinh) lần lượt là chỉ tiêu của trường THPT A và THPT B $x,y\in {\mathbb{N}}^{*}x$ và $x,y\le 900$

Tổng chỉ tiêu tuyển sinh của Trường THPT A và trường THPT B là 900 học sinh:

x + y = 900 (1)

Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là $x+x.15\%=1,15x$ (thí sinh)

Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là $y+y.10\%=1,1y$ (thí sinh)

Tổng số thí sinh đăng ký dự tuyển của cả hai trường là 1010

$1,15x+1,1y=1010\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x+y=900\\ 1,15x+1,1y=1010\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=400\\ y=500\end{array}\right.$

Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là $1,15x=1,15.400=460$ thí sinh.

Số thí sinh thí sinh đăng ký dự tuyển vào Trường THPT A là $1,1y=1,1.500=550$ thí sinh.

- Gọi thời gian để đội thứ nhất và đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc lần lượt là x và y (x > 15, y > 15), đơn vị (ngày).

Một ngày đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Một ngày đội thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

- Vì hai đội cùng làm trong 15 ngày thì hoàn thành xong công việc. Như vậy trong một ngày cả hai đội làm được $\frac{1}{15}$ (công việc). Suy ra, ta có phương trình : $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}$  (1).

- Ba ngày đội đội thứ nhất làm được $\frac{3}{x}$ (công việc).

- Năm ngày đội thứ hai làm được $\frac{5}{y}$ (công việc).

- Vì đội thứ nhất làm trong 3 ngày rồi dừng lại đội thứ hai làm tiếp trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành xong $25\%=\frac{1}{4}$ (công việc). Suy ra, ta có phương trình : $\frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}$   (2).

- Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{15}\\ \frac{3}{x}+\frac{5}{y}=\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{24}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{40}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=24\\ y=40\end{array}\right..$ (TMĐK).

- Vậy thời gian để đội thứ nhất làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 24 (ngày) và thời gian để đội thứ hai làm riêng một mình hoàn thành xong công việc là 40 (ngày).

Gọi x là số xe ban đầu, với $x\in Z;x>2$, theo dự kiến mỗi xe phải chở $\frac{112}{x}$ (tấn).

Khi khởi hành số xe còn lại x - 2 và mỗi xe phải chở $\frac{112}{x-2}$ (tấn).

Theo bài toán ta có phương trình: $\frac{112}{x}=\frac{112}{x-2}-1$

$112(x-2)=112x-x(x-2)\iff x^2-2x-224=0\iff \left[\begin{array}{l}x=16\\ x=-14\end{array}\right.$

Đối chiếu điều kiện và kết luận số xe ban đầu là 16 (xe).

Gọi x là số xe ban đầu, với $x\in Z;x>2$, theo dự kiến mỗi xe phải chở $\frac{144}{x}$ (tấn) .

Khi khởi hành số xe còn lại x - 2 và mỗi xe phải chở $\frac{144}{x-2}$ (tấn).

Theo bài toán ta có phương trình: $\frac{144}{x}=\frac{144}{x-2}-1$

$\iff 144(x-2)=144x-x(x-2)\iff x^2-2x-288=0\iff \left[\begin{array}{l}x=18\\ x=-16\end{array}\right.$

Đối chiếu điều kiện và kết luận số xe ban đầu là 18 (xe).

Gọi số cây trong một hang dự kiến ban đầu là x (cây, x $\in N^{*}$)

Số hang dự kiến ban đầu là y (hàn; y $\in N^{*}$).

.Từ giả thiết ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}xy=300\\ \left(x+3\right)\left(y+2\right)=391\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}xy=300\\ 3y+2x=85\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=20\\ y=15\end{array}\right.$ .

Gọi chiều dài thửa ruộng là x (m) chiều rộng thửa ruộng là y (m). Điều kiện x > 2, y > 2, x > y .

Nếu chiều rộng tăng lên 2m, chiều dài giảm đi 2m thì diện tích tăng thêm 30m² nên ta có phương trình $\left(x-2\right)\left(y+2\right)=xy+30\iff x-y=17\left(1\right)$

Nếu chiều rộng giảm đi 2m, chiều dài tăng thêm 5m thì diện tích thửa ruộng giảm đi 20m² nên ta có phương trình $\left(x+5\right)\left(y-2\right)=xy-20\iff -2x+5y=-10\left(2\right)$.

Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=17\\ -2x+5y=-20\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x-2y=34\\ -2x+5y=-10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3y=24\\ x-y=17\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=25\\ y=8\end{array}\right.$ (thỏa mãn).

Vậy diện tích hình chữ nhật là $25.8=200m^2$ .

Gọi giá tiền mỗi gian hàng tăng lên x (triệu đồng) (ĐK: x > 0)

Khi đó giá mỗi gian hàng sau khi tăng lên là 100 + x (triệu đồng).

Cứ mỗi lần tăng 5% tiền thuê mỗi gian hàng (tăng 5%.100 = 5 triệu đồng) thì có thêm 2 gian hàng trống nên khi tăng x triệu đồng thì có thêm $\frac{2\text{x}}{5}$ gia hàng trống.

Khi đó số gian hàng được thuê sau khi tăng giá là $100-\frac{2\text{x}}{5}$ (gian).

Số tiền thu được là: $\left(100+x\right)\left(100-\frac{2\text{x}}{5}\right)$ (triệu đồng).

Yêu cầu bài toán trở thành tìm x để $P=\left(100+x\right)\left(100-\frac{2\text{x}}{5}\right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta có:

$\begin{array}{l}P=\left(100+x\right)\left(100-\frac{2\text{x}}{5}\right)=10000-40\text{x}+100\text{x}-\frac{2{\text{x}}^2}{5}\\ =-\frac{2}{5}\left(x^2-150\text{x}\right)+10000=-\frac{2}{5}\left(x^2-2.75\text{x}+{75}^2\right)+\frac{2}{5}{.75}^2+10000\\ =-\frac{2}{5}{\left(x-75\right)}^2+12250\end{array}$

Ta có ${\left(x-75\right)}^2\ge 0\iff -\frac{2}{5}{\left(x-75\right)}^2\le 0\iff -\frac{2}{5}{\left(x-75\right)}^2+12250\le 12250$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = 75.

Vậy người quản lí phải cho thuê mỗi gian hàng với giá 100 + 75 = 175 triệu đồng thì doanh thu của trung tâm thương mại VC trong năm là lớn nhất.

Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m, 0 < x < 50)

Chiều dài của mảnh đất là 4x (m).

Chi vi mảnh đất là 100m : $\left(x+4x\right).2=100\iff 5x=50\iff x=10$

Vậy chiều rộng của mảnh đất là 10m, chiều dài mảnh đất là 40m.

Diện tích mảnh đất là : 40.10 = 400 m^2.

Giá tiền của mảnh đất : 400x150000000 = 6000000000 đồng = 6 tỷ (đồng).

Gọi vận tốc quy định của người đó là x (km/h), (x > 5)

$\Rightarrow$ Thời gian quy định để người đó đi hết quãng đường là $\frac{60}{x}\left(h\right)$.

Nửa quảng đường đầu là: 60 : 2 = 30 (km) nên thời gian đi nửa quãng đường đầu là: $\frac{30}{x}\left(h\right)$.

Nửa quãng đường sau, vận tốc của người đó giảm 5km/h nên vận tốc lúc sau là: x - 5 (km/h).

$\Rightarrow$ Thời gian đi nửa quãng đường sau là $\frac{30}{x-5}\left(h\right)$ .

Vì người đó đến chậm so với thời gian dự định là 1 giờ nên ta có phương trình:

$\begin{array}{l}\frac{30}{x}+\frac{30}{x-5}-1=\frac{60}{x}\iff \frac{30}{x-5}-\frac{30}{x}-1=0\\ \iff \frac{30x-30(x-5)-x(x-5)}{x(x-5)}=0\\ \Rightarrow 30x-30x+150-x^2+5x=0\\ \iff x^2-5x-150=0\\ \iff x^2-15x+10x-150=0\\ \iff x(x-15)+10(x-15)=0\\ \iff (x-15)(x+10)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x-15=0\\ x+10=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=15\text{ (tm)}\\ x=-10\text{ (ktm)}\end{array}\right.\end{array}$

Vậy vận tốc quy định của người đó là 15km/h và thời gian quy định của người đó là: 60 : 15 = 4 giờ.

Gọi số học sinh lớp 9A là x (hs) $\left(x\in N,x>4\right)$

Suy ra số học sinh lớp 9A trên thực tế là x - 4(hs)

Số cây mỗi học sinh lớp 9A trồng theo dự định là $\frac{360}{x}$ (cây)

Số cây mỗi học sinh lớp 9A trồng trên thực tế là $\frac{360}{x-4}$ (cây)

Theo đề bài ta có phương trình $\frac{360}{x-4}-\frac{360}{x}=1$

$\begin{array}{l}\iff \frac{360x}{x-4}-\frac{360\left(x-4\right)}{x}=\frac{x\left(x-4\right)}{x\left(x-4\right)}\\ \Rightarrow 360x-360x+1440=x^2-4x\\ \iff x^2-4x-1440=0\\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=40\\ x_2=-36\end{array}\right.\end{array}$

Vì $x\in N,x>4$ nên x = 40