Ta có: cos$\widehat{MNP}=\frac{MN}{NP}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: tan$\widehat{MNP}=\frac{MP}{MN}$

Đáp án cần chọn là: D

Cho $\alpha$ là góc nhọn bất kỳ. Khi đó sin²$\alpha$ + cos²$\alpha$ = 1

Đáp án cần chọn là: B

Cho $\alpha$ là góc nhọn bất kỳ, khi đó:

Đáp án cần chọn là: D

Với hai góc $\alpha$ và $\beta$ mà $\alpha$ + $\beta$ = 90^o. Ta có:

sin $\alpha$ = cos $\alpha$; cos $\alpha$ = sin $\alpha$   

tan $\alpha$ = cot $\alpha$; cot $\alpha$ = tan $\alpha$

Đáp án cần chọn là: B

Với hai góc phụ nhau thì sin góc nọ bằng sin góc kia và tan góc nọ bằng cotan góc kia

Đáp án cần chọn là: D

Theo định lý Py-ta-go ta có:

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

Đáp án cần chọn là: A

Theo định lý Py-ta-go:

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

Đáp án cần chọn là: B

Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Theo định lý Py-ta-go ta có:

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

Đáp án cần chọn là: C 

Theo định lý Py-ta-go ta có:

Xét tam giác ABC vuông tại C có:

Đáp án cần chọn là: D

Đổi 0,5dm = 5cm

Xét tam giác ABH vuông tại H ta có:

cos B = $\frac{BH}{AB}=\frac{5}{13}$

Do góc B và góc C là hai góc phụ nhau nên:

sin C = cos B $\Rightarrow \sin C=\frac{5}{13}\approx 0,38$

Đáp án cần chọn là: D

Xét tam giác AHC vuông tại H, theo định lý Py-ta-go ta có

Mà tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{B},\widehat{C}$ là hai góc phụ nhau.

Do đó cos B = sin C = $\frac{\sqrt{21}}{5}$

Đáp án cần chọn là: B

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

tan B = $\frac{AC}{AB}$

Suy ra AC = AB.tan B = 5. $\tan {60}^0$ = 5$\sqrt{3}$ cm

Đáp án cần chọn là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A có BC = BH + CH = 7cm

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Xét tam giác ABC vuông tại A có BC = BH + CH = 11 + 12 = 23cm

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

Đáp án cần chọn là: B

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{B}+\widehat{C}={90}^o$

=> tanC = cotB = 2

Đáp án cần chọn là: C 

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{B}+\widehat{C}={90}^o$

=> cot C = tan B = 4

Mà cot C. tan C = 1 => tan C = $\frac{1}{4}$

Đáp án cần chọn là: A

Vì tam giác ABC vuông tại A nên

Theo định lý Pytago ta có:

Vậy AC $\approx$ 4,38 (cm); BC $\approx$ 6,65 (cm)

Đáp án cần chọn là: B

Vì tam giác ABC vuông tại A nên

Theo định lý Py-ta-go ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: C

Vì ${20}^0<{70}^0\iff \sin {20}^0<\sin {70}^0$

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: B

Đán án cần chọn là A

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

Nên A = (${\sin }^2{1}^0$ + ${\sin }^2{89}^0$ ) + (${\sin }^2{2}^0$ + ${\sin }^2{88}^0$) +… + (${\sin }^2{44}^0$ + ${\sin }^2{46}^0$) + ${\sin }^2{45}^0$ + ${\sin }^2{90}^0$

= (${\sin }^2{1}^0$ + $co{s}^2{1}^0$) + (${\sin }^2{2}^0$ + $co{s}^2{2}^0$) + … + (${\sin }^2{44}^0$ + $co{s}^2{44}^0$) + ${\sin }^2{45}^0$ + ${\sin }^2{90}^0$

Vậy A = $\frac{91}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

${\sin }^2{80}^0$=${\cos }^2{10}^0$; ${\sin }^2{70}^0$=${\cos }^2{20}^0$

${\sin }^2{60}^0$=${\cos }^2{30}^0$; ${\sin }^2{50}^0$=${\cos }^2{40}^0$

Nên

${\sin }^2{10}^0$ + ${\sin }^2{20}^0$ + ${\sin }^2{30}^0$ + ${\sin }^2{40}^0$ + ${\sin }^2{50}^0$ + ${\sin }^2{60}^0$ + ${\sin }^2{70}^0$ + ${\sin }^2{80}^0$

= ${\sin }^2{10}^0$ + ${\sin }^2{20}^0$ + ${\sin }^2{30}^0$ + ${\sin }^2{40}^0$ + ${\cos }^2{40}^0$ + ${\cos }^2{30}^0$ + ${\cos }^2{20}^0$ + ${\cos }^2{10}^0$

= (${\sin }^2{10}^0$ + ${\cos }^2{10}^0$) + (${\sin }^2{20}^0$ + ${\cos }^2{20}^0$) + (${\sin }^2{30}^0$ + ${\cos }^2{30}^0$) + (${\sin }^2{40}^0$ + ${\cos }^2{40}^0$)

= 1 + 1 + 1 + 1 = 4

Vậy giá trị cần tìm là 4

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:

P =  ${\cos }^2{20}^0$ + ${\cos }^2{40}^0$ + ${\cos }^2{50}^0$ + ${\cos }^2{70}^0$

= ${\cos }^2{20}^0$ + ${\cos }^2{40}^0$ +  ${\sin }^2{40}^0$ + ${\sin }^2{20}^0$

= (${\cos }^2{20}^0$ + ${\sin }^2{20}^0$) + (${\cos }^2{40}^0$ +  ${\sin }^2{40}^0$)

= 1 + 1 = 2

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:

C =${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha$ = ${\sin }^4\alpha +{\cos }^4\alpha +2{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha -2{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha$

= ${\left({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha \right)}^2-2{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha$

= $1-2{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha (vì {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1)$

Vậy C = $1-2{\sin }^2\alpha .co{s}^2$$\alpha$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

= ${\sin }^6\alpha +{\cos }^6\alpha +3{\sin }^2\alpha .{\cos }^2\alpha .({\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha )$ $\left(vì {\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\right)$

= ${\left({\sin }^2\alpha \right)}^3+3.{\left({\sin }^2\alpha \right)}^2.{\cos }^2\alpha +3.{\sin }^2\alpha .{\left({\cos }^2\alpha \right)}^2+{\left({\cos }^2\alpha \right)}^3$

=${\left({\sin }^2\alpha + {\cos }^2\alpha \right)}^3$ = $1^3=1$

Đáp án cần chọn là: B

Với $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$; ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$

Đáp án cần chọn là: A

Vậy P = 1

Đáp án cần chọn là: C

$Q=\frac{1+{\sin }^2\alpha }{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{1-{\sin }^2\alpha +2{\sin }^2\alpha }{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{1-{\sin }^2\alpha }{1-{\sin }^2\alpha }+\frac{2{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$

Đáp án cần chọn là: B

Với $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha };$ $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ta có:

$Q=\frac{{\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha }{cos\alpha .\sin \alpha }$

$$\begin{gathered} =\frac{{\cos }^2\alpha }{\sin \alpha .\cos \alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{\sin \alpha .\cos \alpha } \\ =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }-\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } \end{gathered}$$

= cot $\alpha$  − tan $\alpha$

Vậy Q = cot $\alpha$ − tan $\alpha$

Đáp án cần chọn là: A

Vì tan $\alpha$ = 2 nên $\cos \alpha \ne 0$

Ta có: $G=\frac{2\sin \alpha +\cos \alpha }{\cos \alpha -3\sin \alpha }$

$=\frac{2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }-3\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$

$=\frac{2\tan \alpha +1}{1-3\tan \alpha }$

Thay tan $\alpha$ = 2 ta được: $G=\frac{2.2+1}{1-3.2}=-\frac{5}{5}=-1$

Vậy G = −1

Đáp án cần chọn là: D

Vì tan $\alpha$ = 4 nên $\cos \alpha \ne 0$, chia cả tử và mẫu của P cho cos$\alpha$ ta được:

Ta có: $P=\frac{3\sin \alpha -5\cos \alpha }{4\cos \alpha +\sin \alpha }=\frac{3\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-5\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }}{4\frac{\cos \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}=\frac{3.\tan \alpha -5}{4+\tan \alpha }$

Thay tan $\alpha$ = 4 ta được: $P=\frac{3.4-5}{4+4}=\frac{7}{8}$

Vậy P = $\frac{7}{8}$

Đáp án cần chọn là: A

Xét tam giác vuông ABD và ADC, ta có $\tan B=\frac{AD}{BD}$; $\tan C=\frac{AD}{CD}$

Suy ra: $\tan B.\tan C=\frac{A{D}^2}{BD.CD}$ (1)

Lại có: $\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$ ) và $\widehat{HDB}=\widehat{ADC}={90}^0$

Do đó $∆BDH~∆ADC$(g.g), suy ra $\frac{DH}{DC}=\frac{BD}{AD}$, do đó BD.DC = DH.AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\tan B.\tan C=\frac{A{D}^2}{DH.AD}=\frac{AD}{DH}$(3)

Theo giả thiết $\frac{HD}{AH}=\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{HD}{AH+HD}=\frac{1}{2+1}$ hay $\frac{HD}{AD}=\frac{1}{3}$, suy ra AD = 3HD

Thay vào (3) ta được: $\tan B.\tan C=\frac{3HD}{DH}=3$

Đáp án cần chọn là: B

Xét tam giác vuông ABD và ADC, ta có: $\tan B=\frac{AD}{BD}$; $\tan C=\frac{AD}{CD}$

Suy ra: $\tan B.\tan C=\frac{A{D}^2}{BD.CD}$ (1)

Lại có $\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$) và $\widehat{HDB}=\widehat{ADC}={90}^0$

Do đó $∆BDH~∆ADC$(g.g), suy ra $\frac{DH}{DC}=\frac{BD}{AD}$, do đó BD.DC = DH.AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\tan B.\tan C=\frac{A{D}^2}{DH.AD}=\frac{AD}{DH}$ (3)

Theo giả thiết $\frac{HD}{AH}=\frac{3}{2}$ suy ra $\frac{HD}{AH+HD}=\frac{3}{2+3}$ hay $\frac{HD}{AD}=\frac{3}{5}$, suy ra AD = $\frac{5}{3}$ HD

Thay vào (3) ta được: $\tan B.\tan C=\frac{\frac{5}{3}HD}{DH}=\frac{5}{3}$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\sin \alpha =\frac{5}{13}$ suy ra ${\sin }^2\alpha =\frac{25}{169}$

mà ${\sin }^2\alpha +{\cos }^1\alpha =1$, do đó:

Suy ra $\cos \alpha =\frac{12}{13}$

Do đó $cot\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{12}{13}:\frac{5}{13}=\frac{12}{13}.\frac{13}{5}=\frac{12}{5}$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ suy ra ${\sin }^2\alpha =\frac{9}{25}$, mà ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, do đó:

${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ suy ra $\cos \alpha =\frac{4}{5}$

Do đó:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{3}{5}:\frac{4}{5}=\frac{3}{5}.\frac{5}{4}=\frac{3}{4}$

$cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{4}{5}:\frac{3}{5}=\frac{4}{5}.\frac{5}{3}=\frac{4}{3}$

Vậy $\cos \alpha =\frac{4}{5}$; $\tan \alpha =\frac{3}{4}$; $cot \alpha =\frac{4}{3}$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$\tan {89}^0=cot{1}^0$; $\tan {88}^0=cot{2}^0$; …; $\tan {46}^0=cot{44}^0$ và $\tan \alpha .cot \alpha =1$

Nên B = $\left(\tan 1^0.\tan {89}^0\right)$.$\left(\tan 2^0.\tan {88}^0\right)$ … $\left(\tan {46}^0.\tan {44}^0\right)$.$\tan {45}^0$

= $\left(\tan 1^0.cot 1^0\right)$.$\left(\tan 2^0.cot 2^0\right)$.$\left(\tan 3^0.cot 3^0\right)$ … $\left(\tan {44}^0.cot {44}^0\right)$.$\tan {45}^0$

= 1.1.1….1.1 = 1

Vậy B = 1

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

Nên:

= 1.1.1.1 = 1

Vậy B = 1

Đáp án cần chọn là: B

Vì $\tan \alpha \ne 0\Rightarrow \cos \alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của B cho ${\cos }^2\alpha$ ta được:

B = $\frac{\frac{{\cos }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }-3\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}{\frac{3}{{\cos }^2\alpha }-\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }}=\frac{1-3{\tan }^2\alpha }{3.\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-{\tan }^2\alpha }$

$=\frac{1-3{\tan }^2\alpha }{3\left(1+{\tan }^2\alpha \right)-{\tan }^2\alpha }=\frac{1-3{\tan }^2\alpha }{3+2{\tan }^2\alpha }$$=\frac{1-3.9}{3+2.9}=-\frac{26}{21}$

Hay B = $-\frac{26}{21}<0$

Đáp án cần chọn là: B

Vì tam giác ABC cân tại A nên AE là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

=> E là trung điểm BC => EB = EC = 5

Xét ABE vuông tại E có:

Mặt khác:

Xét ABH vuông tại H có:

Đáp án cần chọn là: A

Xét $∆$ADE vuông tại E có:

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

Đáp án cần chọn là: B

$A={\sin }^2{15}^0+{\sin }^2{25}^0+{\sin }^2{35}^0+{\sin }^2{45}^0+{\sin }^2{55}^0+{\sin }^2{65}^0+{\sin }^2{75}^0$

Ta có:

$A={\sin }^2{15}^0+{\sin }^2{25}^0+{\sin }^2{35}^0+{\sin }^2{45}^0+{\sin }^2{55}^0+{\sin }^2{65}^0+{\sin }^2{75}^0$

$={\sin }^2{15}^0+{\sin }^2{25}^0+{\sin }^2{35}^0+{\sin }^2{45}^0+{\cos }^2{35}^0+{\cos }^2{25}^0+{\cos }^2{15}^0$

$=({\sin }^2{15}^0+{\cos }^2{15}^0)+({\sin }^2{25}^0+{\cos }^2{25}^0)+({\sin }^2{35}^0+{\cos }^2{35}^0)+{\sin }^2{45}^0$

   = 1 + 1 + 1 + ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$= 3 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{7}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Xét $∆$OAB và $∆$COD có:

 $\widehat{OBC}=\widehat{CDO}={90}^0$(gt)

OB = CD (gt)

AB = OD (gt)

=> $∆$OAB = $∆$COD (c – g – c)

=> OA = OC (2 cạnh tương ứng)

=> OA.OC = $O{A}^2$ = $O{B}^2+A{B}^2=a^2+b^2$ (Định lý Pytago)

$\cos \widehat{AOC}=\cos \left(\widehat{AOB}-\widehat{COD}\right)$

$=\cos \widehat{AOB}.\cos \widehat{COD}+\sin \widehat{AOB}.\sin \widehat{COD}$  

= $\frac{OB}{OA}.\frac{OD}{OC}+\frac{AB}{OA}.\frac{CD}{OC}=\frac{OB.OD+AB.CD}{OA.OC}$ = $\frac{ab+ab}{a^2+b^2}=\frac{2ab}{a^2+b^2}$

Đáp án cần chọn là: A

Đáp án cần chọn là: A