Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức:

HA² = HB.HC

Đáp án cần chọn là: B

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức

HA² = HB.HC

Hay “Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng Tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền”

Đáp án cần chọn là: B

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức

$A{C}^2=CH.BC$; $A{B}^2=BH.BC$; AB.AC = BC.AH và $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$

Nhận thấy phương án D: $A{H}^2=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}$ là sai

Đáp án cần chọn là: D

Nhận thấy ah = bc nên phương án C là sai

Đáp án cần chọn là: C

Theo định lý Py-ta-go ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\iff B{C}^2=100\iff BC=10$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}$ hay x = 3,6

=> CH = BC – BH = 10 – 3,6 = 6,4

Đáp án cần chọn là: A

Theo định lý Py-ta-go ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\iff B{C}^2=25\iff BC=5$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}$ hay x = 1,8

=> CH = BC – BH = 5 – 1,8 = 3,2 hay y = 3,2

Vậy x = 1,8; y = 3,2

Đáp án cần chọn là: B

Theo định lý Py-ta-go ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\iff B{C}^2=74\iff BC=\sqrt{74}$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

BC.AH = AB.AC <=> AH = $\frac{AB.AC}{BC}=\frac{5.7}{\sqrt{74}}=\frac{35\sqrt{74}}{74}$

Vậy $x=\frac{35\sqrt{74}}{74};y=\sqrt{74}$

Đáp án cần chọn là: A

Theo định lý Py-ta-go ta có $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2\iff B{C}^2=169\iff BC=13$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

BC.AH = AB.AC <=> AH = $\frac{AB.AC}{BC}=\frac{5.12}{13}=\frac{60}{13}$

Vậy $x=\frac{60}{13}$ ; y = 13

Đáp án cần chọn là: D

Ta có AB : AC = 3 : 4 $\iff \frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}\Rightarrow \frac{A{B}^2}{9}=\frac{A{C}^2}{16}$

$=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{9+16}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{25}=\frac{B{C}^2}{25}=\frac{225}{25}=9$

(Vì theo định lý Py-ta-go ta có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\iff A{B}^2+A{C}^2=225$)

Nên  $\frac{A{B}^2}{9}=9\Rightarrow$AB = 9; $\frac{A{C}^2}{16}=9\Rightarrow$AC = 12

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\Rightarrow BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{81}{15}=5,4$

Vậy BH = 5,4

Đáp án cần chọn là: A

Ta có AB : AC = 4 : 5 $\iff \frac{AB}{4}=\frac{AC}{5}\Rightarrow \frac{A{B}^2}{16}=\frac{A{C}^2}{25}$$=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{16+25}=\frac{41}{41}=1$

(Vì theo định lý Py-ta-go ta có $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\iff A{B}^2+A{C}^2={\left(\sqrt{41}\right)}^2=41$)

Nên  $\frac{A{B}^2}{16}=1\Rightarrow$$A{B}^2=16\Rightarrow$AB = 4;  $\frac{A{C}^2}{25}=1\Rightarrow$AC = 5

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC ta có:

$A{C}^2=CH.BC$$\Rightarrow CH=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{25}{\sqrt{41}}\approx 3,9$

Vậy CH $\approx$  3,9

Đáp án cần chọn là: D

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\iff BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{144}{20}=7,2$ => CH = BC – BH = 20 – 7,2 = 12,8

Vậy x = 7,2; y = 12,8

Đáp án cần chọn là: C

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B}^2=BH.BC$$\iff BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{100}{16}=6,25$ => CH = BC – BH = 16 – 6,25 = 9,75

Vậy x = 6,25; y = 9,75

Đáp án cần chọn là: B

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\iff \frac{1}{A{H}^2}=\frac{A{B}^2+A{C}^2}{A{B}^2.A{C}^2}\iff A{C}^2=\frac{A{B}^2.A{C}^2}{A{B}^2+A{C}^2}$

$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}}=\frac{12.13}{\sqrt{{12}^2+{13}^2}}\approx 8,82$

Vậy x $\approx$ 8,82

Đáp án cần chọn là: B

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}}=\frac{15.20}{\sqrt{{15}^2+{20}^2}}=12$

Vậy x = 12

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: AB : AC = 3 : 4, đặt AB = 3a; AC = 4a (a > 0)

Theo hệ thức lượng: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{36}=\frac{1}{9a^2}+\frac{1}{16a^2}\Rightarrow \frac{1}{36}=\frac{25}{144a^2}$

=> a = $\frac{5}{2}$(TM) => AB = 7,5; AC = 10

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:

CH = $\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\sqrt{100-36}=8$

Vậy CH = 8

Đáp án cần chọn là: A

Ta có: AB : AC = 3 : 7, đặt AB = 3a; AC = 7a (a > 0)

Theo hệ thức lượng: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{{42}^2}=\frac{1}{9a^2}+\frac{1}{49a^2}\Rightarrow \frac{1}{1764}=\frac{58}{441a^2}$

$\Rightarrow 441a^2=102312$$\Rightarrow A=2\sqrt{58}\left(TM\right)$$\Rightarrow AB=6\sqrt{58};$$AC=14\sqrt{58}$

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AHC ta có:

CH = $\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\sqrt{{\left(14\sqrt{58}\right)}^2-{42}^2}=98$

Vậy CH = 98

Đáp án cần chọn là: C

Ta có: $\frac{HB}{HC}=\frac{1}{4}\Rightarrow$HC = 4HB

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

$A{H}^2=BH.CH\iff 4^2=4B{H}^2$ $\iff BH=2\left(cm\right)\Rightarrow CH=8\left(cm\right)$

Ta có: BC = BH + HC = 2 + 8 = 10 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

$\Rightarrow A{B}^2=BH.BC\iff A{B}^2=2.10$$\iff AB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\left(cm\right)$

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff 20+A{C}^2=100\iff A{C}^2=80\Rightarrow AC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\left(cm\right)$

Vậy chu vi tam giác ABC là:$4\sqrt{5}+2\sqrt{5}+10=6\sqrt{5}+10cm$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có: $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{7}\Rightarrow AB=\frac{3}{7}AC$

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\iff \frac{1}{{42}^2}=\frac{49}{9A{C}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$$\iff \frac{1}{{42}^2}=\frac{58}{9A{C}^2}$$\iff A{C}^2=11368$

 AC = $14\sqrt{58}$(cm),  AB = $\frac{3}{7}.14\sqrt{58}$= $6\sqrt{58}$(cm)

Áp dụng định lý Pytago cho ABH vuông tại A có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$

$\iff B{C}^2={\left(6\sqrt{58}\right)}^2+{\left(14\sqrt{58}\right)}^2$$\iff B{C}^2=13456\Rightarrow BC=116cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng hệ thức lượng giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{H}^2=BH.CH\Rightarrow A{H}^2=1.4\Rightarrow AH=2$

Áp dụng định lý Pytagp cho tam giác vuông AHB; AHC ta có:

AB = $\sqrt{A{H}^2+H{B}^2}=\sqrt{5}$; AC = $\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=2\sqrt{5}$

Vậy x = $\sqrt{5}$ ; y = 2$\sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: C

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{H}^2=BH.CH\Rightarrow A{H}^2=2.5\Rightarrow AH=\sqrt{10}$

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB, AHC ta có

AB = $\sqrt{A{H}^2+H{B}^2}=\sqrt{10+4}=\sqrt{14}$;

AC = $\sqrt{A{H}^2+H{C}^2}=\sqrt{10+25}=\sqrt{35}$

Vậy  x = $\sqrt{14}$ ; y = $\sqrt{35}$

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{M{D}^2}=\frac{1}{M{N}^2}+\frac{1}{M{P}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{36}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\iff \frac{1}{36}=\frac{2}{x^2}$$\Rightarrow x^2=72\iff x=6\sqrt{2}$

Vậy x = $6\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$\frac{1}{M{D}^2}=\frac{1}{M{N}^2}+\frac{1}{M{P}^2}$$\Rightarrow \frac{1}{64}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^2}\iff \frac{1}{64}=\frac{2}{x^2}$$\Rightarrow x^2=128\iff x=8\sqrt{2}$

Vậy x = $8\sqrt{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Kẻ BE $\perp$CD tại E

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}={90}^{\circ }$ ) nên BE = AD = 12cm

Đặt EC = x (0 < x < 25) thì DE = 25 – x

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:

$B{E}^2=ED.EC\iff x(25-x)=144\iff x^2-25x+144=0$

 $x^2-16x-9x+144=0$ <=> x(x – 16) – 9(x – 16) = 0 <=> (x – 16)(x – 9) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x=16\\ x=9\end{array}\right.$ (thỏa mãn)

Với EC = 16, theo định lý Pytago ta có BC = $\sqrt{B{E}^2+E{C}^2}=\sqrt{{12}^2+{16}^2}=20$ (loại)

Với EC = 9, theo định lý Pytago ta có BC = $\sqrt{B{E}^2+E{C}^2}=\sqrt{{12}^2+9^2}=15$ (nhận)

Vậy BC = 15cm

Đáp án cần chọn là: A

Kẻ BE$\perp$CD tại E

Suy ra tứ giác ABED là hình chữ nhật (vì $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}={90}^{\circ }$ ) nên BE = AD = 10cm

Đặt EC = x (0 < x < 20) thì DE = 20 – x

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông BCD ta có:

$B{E}^2=ED.EC\iff$x(20 – x) = 100$\iff x^2-20X+100=0$

$\iff {(x-10)}^2=0\iff$x = 10 (tm)

Với EC = 10, theo định lý Pytago ta có BC = $\sqrt{B{E}^2+E{C}^2}=\sqrt{{10}^2+{10}^2}=10\sqrt{2}$

Vậy BC =$10\sqrt{2}$cm

Đáp án cần chọn là: B

Theo giả thiết AB : AC = 3 : 4

Suy ra $\frac{AB}{3}=\frac{AC}{4}=\frac{AB+AC}{3+4}=3$. Do đó AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=9^2+{12}^2=225$, suy ra BC = 15cm

Đáp án cần chọn là: B

Theo giả thiết AB : AC = 5 : 12

Suy ra $\frac{AB}{5}=\frac{AC}{12}=\frac{AB+AC}{5+12}=\frac{34}{17}=2$ . Do đó AB = 5.2 = 10 (cm);

AC = 2.12 = 24 (cm)

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={10}^2+{24}^2=676$, suy ra BC = 26cm

Đáp án cần chọn là: C

Tứ giác ARHD là hình chữ nhật vì:  $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}={90}^{\circ }$ nên DE = AH.

Xét $∆$ABC vuông tại A có $A{H}^2$ = HB.HC = 4.9 = 36$\iff$AH = 6

Nên DE = 6cm

Đáp án cần chọn là : D

Tứ giác AEHD là hình chữ nhật vì:  $\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{D}={90}^o$ nên DE = AH.

Xét ABC vuông tại A có: $A{H}^2$ = HB.HC = 9.16 = 144 => AH = 12

Nên DE = 12cm

Đáp án cần chọn là: A

Qua B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E. Gọi BH là đường cao của hình thang. Ta có BE // AC, AC$\perp$ BD nên BE $\perp$BD

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông BDH, ta có: $B{H}^2+H{D}^2=B{D}^2$

${12}^2+H{D}^2={15}^2\Rightarrow H{D}^2=81$ => HD = 9cm

Xét tam giác BDE vuông tại B:

$B{D}^2=DE.DH\Rightarrow {15}^2=DE.9\Rightarrow DE=25cm$

Ta có: AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25cm

Do đó $S_{ABCD}$ =(AB+CD).BH:2 = 25.12 : 2 = 150($c{m}^2$)

Đáp án cần chọn là: A

Xét $∆$ADB vuông tại A có: AH là đường cao ứng với cạnh huyền BD

$\Rightarrow A{H}^2$ = HB. HD = 8.18 $\Rightarrow$ HA = 12 (cm) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Xét $∆$ADC vuông tại D có: DH là đường cao ứng với cạnh huyền AC

$\Rightarrow H{D}^2=HA.HC\Rightarrow {18}^2=12HC$ => HC = 27 (cm) (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có: AC = AH + HC = 12 + 27 = 39 cm

BD = BH + HD = 8 + 18 = 26cm

$S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}=\frac{26.39}{2}=507c{m}^2$ - tứ giác có 2 đường chéo $d_1, d_2$ vuông góc với nhau thì S = $\frac{1}{2}{d}_1.d_2$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có ∆ABC cân tại A => AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến (định lý)

=> H là trung điểm của BC

Đặt  BH = x (x > 0, cm) $\Rightarrow BC=2.BH=2x$ 

Ta có: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}CK.AB$ $\iff$AH.BC = CK.AB $\iff$7,5.2x = 12.AB

$\iff$AB = $\frac{5}{4}x$

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại H ta có:

$A{B}^2=B{H}^2+A{H}^2\iff \frac{25}{16}{x}^2=x^2+7,5^2$

$\iff \frac{9}{16}{x}^2=7,5^2\iff x^2=100\Rightarrow x=10$

=> AB = $\frac{5}{4}.10$ = 12,5 cm

=> BC = 2BH = 20cm

Đáp án cần chọn là: C

Xét $∆$ABC vuông tại A có M là trung điểm AB

=> HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB

=> HM = $\frac{1}{2}$AB => AB = 2HM = 2. 15 = 30 (cm)

Xét $∆$ACH vuông tại H có N là trung điểm AC

=> HN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

=> HN = $\frac{1}{2}$AC => AC = 2HN = 2. 20 = 40 (cm)

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có:

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Ta có: HC = BC – BH = 50 – 18 = 32 (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

AH.BC = AB.AC => AH.50 = 30.40 => AH = 24 (cm)

Đáp án cần chọn là: D

Áp dụng định lý Pitago cho ABH vuông tại A có:

Vì BM là tia phân giác trong của góc B$\Rightarrow \frac{MA}{MC}=\frac{AB}{BC}$ (Tính chất đường phân giác)

$\Rightarrow \frac{MA}{MC+MA}=\frac{AB}{BC+AB}\Rightarrow \frac{MA}{AC}=\frac{AB}{BC+AB}$$\Rightarrow \frac{MA}{8}=\frac{6}{10+6}\Rightarrow$MA = 3cm

Vì BM; BN là tia phân giác trong và ngoài của góc B$\Rightarrow \widehat{NBM}={90}^0$

Áp dụng hệ thức lượng trong ABM vuông tại B có đường cao BA ta có:

Đáp án cần chọn là: D

Áp dụng định lý Pytago cho  ABH vuông tại A có:

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆$ ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Vì AM là đường trung tuyến  M là trung điểm BC

Ta có: MH = BM – BH = 25 – 18 = 7 cm

Đáp án cần chọn là: A

Giả sử tam giác đã cho là ABC vuông tại A có AB < AC, BC = 5; AH = 2

Đặt BH = x (0 < x < 2,5) => HC = 5 – x

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

=> (x – 1)(x – 4) = 0

$\iff \left[\begin{array}{l}x-1=0\\ x-4=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\left(tm\right)\\ x=4\left(ktm\right)\end{array}\right.$

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác đã cho có độ dài là $\sqrt{5}$

Đáp án cần chọn là: A

Theo đề bài ta có: các cạnh AB, AC tương ứng tỉ lệ với 3 và 4

Áp dụng hệ thức lượng trong ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

Áp dụng định lý Pitago cho ABC vuông tại A ta có:

Chu vi $∆$ABC: AB + BC + CA = 22,5 + 30 + 37, 5 = 90cm

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông: ABC :

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC:

M là trung điểm củaBC

Vậy  HM = BM – BH = $\frac{7}{10}$(cm)

Đáp án cần chọn là: A

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác ABH vuông tại H. Ta có:

Trong tam giác vuông ABC vuông tại A có AH là đường cao

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông ABC ta có:

Vậy AC = 7,5 (cm); BC =  12,5 (cm)

Đáp án cần chọn là: B