Đáp án đúng là: D

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên:

⦁ \[c = a.\cos B = a.\sin C\,;\]

⦁ \[c = b.\cot B = b.\tan C.\]

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết độ dài hai cạnh hoặc độ dài một cạnh và số đo một góc nhọn thì ta sẽ tìm được tất cả độ dài các cạnh và số đo các góc còn lại của tam giác đó. Bài toán đặt ra như thế gọi là bài toán “giải tam giác vuông”.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên:

⦁ \[b = c\tan B = c\cot C\,;\]

⦁ \[c = b\tan C = b\cot B.\]

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Theo đề bài, ta có độ dài cạnh góc vuông \[AB = 250\] (m) và độ dài cạnh huyền \[BC = 320\] (m).

Mà cạnh góc vuông \[AB\] là cạnh kề của góc nhọn \[\alpha \].

Do đó để tính giá trị của \[\alpha \], cách đơn giản nhất là ta nên sử dụng tỉ số giữa cạnh kề \[AB\] và cạnh huyền \[BC\] của góc nhọn \[\alpha \]. Tức là sử dụng côsin của góc nhọn \[\alpha \].

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] nên \[AH = BH.\tan B = 10,4.\tan 35^\circ .\]

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \[AC = BC.\cos C.\]

Suy ra \[BC = \frac{{AC}}{{\cos C}} = \frac{{20}}{{\cos 60^\circ }} = 40\] (cm).

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \[AC = BC.\sin B = 12.\sin 40^\circ \approx 7,71\] (cm).

Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \[\widehat B + \widehat C = 90^\circ \] (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Suy ra \[\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ .\]

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], có:

⦁ \[AC = AB.\tan B = 6.\frac{5}{{12}} = \frac{5}{2} = 2,5\] (cm);

⦁ \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {\left( {2,5} \right)^2} = 42,25\] (theo định lí Pythagore)

Suy ra \[BC = 6,5\] (cm).

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], có: \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\] (Định lí Pythagore)

Suy ra \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74.\] Do đó \[BC = \sqrt {74} \] (cm).

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\] nên \[\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{7}.\]

Suy ra \[\widehat C \approx 35^\circ 32'.\]

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

Vì cầu môn cao \[2,4\] m nên \[BC = 2,4\] m.

Vì khoảng cách từ vị trí sút bóng đến chân cầu môn là \[25\] m nên \[AB = 25\] m.

Do góc \[\alpha \] tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất nên ta có \[\alpha = \widehat {BAC}.\]

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[\tan \alpha = \tan \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{2,4}}{{25}} = 0,096.\]

Suy ra \[\alpha \approx 5^\circ 29'.\]

Do đó góc tạo bởi đường đi của quả bóng và mặt đất là \[\alpha \approx 5^\circ 29'.\]

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Ta có dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc \[\widehat {BAC}\] so với dự định ban đầu.

Theo đề, ta có \[BA = 130\] (m) và \[AC = 150\] (m).

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[\cos \widehat {BAC} = \frac{{BA}}{{AC}} = \frac{{130}}{{150}} = \frac{{13}}{{15}}.\]

Suy ra \[\widehat {BAC} \approx 30^\circ .\]

Do đó dòng nước đã đẩy con đò đi lệch một góc \[30^\circ \] so với phương dự định ban đầu.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Theo đề, ta có \[\widehat {BAC} = 23^\circ \] và \[BC = 2\,\,500\] (m).

Vì tam giác \[ABC\] vuông tại \[B\] nên \[\sin \widehat {BAC} = \frac{{BC}}{{AC}}.\]

Suy ra \[AC = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}\] hay \[x = \frac{{2\,\,500}}{{\sin 23^\circ }} \approx 6\,\,398\] (m).

Do đó muốn đạt độ cao \[2500\] m thì máy bay phải bay một đoạn đường \[x\] dài \[6\,\,398\] mét.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác \[ABC\] nhọn có \[BH\] là đường cao nên \[BH \bot AC.\]

Vì tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] nên \[BH = AB.\sin A = 3,5.\sin 40^\circ .\]

Diện tích tam giác \[ABC\] là: \[S = \frac{1}{2}.BH.AC = \frac{1}{2}.3,5.\sin 40^\circ .4 \approx 4,5\] (đvdt).

Vậy diện tích tam giác \[ABC\] khoảng \[4,5\] (đvdt).

Do đó ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: C

Kẻ \[BH \bot CD\] tại \[H.\]

Ta có \[\widehat {BAD} = \widehat {ADH} = \widehat {BHD} = 90^\circ \] suy ra tứ giác \[ABHD\] là hình chữ nhật.

Do đó \[BH = AD = 1,2\] và \[DH = AB = 2.\]

Vì tam giác \[BCH\] vuông tại \[H\] nên \[\tan C = \frac{{BH}}{{CH}}.\]

Suy ra \[CH = \frac{{BH}}{{\tan C}} = \frac{{1,2}}{{\tan 50^\circ }} \approx 1.\]

Ta có \[CD = DH + HC \approx 2 + 1 \approx 3.\]

Diện tích hình thang \[ABCD\] là: \[S = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right).AD \approx \frac{1}{2}.\left( {2 + 3} \right).1,2 \approx 3\] (đvdt).

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Ta có \[NB = M'C' = N'B' = MC = 1,55\] (m).

Ta thấy độ cao của diều của bạn Việt và bạn Nam lần lượt là \[AB,\,\,A'B'.\]

Vì sợi dây diều của bạn Việt có độ dài \[100\] m nên ta có \[AM = 100\] (m).

Vì dây diều của bạn Việt tạo với phương ngang một góc \[42^\circ \] nên ta có \[\widehat {AMN} = 42^\circ .\]

Do tam giác \[AMN\] vuông tại \[N\] nên \[AN = AM.\sin \widehat {AMN} = 100.\sin 42^\circ \approx 66,91\] (m).

Thực hiện tương tự, ta được \[A'N' = 48\sqrt 2 \approx 67,88\] (m).

Độ cao của diều của bạn Việt là: \[AB = AN + NB \approx 66,91 + 1,55 = 68,46\] (m).

Độ cao của diều của bạn Nam là: \[A'B' = A'N' + N'B' \approx 67,88 + 1,55 = 69,43\] (m).

Vì \[69,43{\rm{\;m}} > 68,46{\rm{\;m}}\] nên \[A'B' > AB.\]

Mà \[A'B' - AB = 69,43 - 68,46 = 0,97\] (m).

Do đó so với mặt đất thì diều của bạn Nam lên cao hơn diều của bạn Việt và cao hơn \[0,97\] m.

Vậy ta chọn phương án B.