Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Tam giác đồng dạng, Định lí Talet có đáp án
Chủ đề 1: Định lí Ta-lét có đáp án
-
1406 lượt thi
-
18 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho đoạn thẳng \(AB = 15cm\), M là một điểm trên đoạn thẳng AB sao cho \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{7}{4}\). Tính độ dài MA và MB.
Xem đáp án
Theo giả thiết, \(\frac{{MA}}{{MB}} = \frac{7}{4} \Rightarrow \frac{{MA}}{7} = \frac{{MB}}{4} = \frac{{MA + MB}}{{7 + 4}} = \frac{{AB}}{{11}} = \frac{{15}}{{11}}\)
\( \Rightarrow MA \approx 9,55cm;\,\,MB \approx 5,45cm\)
Câu 2:
Tính độ dài x trong các hình sau:
Xem đáp án
Do \(DE\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow \frac{2}{x} = \frac{3}{7} \Rightarrow x = \frac{{14}}{3}\).
Câu 3:
Tính độ dài x trong các hình sau:
Xem đáp án
Do \(DE \bot AB,\,\,BC \bot AB\) nên \(DE\parallel BC\).
Từ đó, theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow \frac{3}{y} = \frac{4}{{4 + 2,5}} \Rightarrow y = 4,875\).
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có \(BC = 15cm\). Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho \(AK = KI = IH\). Qua I và K vẽ các đường thẳng EF, MN song song với BC (\(E,M \in AB;F,N \in AC\)). Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
Câu 4:
Cho tam giác ABC có \(BC = 15cm\). Trên đường cao AH lấy các điểm I, K sao cho \(AK = KI = IH\). Qua I và K vẽ các đường thẳng EF, MN song song với BC (\(E,M \in AB;F,N \in AC\)). Tính độ dài các đoạn thẳng MN và EF.
Xem đáp án
\(MK\parallel BH\) nên theo định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AK}}{{AH}} = \frac{1}{3}\).
Lại có \(MN\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow MN = 5cm\).
\(EI\parallel BH\) nên theo định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AH}} = \frac{2}{3}\).
\({\rm{EF}}\parallel BC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{{\rm{EF}}}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {\rm{EF}} = 10cm\).
Câu 5:
Cho tam giác ABC, từ điểm D trên cạnh BC kẻ các đường thẳng song song với các cạnh AB và AC, chúng cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F.
Chứng minh rằng: \(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = 1\).
Xem đáp án
Để chứng minh đẳng thức \(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = 1\), ta sẽ tìm từng tỉ số
\(\frac{{AE}}{{AB}},\frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}}\).
Do \(DE\parallel AC\) nên theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}}\) (1).
Do \(DF\parallel AB\) nên theo định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}\) (2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
\(\frac{{AE}}{{AB}} + \frac{{{\rm{AF}}}}{{AC}} = \frac{{DC}}{{BC}} + \frac{{BD}}{{BC}} = 1\) (đpcm).
Câu 6:
Đường thẳng d cắt các cạnh AB, AD và đường chéo AC của hình bình hành ABCD lần lượt tại E, F và I. Chứng minh rằng \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\).
Xem đáp án
Để chứng minh \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\), ta sẽ tìm từng tỉ số \(\frac{{AB}}{{AE}},\frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}}\).
Kẻ \(BG\parallel {\rm{EF(G}} \in {\rm{AC),}}\,\,{\rm{DH}}\parallel {\rm{EF(H}} \in {\rm{AC)}}\).
Gọi O là giao điểm của BD và AC.
Khi đó, theo định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AG}}{{AI}};\frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AH}}{{AI}}\).
\( \Rightarrow \frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AG}}{{AI}} + \frac{{AH}}{{AI}} = \frac{{AG + AH}}{{AI}} = \frac{{2AG + GH}}{{AI}}\)
Do \(BG,\,\,DH\parallel E{\rm{F}}\) nên \({\rm{BG}}\parallel {\rm{DH}} \Rightarrow \widehat {GBO} = \widehat {HDO}\). Từ đó \(\Delta BGO = \Delta DHO\) (g.c.g).
Suy ra \(GO = OH \Rightarrow 2AG + GH = 2AG + 2GO = 2AO = AC\)
Do đó, \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AD}}{{{\rm{AF}}}} = \frac{{AC}}{{AI}}\) (đpcm).
Câu 7:
Cho hình thang ABCD (\[AB\parallel CD\] và \[AB < CD\]), các cạnh bên AD và BC cắt nhau tại E. Tính BC biết \[AE = 2,\,\,AD = 2\] và \[CE = 6\]
Xem đáp án
Do \[AB\parallel CD\] nên theo định lí Ta-lét ta có:
\[\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{BC}} = 1 \Rightarrow BC = \frac{1}{2}CE = 3\].
Câu 8:
Cho hình thang ABCD (\[AB\parallel CD\] và \[AB < CD\]), các cạnh bên AD và BC cắt nhau tại E. Từ điểm M bất kỳ trên đáy CD, kẻ \[MC'\parallel DE\] và \[MD'\parallel CE\,\,(C' \in CE,D' \in DE)\]
Chứng minh rằng \[\frac{{D'E}}{{ED}} + \frac{{EC'}}{{EC}} = 1\].
Xem đáp án
Do \[D'M\parallel CE\] nên theo định lí Ta-lét ta có:
\[\frac{{D'E}}{{DE}} = \frac{{MC}}{{DC}}\] (1).
Do \[C'M\parallel DE\] nên theo định lí Ta-lét ta có:
\[\frac{{C'E}}{{EC}} = \frac{{DM}}{{DC}}\] (2).
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được: \[\frac{{D'E}}{{DE}} + \frac{{C'E}}{{EC}} = \frac{{MC}}{{DC}} + \frac{{DM}}{{DC}} = 1\].
Câu 9:
Tính độ dài x, y trong hình sau:
Xem đáp án
\[{\rm{a}}\parallel {\rm{BC}} \Rightarrow \frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AE}}{{CE}} \Rightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{4} = \frac{{\mathop{\rm x}\nolimits} }{8} \Rightarrow x = 2\sqrt 2 \].
Câu 10:
Tính độ dài x, y trong hình sau:
Xem đáp án
\[DE\parallel NP \Rightarrow \frac{{DM}}{{DN}} = \frac{{ME}}{{EP}} \Rightarrow \frac{{4,5}}{x} = \frac{6}{2} \Rightarrow x = 1,5\].
Lại có \[\frac{{DE}}{{NP}} = \frac{{ME}}{{MP}} \Rightarrow \frac{7}{y} = \frac{6}{8} \Rightarrow y = \frac{{28}}{3}\].Câu 11:
Tính độ dài x, y trong hình sau:
Xem đáp án
Câu 12:
Tính độ dài x, y trong hình sau:
Xem đáp án
\[DE\parallel BC \Rightarrow \frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{DE}}{{BC}} = \frac{{AD}}{{AC}} \Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{x}{6} = \frac{{1,5}}{{1,5 + y}} \Rightarrow x = 1,5;y = 4,5\].
Câu 13:
Cho hình thang ABCD \[(AB\parallel CD)\]. Đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh AD tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho \[MD = 3MA\]. Tính tỉ số \[\frac{{NB}}{{NC}}\].
Xem đáp án
Gọi I là giao điểm của BD và MN
Do \[MI\parallel AB\] nên theo định lí Ta-lét ta có:
\[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{IB}}{{ID}}\] (1).
Tương tự, do \[NI\parallel CD\] nên theo định lí Ta-lét ta có:
\[\frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{NB}}{{NC}}\] (2).
Từ (1) và (2) suy ra \[\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{1}{3}\].
Câu 14:
Cho hình thang ABCD \[(AB\parallel CD)\]. Đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh AD tại M, cắt cạnh BC tại N sao cho \[MD = 3MA\]. Cho \[AB = 8\,cm,\,\,CD = 20\,cm\]. Tính MN
Xem đáp án
Ta có: \[\frac{{MI}}{{AB}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{3}{4} \Rightarrow MI = \frac{3}{4}AB = 6\,cm\].
Tương tự, \[\frac{{NI}}{{CD}} = \frac{{BI}}{{BD}} = \frac{{AM}}{{DA}} = \frac{1}{4} \Rightarrow NI = 5\,cm\].
Do đó, \[MN = MI + NI = 11\,cm\].
Câu 15:
Cho tam giác ABC một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và AC tại E. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho \[CF = BD\]. Gọi M là giao điểm của DF và BC.
Chứng minh rằng \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\].
Xem đáp án
\[DE\parallel CM\] nên theo định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{CE}}{{CF}}\].
Mà \[CF = BD\] nên \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{CE}}{{BD}}\] (1).
Lại có, do \[DE\parallel BC\] nên theo định lí Ta-lét ta có:
\[\frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{CE}} \Rightarrow \frac{{CE}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{AB}}\] (2) .
Từ (1) và (2) ta suy ra \[\frac{{MD}}{{MF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\].
Câu 16:
Cho tam giác ABC lấy M, N thuộc hai cạnh AB, AC. Nối B với N, C với M. Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt AC tại I, qua N kẻ đường thẳng song song với CM cắt AB tại K. Chứng minh IK // BC.
Xem đáp án
Do \[NK\parallel CM\] nên
\[\frac{{AK}}{{AM}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Rightarrow AM.AN = AK.AC.\] (1).
Do \[MI\parallel BN\] nên
\[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AN}} \Rightarrow AM.AN = AB.AI\] (2).
Từ (1) và (2), suy ra \[AK.AC = AB.AI \Rightarrow \frac{{AK}}{{AB}} = \frac{{AI}}{{AC}}\].
Do đó, theo định lí Ta-lét đảo \[IK\parallel BC\] (đpcm).
Câu 17:
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên AD ở I, cắt đường chéo BD tại K, AC tại L và cắt cạnh bên BC tại G. Chứng minh IK = LG.
Xem đáp án
\[IK\parallel AB \Rightarrow \frac{{IK}}{{AB}} = \frac{{DI}}{{DA}} = \frac{{DK}}{{DB}}\] (1).
\[KG\parallel CD \Rightarrow \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{{CG}}{{CB}}\] (2).
\[LG\parallel AB \Rightarrow \frac{{LG}}{{AB}} = \frac{{CG}}{{CB}}\] (3).
Từ (1), (2), (3) suy ra \[\frac{{IK}}{{AB}} = \frac{{LG}}{{AB}} \Rightarrow IK = LG\].
Câu 18:
Cho hình thang ABCD (AB // CD). Một đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên AD ở I, cắt đường chéo BD tại K, AC tại L và cắt cạnh bên BC tại G. Đường thẳng đi qua giao điểm O của hai đường chéo và song song với hai đáy cắt hai cạnh bên ở E và F. Chứng minh OE = OF.
Xem đáp án
Ta có: \[OE\parallel AB \Rightarrow \frac{{OE}}{{AB}} = \frac{{OD}}{{DB}};\,\,OF\parallel AB \Rightarrow \frac{{OF}}{{AB}} = \frac{{OC}}{{AC}}\].
Lại có: \[AB\parallel CD \Rightarrow \frac{{OD}}{{BD}} = \frac{{OC}}{{AC}}\].
Do vậy \[\frac{{OE}}{{AB}} = \frac{{OF}}{{AB}} \Rightarrow OE = OF\].