19 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bài tập theo tuần Toán 9 - Tuần 3

Câu 1:

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm, EF = 20cm, $(M, H \in E F) .$ Tính: $D E, D H, E H, F H, D M$

Xem đáp án

Cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DH, đường trung tuyến DM, DF = 16cm (ảnh 1)

Áp dụng định lý Pytago vào $Δ D E F \Rightarrow E F^{2} = D F^{2} + D E^{2}$ hay $20^{2} = 16^{2} + D E^{2}$

\Rightarrow D E = \sqrt{20^{2} - 16^{2}} = 12 (c m)

Áp dụng hệ thức lượng vào $Δ D E F,$ đường cao DH

\begin{array}{l} \Rightarrow *) D H . E F = D E . D F h a y D H .20 = 12.16 \Rightarrow D H = 9, 6 (c m) \\ *) D E = E H . E F h a y 12^{2} = E H .20 \Rightarrow E H = \frac{12^{2}}{20} = 7, 2 (c m) \\ \Rightarrow F H = E F - E H = 20 - 7, 2 = 12, 8 (c m) \end{array}

Vì DM là đường trung tuyến trong $Δ D E F$ vuông tại D

\Rightarrow D M = \frac{1}{2} E F = \frac{1}{2} .20 = 10 (c m)

Vậy $D E = 12 c m, D H = 9, 6 c m, E H = 7, 2 c m, F H = 12, 8 c m, D M = 10 c m$

Câu 2:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. Tính $A B, A C, A H$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết rằng BH = 25cm, CH = 144cm. (ảnh 1)

Áp dụng hệ thức lượng vào $Δ A B C$ vuông tại A, đường cao AH ta có:

\begin{array}{l} +) A H^{2} = B H . H C h a y A H^{2} = 25.144 \Rightarrow A H = 60 (c m) \\ +) A B^{2} = B H . B C h a y A B^{2} = 25. (25 + 144) \Leftrightarrow A B = 65 (c m) \\ +) A C^{2} = C H . C B h a y A C^{2} = 144. (144 + 25) \Rightarrow A C = 156 (c m) \end{array}

Vậy $A B = 65 c m, A C = 156 c m, A H = 60 c m$

Câu 3:

Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5, và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. Tính hai cạnh góc vuông.

Xem đáp án

Một tam giác vuông có cạnh huyền là 5, và đường cao ứng với cạnh huyền là 2. (ảnh 1)

Theo bài BC = 5, AH = 2

Áp dụng hệ thức lượng vào $Δ A B C$ vuông tại A, đường cao AH

$\begin{array}{l} +) A B . A C = 2.5 = 10 \Rightarrow A B = \frac{10}{A C} \\ +) \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} \\ h a y \frac{1}{{(\frac{10}{A C})}^{2}} + \frac{1}{A C^{2}} = \frac{1}{2^{2}} \Rightarrow A C^{2} - 100 A C + 400 = 0 \\ \Rightarrow A C = \sqrt{50 + \sqrt{2100}} \Rightarrow A B = \frac{\sqrt{50 + \sqrt{2100}}}{5 + \sqrt{21}} \end{array}$

Câu 4:

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng:

a) A D . A B = A E . A C b) \hat{A E D} = \hat{A B C}

Xem đáp án

Cho tam giác nhọn ABC, AH là đường cao, D, E lần lượt là hình chiếu của H (ảnh 1)

a) $Δ A H B$ vuông tại H, HD là đường cao, áp dụng hệ thức lượng

$\Rightarrow A H^{2} = A D . A B (1), $ chứng minh tương tự ta có $A H^{2} = A E . A C (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $A D . A B = A E . A C$

b) Từ $A D . A B = A E . A C \Rightarrow \frac{A D}{A E} = \frac{A C}{A B}$

Xét $Δ A D E$ và $Δ A C B$ có: $\frac{A D}{A E} = \frac{A C}{A B}; \hat{A}$ chung

$\Rightarrow Δ A D E ~ Δ A C B (c . g . c) \Rightarrow \hat{A E D} = \hat{A B C}$ (hai góc tương ứng)

Câu 5:

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN vuông tại A có AC là đường cao. Xác định vị trí điểm C để $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án

Cho đoạn thẳng AB = 4cm, C là điểm di động sao cho BC = 3cm. Vẽ tam giác AMN (ảnh 1)

Xét $Δ A M N$ vuông tại A, AC là đường cao (gt), áp dụng hệ thức lượng ta có:

\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{1}{A C^{2}}

Xét ba điểm A, B, C ta có: $A C \geq |A B - A C| \Rightarrow A C \geq 1 c m$

Do vậy $\frac{1}{A C} \leq 1$ . Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow C$ nằm giữa hai điểm A và B

Vậy khi C nằm giữa A và B sao cho AB = 3cm thì $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}}$ lớn nhất

Câu 6:

Cho hình thoi ABCD với $\hat{A} = 120^{0} .$ Tia Ax tạo với tia $\hat{B A x}$ bằng $15^{0}$ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Xem đáp án

Cho hình thoi ABCD với góc A = 120 độ. Tia Ax tạo với tia AB bằng 15 độ (ảnh 1)

Vẽ $A E ⊥ A N, E \in D C \Rightarrow A H ⊥ D C, H \in D C$

Ta có : $\hat{D A E} = \hat{D A B} - (\hat{E A N} + \hat{B A x}) = 15^{0}$

Xét $Δ A B M$ và $Δ A D E$ có: $\hat{A B M} = \hat{A D E}; A B = A D$ (tính chất hình thoi); $\hat{B A M} = \hat{D A E} = 15^{0}$

Do đó $Δ A B M = Δ A D E (g . c . g) \Rightarrow A M = A E$

$Δ A D H$ vuông tại H có:

$\hat{A D H} = 180^{0} - \hat{B A D} = 60^{0}$ nên là nửa tam giác đều

\Rightarrow D H = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} A B

$Δ A D H$ có $\hat{H} = 90^{0},$ theo định lý pytago ta có:

$A H^{2} + D H^{2} = A D^{2} \Rightarrow A H^{2} = A B^{2} - {(\frac{1}{2} A B)}^{2} = \frac{3}{4} A B^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{A H^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

$Δ A N E$ có $\hat{A} = 90^{0}, A H ⊥ D N,$ theo hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có: $\frac{1}{A E^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} \Rightarrow \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} = \frac{4}{3 A B^{2}}$

Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. Chứng minh rằng: $\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Xem đáp án

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Cho biết BH = x, HC = y. (ảnh 1)

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC

Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, áp dụng hệ thức lượng :

\Rightarrow A H^{2} = B H . H C = x y \Rightarrow A H = \sqrt{x y}

$Δ A B C$ vuông tại A, AM là đường trung tuyến nên $A M = \frac{B C}{2} = \frac{x + y}{2}$

Ta có: $A H ⊥ H M \Rightarrow A H \leq A M \Rightarrow \sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}$

Câu 8:

Rút gọn các biểu thức sau :

(x - 2 y) \sqrt{\frac{x y}{{(x - 2 y)}^{2}}} (x < 2 y < 0)

Xem đáp án

$x < 2 y < 0 \Rightarrow x - 2 y < 0$

$(x - 2 y) \sqrt{\frac{x y}{{(x - 2 y)}^{2}}} = (x - 2 y) . \frac{\sqrt{x y}}{|x - 2 y|} = (x - 2 y) . \frac{\sqrt{x y}}{- (x - 2 y)} = - \sqrt{x y}$

Câu 9:

Rút gọn các biểu thức sau :

(x - y) \sqrt{\frac{x y}{{(x - y)}^{2}}}

Xem đáp án

\begin{array}{l} (x - y) \sqrt{\frac{x y}{{(x - y)}^{2}}} = (x - y) \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{{(x - y)}^{2}}} \\ = (x - y) . \frac{\sqrt{x y}}{|x - y|} = [\begin{array}{l} \sqrt{x y} (k h i x - y > 0) \\ - \sqrt{x y} (k h i x - y < 0) \end{array} \end{array}

Câu 10:

Rút gọn các biểu thức sau :

\sqrt{\frac{2 \sqrt{10} + \sqrt{30} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}}} : \frac{2}{\sqrt{3} - 1}

Xem đáp án

\begin{array}{l} \sqrt{\frac{2 \sqrt{10} + \sqrt{30} - 2 \sqrt{2} - \sqrt{6}}{2 \sqrt{10} - 2 \sqrt{2}}} : \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \\ = \sqrt{\frac{\sqrt{2} (2 \sqrt{5} + \sqrt{15} - 2 - \sqrt{3})}{\sqrt{2} (2 \sqrt{5} - 2)}} : \frac{2}{\sqrt{3} - 1} \\ = \sqrt{\frac{\sqrt{5} (2 + \sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3})}{2 \sqrt{5} - 2}} . \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ = \sqrt{\frac{(2 + \sqrt{3}) (\sqrt{5} - 1)}{2 (\sqrt{5} - 1)}} . \frac{\sqrt{3} - 1}{2} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}} . \frac{\sqrt{3} - 1}{2} \\ = \frac{(\sqrt{4 + 2 \sqrt{3}}) (\sqrt{3} - 1)}{2.2} = \frac{\sqrt{{(\sqrt{3} + 1)}^{2}} . (\sqrt{3} - 1)}{4} \\ = \frac{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)}{4} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2} \end{array}

Câu 11:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

\sqrt{275}

Xem đáp án

$\sqrt{275} = \sqrt{25.11} = 5 \sqrt{11}$

Câu 12:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

5 \sqrt{70 000}

Xem đáp án

$5 \sqrt{70000} = 5 \sqrt{10000.7} = 5.100 \sqrt{7} = 500 \sqrt{7}$

Câu 13:

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

\sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2}

Xem đáp án

\begin{array}{l} \sqrt{x^{4} - 2 x^{3} + 3 x^{2} - 4 x + 2} = \sqrt{(x^{4} - 2 x^{3} + x^{2}) + (2 x^{2} - 4 x + 2)} \\ = \sqrt{x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) + 2 (x^{2} - 2 x + 1)} = \sqrt{(x^{2} - 2 x + 1) (x^{2} + 2)} \\ = \sqrt{{(x - 1)}^{2} (x^{2} + 2)} = |x - 1| \sqrt{x^{2} + 2} \end{array}

Câu 14:

Tính

$F = \sqrt{\frac{25 + \sqrt{616}}{2}} - \sqrt{\frac{25 - \sqrt{616}}{2}}$

Xem đáp án

$\begin{array}{l} F = \sqrt{\frac{25 + \sqrt{616}}{2}} - \sqrt{\frac{25 - \sqrt{616}}{2}} = \frac{\sqrt{50 + 2 \sqrt{616}}}{2} - \frac{\sqrt{50 - 2 \sqrt{616}}}{2} \\ = \frac{\sqrt{{(\sqrt{28})}^{2} + 2. \sqrt{28} . \sqrt{22} + {(\sqrt{22})}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{28})}^{2} - 2. \sqrt{28} . \sqrt{22} + {(\sqrt{22})}^{2}}}{2} \\ = \frac{\sqrt{{(\sqrt{28} + \sqrt{22})}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{28} - \sqrt{22})}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{28} + \sqrt{22} - \sqrt{28} + \sqrt{22}}{2} = \sqrt{22} \end{array}$