11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Sự xác định của đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là?

A. Trung điểm của DM

B. Trung điểm của DB

C. Trung điểm của DE

D. Trung điểm của DA

Xem đáp án

Đáp án A

+) Ta có $∆ D C N = ∆ C M B (c - g - c)$

$\Rightarrow \hat{C D N} = \hat{E C N}$ nên $\hat{C N E} + \hat{E C N} = \hat{C N E} + \hat{C D N} = 90^{o}$

Suy ra góc $\hat{C E N} = 90^{o} \Rightarrow C M ⊥ D N$

+) Gọi I là trung điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM ta có $A I = I D = I M = \frac{D M}{2}$ . Xét tam giác vuông DEM ta có $E I = I D = I M = \frac{D M}{2}$

Nên $E I = I D = I M = I A = \frac{D M}{2}$

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $\frac{D M}{2}$

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của AM và DN. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là?

A. R = 5cm

B. R = 10cm

C. $R = 2 \sqrt{5} c m$

D. $R = \sqrt{5} c m$

Xem đáp án

Đáp án D

+) Ta có góc CDN = góc ECN (vì cùng phụ với góc CNE)

Nên $\hat{C N E} + \hat{E C N} = \hat{C N E} + \hat{C D N} = 90^{o}$

Suy ra $\hat{C E N} = 90^{o}$ $\Rightarrow C M ⊥ D N$

+) Gọi I là trung điểm của DM

Xét tam giác vuông ADM ta có $A I = I D = I M = \frac{D M}{2}$

Xét tam giác vuông DEM ta có $E I = I D = I M = \frac{D M}{2}$

Nên $E I = I D = I M = I A = \frac{D M}{2}$

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $R = \frac{D M}{2}$

Xét tam giác ADM vuông tại A có AD = 4cm; $A M = \frac{A B}{2} = 2 c m$ nên theo định lý Pytago ta có $D M = \sqrt{A D^{2} + A M^{2}} = \sqrt{4^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{5}$

Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm A, D, E, M là $R = \frac{D M}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5} c m$

Câu 3:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn?

A. D, H, B, C

B. A, B, H, C

C. A, B, D, H

D. A, B, D, C

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $∆$ ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \hat{C A D} = \hat{D A B}$

Suy ta $∆ A C D = ∆ A B D$ (c – g – c) nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$I A = I D = I B = I C = \frac{A D}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD

Câu 4:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2cm, BC = 8cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, D, C

A. d = 8cm

B. d = 12cm

C. d = 10cm

D. d = 5cm

Xem đáp án

Đáp án C

Ta có $∆$ ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \hat{C A D} = \hat{D A B}$

Suy ta $∆ A C D = ∆ A B D$ (c – g – c) nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$I A = I D = I B = I C = \frac{A D}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD

Do đó ta cần tính độ dài AD

Vì BC = 8cm $\Rightarrow$ BH = 4cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta được $A B = \sqrt{A H^{2} + B H^{2}} = \sqrt{4 + 16} = 2 \sqrt{5}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABD ta có $A B^{2} = A H . A D$

$\Rightarrow A D = \frac{A B^{2}}{A H} = \frac{20}{2} = 10$

Vậy đường kính cần tìm là 10cm

Câu 5:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 4cm, BC = 6cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Chọn câu đúng:

A. $\hat{A B C} = 90^{\circ}$

B. DC = DB

C. Bốn điểm A, B, D, C cùng thuộc một đường tròn

D. Cả A, B, C đều đúng

Xem đáp án

Đáp án D

Ta có $∆$ ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \hat{C A D} = \hat{D A B}$

Suy ta $∆ A C D = ∆ A B D$ (c – g – c) nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$ và CD = DB nên A, B đúng

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$I A = I D = I B = I C = \frac{A D}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD nên đáp án C đúng

Câu 6:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 4cm, BC = 6cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D

Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, D, C

A. d = 6,25cm

B. d = 12,5cm

C. d = 6cm

D. d = 12cm

Xem đáp án

Đáp án A

Ta có $∆$ ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\Rightarrow \hat{C A D} = \hat{D A B}$

Suy ta $∆ A C D = ∆ A B D$ (c – g – c) nên $\hat{A B D} = \hat{A C D} = 90^{o}$ và CD = DB nên A, B đúng

Lấy I là trung điểm AD. Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có

$I A = I D = I B = I C = \frac{A D}{2}$

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I, đường kính AD.

Do đó ta cần tính độ dài AD

Vì BC = 6cm $\Rightarrow$ BH = 3cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông AHB ta được $A B = \sqrt{A H^{2} + B H^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$

Áp dụng hệ thức lương trong tam giác vuông ABD ta có:

$A B^{2} = A H . A D \Rightarrow A D = \frac{A B^{2}}{A H} = \frac{5^{2}}{4} = 6, 25$

Vậy đường kính cần tìm là 6,25cm

Câu 7:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C là:

A. Đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

B. Đường tròn tâm D bán kính BC

C. Đường tròn tâm B bán kính $\frac{B C}{2}$

D. Đường tròn tâm C bán kính $\frac{B C}{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi D là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông BNC và BMC có ND, MD là hai đường trung tuyến

$\Rightarrow D N = D B = D C = D M = \frac{B C}{2}$ nên bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Câu 8:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Gọi G là giao điểm của BM và CN. Xác định vị trí tương đối của điểm G và điểm A với đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C

A. Điểm G nằm ngoài đường tròn; điểm A nằm trong đường tròn

B. Điểm G nằm trong đường tròn; điểm A nằm ngoài đường tròn

C. Điểm G và A cùng nằm trên đường tròn

D. Điểm G và A cùng nằm ngoài đường tròn

Xem đáp án

Đáp án B

Gọi D là trung điểm BC

Xét hai tam giác vuông BNC và BMC có ND, MD là hai đường trung tuyến

$\Rightarrow D N = D B = D C = D M = \frac{B C}{2}$ nên bốn điểm B, N, M, C cùng thuộc đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Do đó ta xác định được vị trí tương đối của điểm G với đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Gọi cạnh của tam giác đều ABC là a (a > 0)

Ta có G là trực tâm $∆$ ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ ABC suy ra $G D = \frac{1}{3} A G$

D là trung điểm $B C \Rightarrow A D ⊥ B D; D C = \frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có:

$A D = \sqrt{A C^{2} - D C^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \Rightarrow G D = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Nhận thấy $G D = \frac{a \sqrt{3}}{6} < \frac{a}{2} = \frac{B C}{2}$ nên điểm G nằm trong đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Và $A D = \frac{a \sqrt{3}}{2} > \frac{a}{2} = \frac{B C}{2}$ nên điểm A nằm ngoài đường tròn tâm D bán kính $\frac{B C}{2}$

Câu 9:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn

A. B, N, M, C

B. A, B, M, N

C. A, C, M, N

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

Đáp án A

Câu 10:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, N, G, M với G là giao của BM và CN

A. $2 \sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì G là giao điểm của hai đường cao BM, CN nên G là trực tâm $∆$ ABC

Ta có G là trực tâm $∆$ ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ ABC suy ra $A G = \frac{2}{3} A D$

D là trung điểm $B C \Rightarrow A D ⊥ B D; D C = \frac{B C}{2} = \frac{3}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có $A D = \sqrt{B C^{2} - D C^{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow A G = \frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Gọi I là trung điểm của AG. Xét tam giác vuông ANG có IN = IA = IG, xét tam giác vuông AMG có IM = IA = IG nên $I M = I N = I A = I G = \frac{A G}{2}$

Hay 4 điểm A, N, G, M cùng thuộc một đường tròn bán kính $R = \frac{A G}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Câu 11:

Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm, các đường cao là BM và CN. Gọi O là trung điểm cạnh BC. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn điểm A, N, G, M với G là giao điểm của BM và CN

A. $2 \sqrt{3}$

B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$

C. $\sqrt{3}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Xem đáp án

Đáp án D

Vì G là giao điểm của hai đường cao BM, CN nên G là trực tâm $∆$ ABC

Ta có G là trực tâm $∆$ ABC nên G cũng là trọng tâm $∆$ ABC suy ra $A G = \frac{2}{3} A D$

D là trung điểm $B C \Rightarrow A D ⊥ B D; D C = \frac{D C}{2} = \frac{3}{2}$

Theo định lý Pytago cho tam giác vuông ADC ta có:

$A D = \sqrt{B C^{2} - D C^{2}} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \Rightarrow A G = \frac{2}{3} . \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

Gọi I là trung điểm của AG. Xét tam giác vuông ANG có IN = IA = IG, xét tam giác vuông AMG có IM = IA = IG nên $I M = I N = I A = I G = \frac{A G}{2}$

Hay 4 điểm A, N, G, M cùng thuộc một đường tròn bán kính $R = \frac{A G}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$