5 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Ôn thi Cấp tốc 789+ vào 10 môn Toán khu vực Bình Dương 2024 - 2025 (Đề 15)

Câu 1:

1) Giải phương trình, hệ phương trình sau:

a) ${x^4} - 8{x^2} - 9 = 0$. b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 9}\\{3x - 2y = - 3}\end{array}} \right.$.

2) Rút gọn biểu thức sau: $M = 2\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt {20} .$

1) a) ${x^4} - 8{x^2} - 9 = 0$. Đặt $t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$. Phương trình đã cho trở thành ${t^2} - 8t - 9 = 0.$

Ta thấy $1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0$ nên phương trình có 2 nghiệm $t = - 1$ (loại) hoặc $t = 9\,\,\left( {{\rm{TM}}} \right).$

Với $t = 9$ thì ${x^2} = 9$. Do đó $x = 3$ hoặc $x = - 3.$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \[x = - 3\,;\,\,x = 3.\]

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y = 9}\\{3x - 2y = - 3}\end{array}} \right.$. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 2y = 18}\\{3x - 2y = - 3}\end{array}} \right..$

Cộng từng vế của phương trình mới, ta được: \[5x = 15\], tức là \[x = 3.\]

Thế \[x = 3\] vào phương trình \[x + y = 9\] ta có: \[3 + y = 9\] hay \[y = 6\].

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x\,;\,\,y} \right) = \left( {3\,;\,\,6} \right)$.

2) $M = 2\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt {20} = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} - \sqrt {4 \cdot 5} $$ = 2\left| {\sqrt 5 - 2} \right| - 2\sqrt 5 = 2\sqrt 5 - 4 - 2\sqrt 5 = - 4$.

Vậy $M = 2\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = - 4$.

Câu 2:

Cho Parabol $\left( P \right):y = \frac{3}{4}{x^2}$ và đường thẳng $\left( d \right):y = x + m$ với $m$ là tham số.

1) Vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}$.

2) Tìm điều kiện của tham số $m$ để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

Xem đáp án

1) Vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}$.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Bảng giá trị:

$x$	$ - 2$	$ - 1$	0	1	2
$y = \frac{3}{4}{x^2}$	3	$\frac{3}{4}$	0	$\frac{3}{4}$	3

Đồ thị hàm số $y = \frac{3}{4}{x^2}$ là Parabol nhận \[Oy\] làm trục đối xứng, có đỉnh $O\left( {0\,;\,\,0} \right)$, bề lõm hướng lên và đi qua các điểm $\left( { - 1\,;\,\,\frac{3}{4}} \right),\,\,\left( {1\,;\,\,\frac{3}{4}} \right),\,$$\,\left( { - 2\,;\,\,3} \right),\,\,\left( {2\,;\,\,3} \right).$

Ta có đồ thị hàm số

$Cho Parabol P:y = 3/4x^2 và đường thẳng d:y= x + m với m là tham số. 1) Vẽ đồ thị của hàm số \y = 3/4x^2. 2) Tìm điều kiện của tham số (ảnh 1)$

2) Hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là nghiệm của phương trình:

$\frac{3}{4}{x^2} = x + m$ hay $\frac{3}{4}{x^2} - x - m = 0$.

Để $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình trên phải có hai nghiệm phân biệt

Hay $\Delta = {( - 1)^2} - 4 \cdot \frac{3}{4}( - m) = 1 + 3m > 0$ hay $m > \frac{{ - 1}}{3}$.

Vậy với $m > \frac{{ - 1}}{3}$ thì $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.

Câu 3:

Cho phương trình: ${x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 8 = 0$. ($m$ là tham số).

1) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có nghiệm bằng 2.

2) Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$ thỏa mãn điều kiện $4{x_1} - 3{x_2} = 25$.

Xem đáp án

1) Để phương trình có nghiệm bằng 2, thay $x = 2$ vào phương trình, ta được:

${2^2} - 2\left( {m - 2} \right) \cdot 2 + {m^2} - 8 = 0$ hay $4 - 4m + 8 + {m^2} - 8 = 0$.

Khi đó ${m^2} - 4m + 4 = 0$ hay ${\left( {m - 2} \right)^2} = 0$ nên $m = 2$.

Vậy $m = 2$ thì phương trình có nghiệm $x = 2$

2) ${x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 8 = 0 & \left( 1 \right)$

Ta có \[\Delta = 4{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 8} \right) = 4{m^2} - 16m + 16 - 4{m^2} + 32 = - 32m + 48\].

Để phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta > 0\] hay \[ - 32m + 48 > 0\] nên \[m < 3.\]

Khi đó $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt \[{x_1},{\rm{ }}{x_2}.\]

Áp dụng hệ thức Viète, ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2\left( {m - 2} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 8}\end{array}} \right.$.

Để $4{x_1} - 3{x_2} = 25$ thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_1} - 3{x_2} = 25}\\{{x_1} + {x_2} = 2m - 4\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$.

Nhân hai vế của phương trình \[\left( 2 \right)\] với 4, ta được hệ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4{x_1} - 3{x_2} = 25 & & \left( 3 \right)}\\{4{x_1} + 4{x_2} = 8m - 16 & \left( 4 \right)}\end{array}} \right..$

Trừ từng vế phương trình $\left( 4 \right)$ cho $\left( 3 \right)$ ta được: $7{x_2} = 8m - 41$, tức là ${x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}.$

Thế ${x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}$ vào phương trình \[\left( 2 \right)\] ta có: ${x_1} + \frac{{8m - 41}}{7} = 2m - 4$ hay ${x_1} = \frac{{6m + 13}}{7}.$

Thay ${x_1} = \frac{{6m + 13}}{7}\,;\,\,{x_2} = \frac{{8m - 41}}{7}$ vào ${x_1}{x_2} = {m^2} - 8$ ta được

$\frac{{6m + 13}}{7} \cdot \frac{{8m - 41}}{7} = {m^2} - 8$

$\frac{{\left( {6m + 13} \right)\left( {8m - 41} \right)}}{{49}} = {m^2} - 8$

\[\left( {6m + 13} \right)\left( {8m - 41} \right) = 49\left( {{m^2} - 8} \right)\]

$48{m^2} - 142m - 533 = 49{m^2} - 392$

${m^2} + 142m + 141 = 0$.

Ta thấy $1 - 142 + 141 = 0$ nên phương trình có nghiệm $m = - 1$ hoặc $m = - 141$ (thỏa mãn $m < 3).$

Vậy \[m \in \left\{ { - 1\,;\,\, - 141} \right\}\] thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1}$, ${x_2}$ thỏa mãn điều kiện $4{x_1} - 3{x_2} = 25.$

Câu 4:

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi \[200{\rm{ m}}.\] Do mở rộng đường giao thông nông thôn nên chiều dài khu vườn giảm \[8{\rm{ m}}.\] Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn ban đầu, biết diện tích đất còn lại để trồng cây là $2\,080\;\,{{\rm{m}}^2}$.

Xem đáp án

Gọi \[x\,\,\left( {\rm{m}} \right)\] là chiều dài ban đầu của khu vườn hình chữ nhật \[\left( {0 < x < 100} \right)\].

Khi đó nửa chu vi khu vườn hình chữ nhật là: $200:2 = 100\,\,\left( m \right).$

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là $100 - x\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Chiều dài khu vườn sau khi giảm $8\,\,{\rm{m}}$ là $x - 8\,\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích của khu vườn sau khi giảm là: \[\left( {x - 8} \right)\left( {100 - x} \right) = 2\,\,080\]

\[ - {x^2} + 108x - 800 = 2\,\,080\]

\[{x^2} - 108x + 2\,\,880 = 0\]

$x = 60$ hoặc $x = 48$.

• Với $x = 60$ hay chiều dài ban đầu của khu vườn là $60\,\,{\rm{m}}$ thì

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là $100 - 60 = 40\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ (thỏa mãn).

• Với $x = 48$ hay chiều dài ban đầu của khu vườn là $60\,\,{\rm{m}}$ thì

Chiều rộng ban đầu của khu vườn là $100 - 48 = 52\,\,\left( {\rm{m}} \right)$ (loại vì chiều dài phải lớn hơn chiều rộng).

Vậy chiều dài ban đầu của khu vườn là $60\,\,{\rm{m}}$ và chiều rộng ban đầu của khu vườn là $40\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}$

Câu 5:

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính \[AB\] và $M$ là điểm chính giữa của cung \[AB\]. Lấy điểm $D$ thuộc dây $MB\,\,\left( D \right.$ khác $M$ và $\left. B \right).$ Tia \[AD\] cắt cung nhỏ \[BM\] tại $N,$ tia \[AM\] cắt tia \[BN\] tại $C.$

1) Chứng minh: tứ giác $CMDN$ nội tiếp được đường tròn.

2) Chứng minh: $AM \cdot AC = AD \cdot AN.$

3) Chứng minh: $\widehat {MCD} = \widehat {OMB}.$

4) Gọi \[E\] là giao điểm của tia \[AB\] và tia \[MN.\] Chứng minh: $\widehat {DBN} = \widehat {NEB}.$

Xem đáp án

Cho đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm chính giữa của cung AB. Lấy điểm D thuộc dây MB, D khác M và B Tia AD cắt cung nhỏ (ảnh 1)

1) Do $\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ $ (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat {CMB} = \widehat {CND} = 90^\circ .$

Xét tứ giác \[CMDN\] có

\[\widehat {CMD} + \widehat {CND} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \[CMDN\] nội tiếp được trong đường tròn.

2) Xét $\Delta AMD$ và $\Delta ANC$ có $\widehat {NAC}$ chung; $\widehat {AMD} = \widehat {ANC} = 90^\circ .$

Do đó , suy ra $\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AD}}{{AC}}$ hay $AM \cdot AC = AN \cdot AD$.

3) Do \[ABNM\] nội tiếp $\left( O \right)$ nên $\widehat {BAM} + \widehat {BNM} = 180^\circ $.

Mà $\widehat {BNM} + \widehat {CNM} = 180^\circ $ (hai góc kề bù) nên $\widehat {CNM} = \widehat {BAM}$.

Mà \[\widehat {CNM} = \widehat {MCD}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung

Suy ra $\widehat {MCD} = \widehat {OMB}\,\,\left( { = \widehat {CNM}} \right)$ hay $\widehat {MCD} = \widehat {OMB}.$

4) Do \[M\] là điểm chính giữa cung \[AB\] nên $MA = MB$.

Suy ra $\widehat {MNA} = \widehat {MAB}$ (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét $\Delta MAN$ và $\Delta MAE$ có $\widehat {AME}$ chung; $\widehat {MNA} = \widehat {MAE}\,\,({\rm{cmt}})$.

Do đó .

Suy ra $\widehat {MAN} = \widehat {MEA}$ (hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {MAN} = \widehat {MBN}\] (góc nội tiếp cùng chắn nên $\widehat {MBN} = \widehat {MEB}$.

Do đó $\widehat {DBN} = \widehat {NEB}$ (đpcm).

\(x\)	\( - 2\)	\( - 1\)	0	1	2
\(y = \frac{3}{4}{x^2}\)	3	\(\frac{3}{4}\)	0	\(\frac{3}{4}\)	3