Cho đường tròn tâm \(O\) đường kính \[AB\] và \(M\) là điểm chính giữa của cung \[AB\]. Lấy điểm \(D\) thuộc dây \(MB\,\,\left( D \right.\) khác \(M\) và \(\left. B \right).\) Tia \[AD\] cắt cung nhỏ \[BM\] tại \(N,\) tia \[AM\] cắt tia \[BN\] tại \(C.\)

1) Chứng minh: tứ giác \(CMDN\) nội tiếp được đường tròn.

2) Chứng minh: \(AM \cdot AC = AD \cdot AN.\)

3) Chứng minh: \(\widehat {MCD} = \widehat {OMB}.\)

4) Gọi \[E\] là giao điểm của tia \[AB\] và tia \[MN.\] Chứng minh: \(\widehat {DBN} = \widehat {NEB}.\)

1) Do \(\widehat {AMB} = \widehat {ANB} = 90^\circ \) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(\widehat {CMB} = \widehat {CND} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \[CMDN\] có

\[\widehat {CMD} + \widehat {CND} = 90^\circ  + 90^\circ  = 180^\circ .\]

Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác \[CMDN\] nội tiếp được trong đường tròn.

2) Xét \(\Delta AMD\) và \(\Delta ANC\) có \(\widehat {NAC}\) chung; \(\widehat {AMD} = \widehat {ANC} = 90^\circ .\)

Do đó , suy ra \(\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) hay \(AM \cdot AC = AN \cdot AD\).

3) Do \[ABNM\] nội tiếp \(\left( O \right)\) nên \(\widehat {BAM} + \widehat {BNM} = 180^\circ \).

Mà \(\widehat {BNM} + \widehat {CNM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {CNM} = \widehat {BAM}\).

Mà \[\widehat {CNM} = \widehat {MCD}\] (góc nội tiếp cùng chắn cung

Suy ra \(\widehat {MCD} = \widehat {OMB}\,\,\left( { = \widehat {CNM}} \right)\) hay \(\widehat {MCD} = \widehat {OMB}.\)

4) Do \[M\] là điểm chính giữa cung \[AB\] nên \(MA = MB\).

Suy ra \(\widehat {MNA} = \widehat {MAB}\) (góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét \(\Delta MAN\) và \(\Delta MAE\) có \(\widehat {AME}\) chung; \(\widehat {MNA} = \widehat {MAE}\,\,({\rm{cmt}})\).

Do đó .

Suy ra \(\widehat {MAN} = \widehat {MEA}\) (hai góc tương ứng).

Mà \[\widehat {MAN} = \widehat {MBN}\] (góc nội tiếp cùng chắn  nên \(\widehat {MBN} = \widehat {MEB}\).

Do đó \(\widehat {DBN} = \widehat {NEB}\) (đpcm).