Gọi số cần tìm là $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là $\overline{ba}$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\overline{ba}-\overline{ab}=63\\ \overline{ba}+\overline{ab}=99\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2\overline{ab}=36\\ \overline{ba}+\overline{ab}=99\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}=18\\ \overline{ba}=81\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là 18 nên tổng các chữ số là 1 + 8 = 9

Đáp án: A

Gọi số cần tìm là $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là $\overline{ba}$

Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\overline{ba}-\overline{ab}=18\\ \overline{ba}+\overline{ab}=66\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2\overline{ab}=48\\ \overline{ba}+\overline{ab}=66\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\overline{ab}=24\\ \overline{ba}=42\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là 24 nên tổng các chữ số là 2 + 4 =6

Đáp án: D

Gọi số cần tìm là $\overline{ab},a\in \mathbb{N}*,b\in \mathbb{N}*;a,b\le 9$

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì ta được một số mới là $\overline{ba}$

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a-b=5\\ \overline{ba}=\frac{3}{8}\overline{ab}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ b.10+a=\frac{3}{8}\left(a.10+b\right)\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ 80b+8\left(b+5\right)=30\left(b+5\right)+3b\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}a=b+5\\ 55b=110\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}b=2\\ a=7\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là 72 nên tích các chữ số là 2.7 = 14

Đáp án: C

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x, y

(x > 0; y > 0,5; đơn vị: giờ). Ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}50.x+45.y=165\\ y-x=0,5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1,5\\ y=2\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 1,5 giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 2 giờ.

Đáp án: B

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB và BC lần lượt là x, y

(x > 0; y > 2; đơn vị: giờ).

Quãng đường AB là 52x (km), quãng đường BC là 42y (km) mà tổng quãng đường 272 km nên ta có phương trình 52x + 42y = 272

Vì thời gian đi quãng đường AB ít hơn thời gian đi quãng đường BC là 2 giờ nên ta có phương trình y – x = 2

Từ đó ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}52.x+42.y=272\\ y-x=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 52x+42\left(x+2\right)=272\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=x+2\\ 94x=188\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường AB là 2 giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường BC là 4 giờ.

Đáp án: B

Gọi vận tốc lúc đầu của xe là x (km/h; x > 10), thời gian theo dự định là y (y > 3) (giờ)

Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 3 giờ nên ta có phương trình (x + 10) (y – 3) = xy

Nếu xe chạy mỗi giờ chậm 10km thì đến nơi muộn hơn dự định 5 giờ nên ta có phương trình (x - 10)(y + 5) = xy

Suy ra hệ phương trình :

$\left\{\begin{array}{l}\left(x+10\right)\left(y-3\right)=xy\\ \left(x-10\right)\left(y+5\right)=xy\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}-3x+10y=30\\ 5x-10y=50\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=15\end{array}\right.$

(thỏa mãn)

Vậy vận tốc ban đầu là 40 km/h

Đáp án: A

Gọi vận tốc lúc đầu của xe là x (km/h; x > 10), thời gian theo dự định là y (y > 3) (giờ)

Quãng đường xe đi được là: x.y (km)

 Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sớm hơn dự định 1 giờ nên ta có phương trình (x + 10) (y – 1) = xy

Nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 5 km thì đến nơi chậm mất 2 giờ nên ta có phương trình (x – 5) (y + 2) = xy

Suy ra hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+10\right)\left(y-1\right)=xy\\ \left(x-5\right)\left(y+2\right)=xy\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}xy-x+10y-10=xy\\ xy+2x-5y-10=xy\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}-x+10y=10\\ 2x-5y=10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=2\end{array}\right. \end{gathered}$$

(Thỏa mãn)

Vậy vận tốc ban đầu là 10 km/h

Đáp án: C

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h, x > 0), vận tốc dòng nước là y (km/h, 0 < y < x)

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63 km nên ta có phương trình

$\frac{108}{x+y}+\frac{63}{x-y}=7$

Cano chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km nên ta có phương trình:

$\frac{81}{x+y}+\frac{84}{x-y}=7$

Ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{108}{x+y}+\frac{63}{x-y}=7\\ \frac{81}{x+y}+\frac{84}{x-y}=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{432}{x+y}+\frac{252}{x-y}=28\\ \frac{243}{x+y}+\frac{252}{x-y}=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{432}{x+y}+\frac{252}{x-y}-\left(\frac{243}{x+y}+\frac{252}{x-y}\right)=28-21\\ \frac{81}{x+y}+\frac{84}{x-y}=7\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{189}{x+y}=7\\ \frac{81}{x+y}+\frac{84}{x-y}=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=27\\ \frac{81}{27}+\frac{84}{x-y}=7\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=27\\ \frac{84}{x-y}=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=27\\ x-y=21\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y+x-y=27+21\\ x+y=27\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}2x=48\\ y=27-x\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=24\\ y=27-24\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=24\\ y=3\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy vận tốc dòng nước là 3 km/h

Đáp án: B

Gọi vận tốc thực của cano là x (km/h, x > 0), vận tốc dòng nước là y (km/h, 0 < y < x)

Vận tốc cano khi xuôi dòng là x + y (km/h), vận tốc cano khi ngược dòng là: x – y (km/h)

Cano đi xuôi dòng theo một khúc sông trong 3 giờ và đi ngược dòng trong 4 giờ, được 380 km nên ta có phương trình: 3 (x + y) + 4 (x – y) = 380

Cano xuôi dòng trong 1 giờ và ngược dòng trong 30 phút được 85 km nên ta có phương trình: $x+y+\frac{1}{2}(x – y)=85$

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3\left(x+y\right)+4\left(x-y\right)=380\\ x+y+\frac{1}{2}\left(x-y\right)=85\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}7x-y=380\\ 3x+y=170\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}10x=550\\ 3x+y=170\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=55\\ y=5\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy vận tốc dòng nước là 5 km/h

Đáp án: A

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km/h, x, y > 0)

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 2x (km)

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 2y (km)

Ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}2x+2y=38\\ 2x-2y=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=9\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy vận tốc của người thứ nhất là 10 (km/h)

Đáp án: D

Gọi vận tốc của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x, y (km.h, x > 5, y > 0)

Quãng đường người thứ nhất đi được khi gặp nhau là 3x (km)

Quãng đường người thứ hai đi được đến khi gặp nhau là 3y (km)

Ta có hệ phương trình

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}3x+3y=225\\ x-y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}3x+3y=225\\ 3x-3y=15\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}6x=240\\ x-y=5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=40\\ y=35\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy vận tốc của người thứ nhất là 40 km/h

Đáp án: A

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 5)

Vì khách du lịch đi ô tô 4 giờ sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường dài 640 km nên ta có phương trình 7x + 4y = 640

Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5 km nên ta có phương trình x – y = 5

Suy ra hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}x-y=5\\ 7x+4y=640\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+5\\ 7\left(y+5\right)+4y=640\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=55\\ x=60\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy vận tốc tàu hỏa là 60km/h

Đáp án: C

Gọi vận tốc của ô tô và xe máy lần lượt là x, y (km/h, x > y > 0; x > 10)

Vì khách du lịch đi trên ô tô 5 giờ, sau đó đi tiếp bằng xe máy trong 3 giờ được quãng đường dài 330 km nên ta có phương trình 5x + 3y = 330

Và mỗi giờ ô tô đi nhanh hơn xe máy 10 km nên ta có phương trình x – y = 10

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x-y=10\\ 5x+3y=330\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=y+10\\ 5\left(y+10\right)+3y=330\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}8y=280\\ x=y+10\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=35\\ x=45\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa  mãn)

Vậy vận tốc ô tô là 45 km/h

Đáp án: D

Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x, y $\left(x,y>\frac{24}{5}\right)$

(đơn vị: giờ)

Mỗi giờ vòi I chảy được $\frac{1}{x}$(bể), vòi II chảy được $\frac{1}{y}$bể

Vì hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút $\left(=\frac{24}{5}h\right)$bể đầy nên mỗi giờ cả hai vòi chảy được $1:\frac{24}{5}=\frac{5}{24}$ bể

Do đó ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}$

Nếu vòi I chảy riêng trong 4 giờ, vòi II chảy riêng trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được $\frac{3}{4}$bể nên ta có phương trình $\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{3}{4}$

Suy ra hệ phương trình 

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{3}{4}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{24}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{4}{x}+\frac{3}{y}=\frac{3}{4}\\ \frac{3}{x}+\frac{3}{y}=\frac{5}{8}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}=\frac{1}{8}\\ \frac{1}{y}=\frac{1}{12}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=12\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy thời gian vòi I một mình đầy bể là 8h.

Đáp án: B

Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (h), thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y (h) (x; y > 1,5)

Mỗi giờ vòi I chảy được $\frac{1}{x}$(bể), vòi II chảy được $\frac{1}{y}$bể nên cả hai vòi chảy được $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$bể

Hai vòi cùng chảy thì sau 1,5h sẽ đầy bể nên ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$(1)

Nếu mở vòi 1 chảy trong 0,25h rồi khóa lại và mở vòi 2 chảy trong $\frac{1}{3}$h thì được $\frac{1}{5}$bể nên ta có phương trình $\frac{0,25}{x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\\ \frac{1}{4x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3x}+\frac{1}{3y}=\frac{2}{9}\\ \frac{1}{4x}+\frac{1}{3y}=\frac{1}{5}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{1}{12x}=\frac{1}{45}\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}12x=45\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{15}{4}=3,75\\ y=\frac{5}{2}=2,5\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 2,5h

Đáp án: A

Gọi thời gian A, B làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (y > x > 6, đơn vị: ngày)

Mỗi ngày các bạn A, B lần lượt làm được $\frac{1}{x}$và $\frac{1}{y}$(công việc)

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 6 ngày nên ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$(1)

Do làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 9 ngày nên ta có phương trình: y – x = 9                        (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}\\ y-x=9\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=9\\ y=18\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy B hoàn thành cả công việc trong 18 ngày.

Suy ra sau khi A làm một mình xong nửa công việc rồi nghỉ, B hoàn thành công việc còn lại trong 9 ngày.

Đáp án: A

Gọi thời gian A, B làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (y > x > 0; y > 12, đơn vị: ngày)

Mỗi ngày các bạn A, B lần lượt làm được $\frac{1}{x}$và $\frac{1}{y}$(công việc)

Vì hai bạn A và B cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 8 ngày nên ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}$(1)

Do làm một mình xong công việc thì B làm lâu hơn A là 12 ngày nên ta có phương trình: y – x = 12 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{8}\\ y-x=12\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}y=x+12\\ \frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}=\frac{1}{8}(*)\end{array}\right.$

Giải (*):

$$\begin{gathered} \frac{1}{x}+\frac{1}{x+12}=\frac{1}{8}\iff \frac{8\left(x+12\right)+8x}{8x\left(x+12\right)}=\frac{x\left(x+12\right)}{8x\left(x+12\right)} \\ \Rightarrow 16x+96=x^2+12x \end{gathered}$$

$\iff x^2–4x–96=0\iff x^2+8x–12x–96=0\iff x(x+8)–12(x+8)=0$

$\iff (x–12) (x+8)=0\iff \left[\begin{array}{l}x=12\left(N\right)\\ x=-8\left(L\right)\end{array}\right.$    

Với x = 12 $\Rightarrow$y = x + 12 = 24

Vậy B hoàn thành cả công việc trong 24 ngày

Suy ra sau khi A làm một mình xong $\frac{1}{3}$công việc rồi nghỉ, B hoàn thành $\frac{2}{3}$công việc còn lại trong $\frac{2}{3}.24=16$ngày.

Đáp án: A

Gọi số dụng cụ cần làm của xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 lần lượt là x, y

(x, y $\in \mathbb{N}*$x, y < 360, dụng cụ)

Số dụng cụ xí nghiệp 1 và xí nghiệp 2 làm được khi vượt mức lần lượt là (100 + 12)%x = 112%x  và (100 + 10)% =  110%y (dụng cụ)

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=360\\ 112\%x+110\%y=400\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=200\\ y=160\end{array}\right.$

Vậy xí nghiệp 1 phải làm 200 dụng cụ, xí nghiệp 2 phải làm 160 dụng cụ.

Đáp án: A

Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ nhất là (x) (tấn) (x > 0)

Gọi số thóc năm ngoái thu được của cánh đồng thứ hai là y (tấn) (y > 0)

Năm ngoái, cả 2 cánh đồng thu hoạch được 500 tấn thóc nên ta có phương trình:

x + y = 500                                                                             (1)

Năm nay, lượng lúa thu được trên cánh đồng thứ nhất tăng lên 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20% nên ta có phương trình:

$x+\frac{30}{100}x+y+\frac{20}{100}y=630\iff \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=500\\ \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{120}{100}x+\frac{120}{100}y=600\\ \frac{130}{100}x+\frac{120}{100}y=630\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{10}{100}x=30\\ x+y=500\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ x+y=500\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ y=200\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy lượng lúa thu hoạch được năm nay của cánh đồng thứ nhất là 300.1,3 = 390 (tấn); lượng lúa thu được năm nay của cánh đồng thứ hai là 200.1,2 = 240 tấn.

Đáp án: B

Gọi số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 làm được trong tháng đầu lần lượt là x, y (x, y , x, y < 800 sản phẩm)

Số sản phẩm tổ 1 và tổ 2 làm được trong tháng hai là 112%.x và 90%.y sản phẩm

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=800\\ 112\%x+90\%y=786\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x=800-y\\ 112\%\left(800-x\right)+90\%y=786\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=500\\ x=300\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy số sản phẩm tổ 1 làm được trong tháng đầu là 300 sản phẩm.

Đáp án: B

Gọi số sản phẩm của tổ I sản xuất được trong tháng thứ I là x (sản phẩm)

Số sản phẩm của tổ II sản xuất được trong tháng thứ nhất là y (sản phẩm)

(x, y $\in \mathbb{N}*$ )

Tháng thứ nhất 2 tổ sản xuất được 1200 sản phẩm nên ta có phương trình:

 x + y = 1200                 (1)

Tháng thứ hai tổ I vượt mức 30% và tổ II giảm mức đi 22% so với tháng thứ nhất nên 2 tổ đã sản xuất được 1300 sản phẩm, ta có:

$x+\frac{30}{100}x+y-\frac{22}{100}y=1300\iff \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}y=1300$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=1200\\ \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}y=1300\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{78}{100}x+\frac{78}{100}y=936\\ \frac{130}{100}x+\frac{78}{100}y=1300\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{52}{100}x=364\\ x+y=1200\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=700\\ x+y=1200\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=700\\ y=500\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy trong tháng thứ hai tổ II sản xuất được 500.78 : 100 = 390 sản phẩm

Đáp án: C

Gọi chiều cao của tam giác là h, cạnh đáy tam giác là a. (h, a $\in \mathbb{N}*$ , a > 3, dm)

Diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}$ah $\left(d{m}^2\right)$

Vì chiều cao bằng $\frac{3}{4}$cạnh đáy nên ta có phương trình: $h=\frac{3}{4}a$

Nếu chiều cao tăng thêm 3 dm và cạnh đáy giảm đi 3 dm thì diện tích của nó tăng thêm 12 $\left(d{m}^2\right)$.

Nên ta có phương trình $\frac{1}{2}\left(h+3\right)\left(a-3\right)-\frac{1}{2}ah=12$

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}h=\frac{3}{4}a\\ \frac{1}{2}\left(h+3\right)\left(a-3\right)-\frac{1}{2}ah=12\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}h=\frac{3}{4}a\\ \frac{-3h}{2}+\frac{3a}{2}=\frac{33}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=44\\ h=33\end{array}\right. \end{gathered}$$

(thỏa mãn)

Vậy chiều cao của tam giác bằng 33 dm, cạnh đáy tam giác bằng 44 dm

Suy ra diện tích tam giác ban đầu là $\frac{1}{2}\mathrm{.44.33}=726 d{m}^2$

Đáp án: D

Gọi chiều cao của tam giác là h, cạnh đáy tam giác là a. (h, a $\in \mathbb{N}*$ , dm); (a > 2)

Diện tích tam giác ban đầu là  $\frac{1}{2}$ah $\left(d{m}^2\right)$

Vì chiều cao bằng $\frac{1}{4}$cạnh đáy nên ta có phương trình $h=\frac{1}{4}a$

Nếu chiều cao tăng thêm 2 dm và cạnh đáy giảm đi 2 dm thì diện tích của nó tăng thêm 2,5 $d{m}^2$.

Nên ta có phương trình $\frac{1}{2}\left(h+2\right)\left(a-2\right)-\frac{1}{2}ah=2,5$

Ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{4}a\\ \frac{1}{2}\left(h+2\right)\left(a-2\right)-\frac{1}{2}ah=2,5\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{4}a\\ -2h+2a-4=5\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{4}a\\ -2.\frac{1}{4}a+2a=9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=6\\ h=1,5\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy chiều cao và cạnh đáy của tấm bìa lần lượt là 1,5 dm và 6 dm

Đáp án: A

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là x, y

(24 > x > y > 0; m)

Vì khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m nên ta có (x + y). 2 = 48

Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162m

Nên ta có phương trình (4y + 3x). 2 = 162

Suy ra hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right).2=48\\ \left(4y+3x\right).2=162\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y= 24\\ 3x+4y=81\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=15\\ y=9\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy diện tích khu vườn ban đầu là 15.9 = 135$m^2$

Đáp án: C

Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật lần lượt là x, y

(150 > x > y > 0; cm)

Diện tích ban đầu của khu vườn là x.y $\left(c{m}^2\right)$

Vì hình chữ nhật có chu vi bằng 300 (cm) nên ta có (x + y). 2 = 300

Nếu tăng chiều rộng thêm 5 cm và giảm chiều dài 5cm thì diện tích tăng 275$\left(c{m}^2\right)$

Nên ta có phương trình (x − 5).(y + 5) = xy + 275

Suy ra hệ phương trình:  

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right).2=300\\ \left(x-5\right)\left(y+5\right)=xy+275\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ xy+5x-5y-25=xy+275\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ 5x-5y=300\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=150\\ x-y=60\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=105\\ y=45\end{array}\right.\left(tm\right) \end{gathered}$$

Vậy chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu là 45 cm

Chiều dài của hình chữ nhật ban đầu là 105 cm

Đáp án: B

Gọi số sách trên hai giá lần lượt là x, y (0 < x, y < 450, cuốn)

Vì hai giá sách có 450 cuốn nên ta có phương trình: x + y = 450 (cuốn)

Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách trên giá thứ hai bằng $\frac{4}{5}$số sách ở giá thứ nhất nên ta có pt $y+50=\frac{4}{5}\left(x-50\right)$ 

Suy ra hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=450\\ y+50=\frac{4}{5}\left(x-50\right)\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=450\\ \frac{4}{5}x-y=90\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=300\\ y=150\end{array}\right.$(thỏa mãn)

Vậy số sách trên giá thứ nhất là 300 cuốn, số sách trên giá thứ hai là 150 cuốn.

Đáp án: A

Gọi số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x, y (0 < x, y < 360, viên)

Vì Nam có 360 viên bi nên ta có phương trình x + y = 360 (viên bi)

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng $\frac{5}{7}$số viên bi ở hộp thứ hai nên ta có phương trình $x+30=\frac{5}{7}\left(y-30\right)$

Suy ra hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=360\\ x+30=\frac{5}{7}\left(y-30\right)\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=360\\ x-\frac{5}{7}y=-\frac{360}{7}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x = 120\\ y = 240\end{array}\right.\\ (thỏa mãn)\end{array}$

Vậy số viên bi ở hộp thứ nhất là 120 viên bi, số viên bi ở hộp thứ hai là 240 viên bi.

Đáp án: D

Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên 1 ha lần lượt là x; y (x, y > 0) đơn vị: tấn/ha

Vì cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc nên ta có 60x + 40y = 460

Vì 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn nên ta có phương trình: 4y – 3x = 1

Suy ra hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}4y-3x=1\\ 60x+40y=460\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-30x+40y=10\\ 60x+40y=460\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=4\end{array}\right.(thỏa mãn)$

Vậy năng suất lúa mới trên 1 ha là 5 tấn

Đáp án: A

Gọi năng suất lúa mới và lúa cũ trên 1 ha lần lượt là x; y (x, y > 0) đơn vị: tấn/ha

Vì đồng cấy 50 ha lúa giống mới và 30 ha lúa giống cũ, thu hoạch được tất cả 410 tấn thóc nên ta có 50x + 30y = 410

Vì 5 ha trồng lúa mới thu hoạch được nhiều hơn 6 ha trồng lúa cũ là 0,5 tấn nên ta có phương trình: 5x – 6y = 0,5

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}5x-6y=0,5\\ 50x+30y=410\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}5x-6y=0,5\\ 5x+3y=41\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}9y=40,5\\ 5x+3y=41\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=4,5\\ x=5,5\end{array}\right.(thỏa mãn) \end{gathered}$$

Vậy năng suất lúa cũ trên 1 ha là 4,5 tấn.

Đáp án: C

Gọi số học sinh dự thi của hai trường A, B lần lượt là x, y (350 > x, y > 0) (học sinh)

Vì hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi nên ta có phương trình

x + y = 350 (học sinh)

Vì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển và cả hai trường đó có 338 học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình 97%.x +96%.y = 338

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=350\\ 97\%.x+96\%.y=338\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=350-y\\ 97.\left(350-y\right)+96.y=33800\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=150\\ x=200\end{array}\right.(thỏa mãn) \end{gathered}$$

Vậy trường B có 150 học sinh dự thi

Đáp án: B

Gọi số học sinh của trường thứ nhất dự thi là x (học sinh) (x$\in \mathbb{N}*$, x < 300)

Số học sinh của trường thứ hai dự thi là y (học sinh) (y$\in \mathbb{N}*$, y < 300)

Hai trường có tất cả 300 học sinh tham gia cuộc thi nên ta có phương trình:

x + y = 300          (1)

Trường A có 75% học sinh đạt, trường 2 có 60% đạt nên cả 2 trường có 207 học sinh đạt, ta có $\frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}x+y=300\\ \frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{60}{100}x+\frac{60}{100}y=180\\ \frac{75}{100}x+\frac{60}{100}y=207\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\frac{15}{100}x=27\\ x+y=300\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=180\\ y=120\end{array}\right.(thỏa mãn) \end{gathered}$$

Vậy số học sinh của trường thứ nhất dự thi là 180 học sinh; Số học sinh của trường thứ hai dự thi là 120 học sinh.

Đáp án: C

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là: x, y

(21 > x > y > 0; m)

Vì mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 42m nên ta có (x + y). 2 = 42

Đường chéo hình chữ nhật dài 15m nên ta có phương trình: $x^2 + y^2 = {15}^2=225$

Suy ra hệ phương trình:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\left(x+y\right).2=42\\ x^2+y^2=225\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x+y=21\\ x^2+y^2=225\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}y=21-x\\ x^2+{\left(21-x\right)}^2=225\left(1\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Giải phương trình (1) ta được:

$2x^2-42x+216=0\iff \left[\begin{array}{l}x=9\\ x=12\end{array}\right.$

Với x = 9 thì y = 12 (loại)

Với x = 12 thì y = 9 (thỏa mãn)

Vậy chiều rộng mảnh đất ban đầu là 9m.

Đáp án: C

Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật lần lượt là: x, y

(34 > x > y > 0; m)

Vì mảnh đất hình chữ nhật có nửa chu vi bằng 34m nên ta có x + y = 34

Đường chéo hình chữ nhật dài 26m nên ta có phương trình: $x^2+y^2={26}^2$

Suy ra hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=34\\ x^2+y^2=676\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}y=34-x\\ x^2+{\left(34-x\right)}^2=676\left(1\right)\end{array}\right.$

Giải phương trình (1) ta được:

$2x^2–68x+480=0\iff x^2–34x+240=0\iff x (x–10)–24(x–10)=0$

$\iff$(x – 10) (x – 24) = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}x=10\Rightarrow y=24\left(L\right)\\ x=24\Rightarrow y=10\left(N\right)\end{array}\right.$

Vậy chiều dài mảnh đất ban đầu là 24m

Đáp án: A