Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x\left( {{x^2} + 4} \right)}} = \frac{{x + 1}}{x} - \frac{1}{{x - 2}}\) là \[x \ne 0\] và \[x - 2 \ne 0,\] hay \[x \ne 0\] và \[x \ne 2\].

Đáp án đúng là: D

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng \(ax + by = c\) với \(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0.\)

Phương trình \(\frac{1}{x} + 2y = - 3\) không có dạng trên, có chứa ẩn \(x\) dưới mẫu thức nên đây không phải phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: C

Cách 1. Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

 

Trên màn hình cho kết quả \(x = - 21,\) ta bấm tiếp phím  màn hình cho kết quả \(y = 15.\)

Vậy cặp số \(\left( { - 21;\,\,15} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Cách 2. Thay \(x = 1;\,\,y = 1\) vào hệ phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5\,\,\left( { \ne 3} \right)\\ - 4 \cdot 1 - 5 \cdot 1 = - 9\,\,\left( { \ne 9} \right)\end{array} \right..\)

Tương tự, thay giá trị của \(x\) và \(y\) lần lượt của các cặp số ở phương án B, C, D vào hệ phương trình đã cho, ta thấy chỉ có cặp số \(\left( { - 21;\,\,15} \right)\) là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số \(\left( { - 21;\,\,15} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Cách 3. Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 3\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \(2,\) ta được hệ phương trình mới \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 6y = 6\\ - 4x - 5y = 9.\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được: \(y = 15.\)

Thay \(y = 15\) vào phương trình \(2x + 3y = 3,\) ta được:

\(2x + 3 \cdot 15 = 3,\) hay \(2x + 45 = 3,\) suy ra \(2x = - 42,\) nên \(x = - 21.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( { - 21;\,\,15} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Ta có:

⦁ Do \(5 > 3\) nên \(5a > 3a\) khi \(a > 0\) và \(5a < 3a\) khi \(a < 0\). Do đó phương án A và B là sai.

⦁ \(5 > 3\) nên \(5 + a > 3 + a.\) Do đó phương án C là đúng.

⦁ Do \( - 3 > - 6\) nên \( - 3a > - 6a\) khi \(a > 0\). Do đó phương án D là sai.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: B

Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình \(2y \ge 10 - y\).

Bất phương trình \(3 - \frac{2}{y} < 0\) có chứa ẩn \(y\) dưới mẫu, bất phương trình \(\frac{1}{2}x - y \le 3\) có hai ẩn \(x\) và \(y\), bất phương trình \(1 + 0y > 5\) có hệ số \(a = 0\) nên những bất phương trình này không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án đúng là: A

Tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], ta có: \[\sin \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BC}}\].

Đáp án đúng là: B

Với \(\alpha + \beta = 90^o ,\) ta có: \(\sin \alpha = \cos \beta ;\,\,\cos \alpha = \sin \beta ;\,\,\tan \alpha = \cot \beta ;\,\,\cot \alpha = \tan \beta .\)

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Tam giác \(MNP\) vuông tại \(M\), ta có:

⦁ góc \(P\) là góc nhọn nên \(\tan P \cdot \cot P = 1\);

⦁ \(\widehat {N\,} = 90^o - \widehat {P\,} = 90^o - 30^o = 60^\circ \);

⦁ \(MN = MP \cdot \tan P = 4 \cdot \tan 30^o = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\);

⦁ \(MP = NP \cdot \cos P,\) suy ra \(NP = \frac{{MP}}{{\cos P}} = \frac{4}{{\cos 30^o }} = \frac{4}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy phương án B là nhận định sai, ta chọn phương án B.

1. Vì đồ thị hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {4;\,\,5} \right)\) nên thay lần lượt từng cặp giá trị \(x,\,\,y\) vào hàm số, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 = a \cdot 1 + b\\5 = a \cdot 4 + b\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = - 1\\4a + b = 5.\end{array} \right.\)

Trừ từng vế phương trình thứ hai cho phương trình thứ nhất của hệ phương trình trên, ta được:

\(3a = 6,\) suy ra \(a = 2.\)

Thay \(a = 2\) vào phương trình \(a + b = - 1,\) ta được:

\(2 + b = - 1,\) suy ra \(b = - 3.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = 2x - 3.\)

2. Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc dự định của ôtô và \(y\) (giờ) là thời gian dự định của ôtô để đi hết quãng đường AB \(\left( {x > 10,\,\,y > 0} \right).\)

– Quãng đường AB là \(xy\) (km).

– Nếu ôtô chạy nhanh hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi sớm hơn so với dự định là 3 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x + 10\) (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y - 3\) (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right)\) (giờ).

Ta có phương trình: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y - 3} \right) = xy\)

 \(xy - 3x + 10y - 30 = xy\)

 \( - 3x + 10y = 30\) (1)

– Nếu ôtô chạy chậm hơn 10 km/h mỗi giờ thì đến nơi muộn hơn so với dự định là 5 giờ. Khi đó, ta có:

⦁ Vận tốc của ôtô lúc này là: \(x - 10\) (km/h).

⦁ Thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là: \(y + 5\) (giờ).

⦁ Quãng đường AB là: \(\left( {x + 10} \right)\left( {y + 5} \right)\) (giờ).

Ta có phương trình: \[\left( {x - 10} \right)\left( {y + 5} \right) = xy\]

\(xy + 5x - 10y - 50 = xy\)

\(5x - 10y = 50\) (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 10y = 30\\5x - 10y = 50\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được: \(2x = 80,\) suy ra \[x = 40\] (thỏa mãn).

Thay \[x = 40\] vào phương trình (1), ta được:

\( - 3 \cdot 40 + 10y = 30\) hay \(10y = 150,\) suy ra \(y = 15\) (thỏa mãn).

Vậy vận tốc dự định của ôtô là 40 (km/h) và thời gian ôtô đi hết quãng đường AB là 15 (giờ).

Đổi \(1,221{\rm{\;km}} = 1\,\,221{\rm{\;m}}.\)

a) Do \[Bx\,{\rm{//}}\,AC\;\] nên \[\widehat {ACB} = \widehat {CBx}\] (so le trong).

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\] nên \(AB = AC \cdot {\rm{tan}}\widehat {ACB} = 1\,\,221 \cdot {\rm{tan}}25^\circ  \approx 569{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy chiều cao của đài quan sát khoảng: \[3 + 569 = 572\] (m).

b) Đổi: \[60\] km/h \[ = 1{\rm{ }}000\] m/phút.

Do \[Bx\,{\rm{//}}\,AC\;\] và \[AB \bot AC\] nên ta có \(\widehat {ABx} = \widehat {BAC} = 90^\circ .\)

Quãng đường \[CD\] là: \[CD = 1{\rm{ }}000 \cdot 1 = 1{\rm{ }}000\] (m).

Do đó: \[AD = AC - CD = 1{\rm{ }}221\; - 1{\rm{ }}000 = 221\] (m).

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại \[A\] có: \({\rm{tan}}\widehat {ABD} = \frac{{AD}}{{AB}} \approx \frac{{221}}{{569}}.\) Suy ra \(\widehat {ABD} \approx 21^\circ 14'.\)

Mà \(\widehat {DBx} + \widehat {ABD} = \widehat {ABx} = 90^\circ .\)

Suy ra \(\alpha  = \widehat {DBx} = 90^\circ  - \widehat {ABD} \approx 90^\circ  - 21^\circ 14' = 68^\circ 46'.\)

c) Vì \(\Delta ABD\) vuông tại \[A\] nên \(AB = BD \cdot {\rm{cos}}\widehat {ABD}.\)

Suy ra \(BD = \frac{{AB}}{{{\rm{cos}}\widehat {ABD}}} \approx \frac{{569}}{{{\rm{cos}}\,21^\circ 14'}} \approx 610{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ mắt người quan sát đến vị trí \[D\] khoảng \[610\] mét.