11 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 1)

Câu 1:

Cho biểu thức $A = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}}$ với $x > 0, x \neq 4$

Chứng minh $A = \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2}$ .

Xem đáp án

Phương pháp:

a) Quy đồng, khử mẫu và rút gọn A.

Điều kiện: $x > 0, x \neq 4$

$A = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}} = (\frac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} - \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}} = \frac{- 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)} = \frac{- 4}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} \cdot \frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x}} = \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2}$

Câu 2:

Cho biểu thức

A = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}}

với

x > 0, x \neq 4

Tìm x biết $A = \frac{- 2}{3}$ .

Xem đáp án

Giải phương trình $A = - \frac{2}{3}$ , sử dụng kết quả rút gọn câu a).

Điều kiện: $x > 0, x \neq 4$

$A = \frac{- 2}{3} \Leftrightarrow \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2} = \frac{- 2}{3} \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 = 6 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 4$

$\Leftrightarrow x = 16$ (tmđk).

Vậy $x = 16$ .

Câu 3:

Cho biểu thức

A = (\frac{1}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2}) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x}}

với

x > 0, x \neq 4

Cho x là số nguyên, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A.

Xem đáp án

Dựa vào điều kiện bài cho và $x \in ℤ$ suy ra điều kiện chính xác của x, từ đó đánh giá A

Điều kiện: $x > 0, x \neq 4$

Ta có x nguyên và $x > 0, x \neq 4$ thì $x \geq 1, x \neq 4, x \in ℤ$ .

Ta có: $x \geq 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq 1 \Leftrightarrow \sqrt{x} + 2 \geq 3 > 0$

$\Leftrightarrow \frac{4}{\sqrt{x} + 2} \leq \frac{4}{3} \Leftrightarrow \frac{- 4}{\sqrt{x} + 2} \geq \frac{- 4}{3} \Leftrightarrow P \geq \frac{- 4}{3}$

Dấu $" = "$ xảy ra $\Leftrightarrow x = 1$ .

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{- 4}{3}$ khi $x = 1$ .

.

Câu 4:

Cho hàm số $y = (m + 1) x + 3 (d)$ (m là tham số, $m \neq - 1$ )

Tìm m để hàm số trên là hàm số đồng biến.

Xem đáp án

Hàm số

y = a x + b

đồng biến trên

ℝ

nếu

a > 0

.

Hàm số đã cho đồng biến khi $m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1$

Câu 5:

Cho hàm số

y = (m + 1) x + 3 (d)

(m là tham số,

m \neq - 1

)

Khi m=2, hãy vẽ đồ thị hàm số đó trên mặt phẳng tọa độ Oxy và tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d.

Xem đáp án

Tìm điểm đi qua bằng cách cho lần lượt $x = 0, y = 0,$ kẻ đường thằng đi qua hai điểm đã cho ta được đồ thị. Sử dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông tính khoảng cách.

Khi $m = 2$ hàm số có dạng $y = 3 x + 3$

* Cho $x = 0$ thì $y = 3$

Cho $y = 0$ thì $x = - 1$

Đường thằng đi qua hai điểm $(0; 3)$ và $(- 1; 0)$ là đồ thị hàm số $y = 3 x + 3$

* Vẽ đồ thị hàm số trên mặt phẳng tọa độ.

Goi $A (0; 3)$ và $B (- 1; 0)$ nên $O A = 3, O B = 1$ .

Kẻ OH vuông góc với d tại H.

Xét tam giác OAB vuông tai O, đường cao OH

Có $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O A^{2}} + \frac{1}{O B^{2}}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{1^{2}} \Rightarrow O H^{2} = \frac{9}{10} \Rightarrow O H = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$

Câu 6:

Cho hàm số

y = (m + 1) x + 3 (d)

(m là tham số,

m \neq - 1

)

Đường thẳng d cắt đường thẳng $y = - \frac{3}{2} x + 3 (d^{'})$ tại điểm M. Gọi N và P lần lượt là giao điểm của đường thẳng $(d)$ và $(d^{'})$ với trục hoành Ox. Tìm m để diện tích tam giác OMP bằng 2 lần diện tích tam giác OMN.

Xem đáp án

Tìm tọa độ các điểm $M, N, P$ .

Lập công thức tính diện tích các tam giác OMP và OMN rồi suy ra phương trình ẩn m.

Giải phương trình ẩn m và kết luận.

Cách giải:

Hai đường thẳng $(d)$ và $(d^{'})$ cắt nhau khi và chỉ khi $m + 1 \neq \frac{- 3}{2} m \neq \frac{- 5}{2}$

Hoành độ giao điểm M của $(d)$ và $(d^{'})$ là nghiệm của phương trình $(m + 1) x + 3 = \frac{- 3}{2} x + 3 \Leftrightarrow x = 0$

Mà $y = \frac{- 3}{2} x + 3 \Rightarrow y = 3$

d cắt d' tại điểm $M (0; 3)$

N là giao điểm của d' với trục Ox nên $N (\frac{- 3}{m + 1}; 0)$

P là giao điểm của d' với trục Ox nên $P (2; 0)$

Suy ra $O N = \frac{3}{|m + 1|}; O P = 2$

Ta có $S_{O M P} = 2 S_{O M N} \Leftrightarrow \frac{1}{2} O M . O P = 2. \frac{1}{2} . O M . O N \Leftrightarrow O P = 2 O N$

$\Rightarrow 2 = 2 \cdot \frac{3}{|m + 1|} \Leftrightarrow |m + 1| = 3 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + 1 = 3 \\ m + 1 = - 3 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 2 \\ m = - 4 \end{array} (TM)$

Vậy $m \in {2; - 4}$ .

Câu 7:

Một chiếc máy bay bay lên với vận tốc 500km/h. Đường bay lên tạo với phương nằm ngang một góc $30 °$ . Hỏi sau 6 phút kể từ lúc cất cánh, máy bay lên cao được bao nhiêu ki-lô-mét theo phương thẳng đứng?

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, muốn tính cạnh góc vuông ta lấy cạnh huyền nhân với sin góc đối.

Cách giải:

6 phút $= 0, 1$ giờ.

Gọi AB là đọan đường máy bay bay lên trong 6 phút thì BC chính là độ cao máy bay đạt được sau 6 phút.

Sau 6 phút máy bay bay được quãng đường là $A B = 500.0, 1 = 50 k m$

Độ cao của máy bay là $B C = 50. \sin A = 50. \sin 30 ° = 25 km$ .

Câu 8:

Cho nửa đường tròn $(O; R)$ đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến $A x, B y$ với nửa đường tròn đó. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho $A M > R$ . Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn $(O)$ (C là tiếp điểm). Tia MC cắt tia By tại D.

Chứng minh MD=MA+BD và tam giác OMD vuông.

Xem đáp án

Phương pháp:

Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

Cách giải:

Xét $(O) : M A, M C$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M với tiếp điểm A và $C \Rightarrow M A = M C$ .

$D C, D B$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D với tiếp điểm B và $C \Rightarrow D B = D C$

Mà $M D = M C + C D$

$\Rightarrow M D = M A + D B$

Xét $(O) :$

$M A, M C$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại M với tiếp điểm A và $C \Rightarrow O M$ là tia phân giác của AOC

$D C, D B$ là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D với tiếp điểm B và $C \Rightarrow O D$ là tia phân giác của COB

Mà AOC và COB là hai góc kề bù

$\Rightarrow O M ⊥ O D$ tại D

$\Rightarrow M O D = 90 °$ nên $Δ O M D$ vuông tại O

Câu 9:

Cho nửa đường tròn

(O; R)

đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến

A x, B y

với nửa đường tròn đó. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho

A M > R

. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn

(O)

(C là tiếp điểm). Tia MC cắt tia By tại D.

Cho AM=2R. Tính BD và chu vi tứ giác ABDM

Xem đáp án

$A M = 2 R \Rightarrow M C = 2 R$

Xét tam giác MOD vuông tại O, đường cao OC, có :

$M C . D C = O M^{2}$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$\Rightarrow 2 R . C D = R^{2} \Rightarrow C D = \frac{R}{2} \Rightarrow C D = D B = \frac{R}{2}$

Do đó chu vi tứ giác ABDM là: $A B + B D + D M + M A = A B + D B + D C + C M + A M = 2 R + \frac{R}{2} + \frac{R}{2} + 2 R + 2 R = 7 R$

Câu 10:

Cho nửa đường tròn

(O; R)

đường kính AB. Vẽ hai tiếp tuyến

A x, B y

với nửa đường tròn đó. Trên tia Ax lấy điểm M sao cho

A M > R

. Từ M kẻ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn

(O)

(C là tiếp điểm). Tia MC cắt tia By tại D.

Tia AC cắt tia By tại K. Chứng minh $O K ⊥ B M$ .

Xem đáp án

$Δ A M O$ đồng dạng với $Δ B A K (M A O = A B K = 90 °; A O M = B K A$ vì cùng phụ với $K A B)$

Suy ra $\frac{A M}{A B} = \frac{A O}{B K} \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{B O}{B K} \Rightarrow \tan M B A = \tan O K B \Rightarrow M B A = O K B$

Gọi H là giao điểm của OK và BM

Ta có $M B A = O K B \Rightarrow H B O = O K B$

Mà $O K B + K O B = 90 ° (Δ O B K$ vuông tại $B)$

$\Rightarrow H B O + K O B = 90 °$

Hay $H B O + H O B = 90 ° \Rightarrow O H B = 90 ° \Rightarrow O K ⊥ B M$ tại H

Câu 11:

Giải phương trình $\sqrt{2020 x - 2019} + 2019 x + 2019 = \sqrt{2019 x - 2020}$

Xem đáp án

Phương pháp:

- Tìm ĐKXĐ.

- Chuyển vế, nhân chia cho biểu thức liên hợp đưa phương trình về dạng tích.

Cách giải:

ĐK: $x \geq \frac{2020}{2019}$

$\sqrt{2020 x - 2019} + 2019 x + 2019 = \sqrt{2019 x - 2020} \Leftrightarrow \sqrt{2020 x - 2019} - \sqrt{2019 x - 2020} = - 2019 (x + 1) \Leftrightarrow 2020 x - 2019 - 2019 x + 2020 = - 2019 (x + 1) (\sqrt{2020 x - 2019} + \sqrt{2019 x - 2020}) \Leftrightarrow (x + 1) [1 + 2019 (\sqrt{2002 x - 2019} + \sqrt{2019 x - 2020})] = 0$

Suy ra $x = - 1$ (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.