14 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Bộ 15 đề kiểm tra học kì 1 Toán 9 năm 2022-2023 có đáp án (Đề 2)

Câu 1:

- 3 \sqrt{80} + 7 \sqrt{45} - \sqrt{500}

Xem đáp án

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, sử dụng $\sqrt{A^{2} B} = |A| \sqrt{B}$ .

$- 3 \sqrt{80} + 7 \sqrt{45} - \sqrt{500} = - 3 \sqrt{16.5} + 7. \sqrt{9.5} - \sqrt{100.5} = - 12 \sqrt{5} + 21 \sqrt{5} - 10 \sqrt{5} = - \sqrt{5}$

Câu 2:

Thực hiện phép tính.

\sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}} + \sqrt{19 + 8 \sqrt{3}}

Xem đáp án

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, sử dụng $\sqrt{A^{2} B} = |A| \sqrt{B}$ .

$\sqrt{{(\sqrt{3} - 2)}^{2}} + \sqrt{19 + 8 \sqrt{3}} = |\sqrt{3} - 2| + \sqrt{{(4 + \sqrt{3})}^{2}} = 2 - \sqrt{3} + 4 + \sqrt{3} = 6$

Câu 3:

Thực hiện phép tính

\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}} - \frac{5}{1 + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{28} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}

Xem đáp án

Thực hiện rút gọn bằng cách đưa tử và mẫu về dạng tích kết hợp trục căn thức ở mẫu: $\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}$

$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{7}} - \frac{5}{1 + \sqrt{2}} + \frac{\sqrt{28} - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \sqrt{2} - \frac{5 (1 - \sqrt{2})}{1 - 2} + \frac{2 (\sqrt{7} - \sqrt{3})}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} = \sqrt{2} + 5 (1 - \sqrt{2}) + 2 = \sqrt{2} + 5 - 5 \sqrt{2} + 2 = 7 - 4 \sqrt{2}$

Câu 4:

Cho biểu thức $P = (\sqrt{x} - \frac{x + 2}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 1})$

Rút gọn P.

Xem đáp án

Qui đồng, khử mẫu và rút gọn.

Điều kiện: $x \geq 0, x \neq 1, x \neq 4$ .

$P = (\sqrt{x} - \frac{x + 2}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 1}) = (\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) - (x + 2)}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} + \frac{\sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}) = \frac{x + \sqrt{x} - x - 2}{\sqrt{x} + 1} : \frac{x - \sqrt{x} + \sqrt{x} - 4}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} . \frac{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 2) (\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2}$

Câu 5:

Cho biểu thức

P = (\sqrt{x} - \frac{x + 2}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 1})

Tính giá trị của P với $x = 4 - 2 \sqrt{3}$ .

Xem đáp án

Điều kiện: $x \geq 0, x \neq 1, x \neq 4$ .

Ta có: $x = 4 - 2 \sqrt{3} = {(\sqrt{3} - 1)}^{2} \Rightarrow \sqrt{x} = \sqrt{3} - 1$ (tm)

Thay vào P ta có: $P = \frac{\sqrt{3} - 1 - 1}{\sqrt{3} - 1 + 2} = \frac{\sqrt{3} - 2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 2) (\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Vậy với $x = 4 - 2 \sqrt{3}$ thì $P = \frac{5 - 3 \sqrt{3}}{2}$

Câu 6:

Cho biểu thức $P = (\sqrt{x} - \frac{x + 2}{\sqrt{x} + 1}) : (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{x} - 4}{x - 1})$

Tìm số nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên.

Xem đáp án

Ta có: $P = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{\sqrt{x} + 2 - 3}{\sqrt{x} + 2} = 1 - \frac{3}{\sqrt{x} + 2}$

Vì $x \in ℤ, 1 \in ℤ$ nên để $P \in ℤ$ thì $\sqrt{x} + 2 \in U (3) = \{\pm 1; \pm 3\}$

Bảng giá trị:

Vậy không có giá trị x nguyên thỏa mãn điều kiện xác định để biểu thức P có giá trị nguyên.

Câu 7:

Cho hàm số $y = - 0, 5 x$ có đồ thị là $(d_{1})$ và hàm số $y = x + 2$ có đồ thị là $(d_{2})$

Vẽ đồ thị $(d_{1})$ và $(d_{2})$ trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy.

Xem đáp án

Bảng giá trị $y = - 0, 5 x$

Bảng giá trị $y = x + 2$

Đồ thị:

Câu 8:

Cho hàm số

y = - 0, 5 x

có đồ thị là

(d_{1})

và hàm số

y = x + 2

có đồ thị là

(d_{2})

Xác định hệ số a,b của đường thẳng (d):y=ax+b biết rằng d song song với $(d_{1})$ và $(d)$ cắt $(d_{2})$ tại một điểm có tung độ là -3.

Xem đáp án

Vì $(d) / / (d_{1})$ nên $a = - 0, 5$ và $b \neq 0$ . Khi đó $(d) : y = - 0, 5 x + b$

Gọi $A (x_{0}; - 3)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(d_{2})$

+ $A (x_{0}; - 3) \in (d_{2}) \Rightarrow - 3 = x_{0} + 2 \Rightarrow x_{0} = - 5$

+ $A (- 5; - 3) \in (d) \Rightarrow - 3 = - 0, 5. (- 5) + b \Rightarrow b = - 5, 5$ (TMĐK)

Vậy $(d) : y = - 0, 5 x - 5, 5$

Câu 9:

Cho hàm số

y = - 0, 5 x

có đồ thị là

(d_{1})

và hàm số

y = x + 2

có đồ thị là

(d_{2})

Xác định hệ số a,b của đường thẳng (d):y=ax+b biết rằng d song song với $(d_{1})$ và $(d)$ cắt $(d_{2})$ tại một điểm có tung độ là -3.

Xem đáp án

Vì $(d) / / (d_{1})$ nên $a = - 0, 5$ và $b \neq 0$ . Khi đó $(d) : y = - 0, 5 x + b$

Gọi $A (x_{0}; - 3)$ là tọa độ giao điểm của $(d)$ và $(d_{2})$

+ $A (x_{0}; - 3) \in (d_{2}) \Rightarrow - 3 = x_{0} + 2 \Rightarrow x_{0} = - 5$

+ $A (- 5; - 3) \in (d) \Rightarrow - 3 = - 0, 5. (- 5) + b \Rightarrow b = - 5, 5$ (TMĐK)

Vậy $(d) : y = - 0, 5 x - 5, 5$

Câu 10:

Cho tam giác ABC đường cao AH biết BC=5cm, AH=2cm, độ lớn góc $A C B = 30 °$ . Tìm độ dài AB.

Xem đáp án

Tam giác AHC vuông tại H có:

$H C = \frac{A H}{\tan C} = \frac{2}{\tan 30 °} = 2 \sqrt{3} c m; B H = B C - C H = 5 - 2 \sqrt{3} c m$

Tam giác AHB vuông tại H có $A B^{2} = A H^{2} + H B^{2}$

$\Rightarrow A B = \sqrt{A H^{2} + H B^{2}} = \sqrt{2^{2} + {(5 - 2 \sqrt{3})}^{2}} = 41 - 20 \sqrt{3} \approx 2, 52 c m$

Vậy $A B = 2, 52 (c m)$ .

Câu 11:

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là 2 tiếp điểm)

Chứng minh: Bốn điểm A,B,O,C cùng thuộc 1 đường tròn và $A O ⊥ B C$ .

Xem đáp án

Gọi N là trung điểm của AO.

Tam giác AOB vuông tại B nên $B N = \frac{1}{2} A O = N A = N O (1)$

Tương tự ta có $C N = \frac{1}{2} A O = N A = N O (2)$

Từ (1) và $(2)$ suy ra $N B = N A = N O = N C$ .

Vậy $A, B, O, C$ cùng thuộc đường tròn tâm N, đường kính AO.

Vì $A B, A C$ là các tiếp tuyến nên $A B = A C$ (t/c).

Mà $O A = O B$ (bán kính) nên AO là trung trực của đoạn BC.

Suy ra AO vuông góc BC

Câu 12:

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là 2 tiếp điểm)

Trên cung nhỏ BC của (O) lấy điểm M bất kì $(M \equiv B, M \equiv C, M \notin A O)$ . Tiếp tuyến tại M cắt $A B, A C$ lần lượt tại $D, E$ . Chứng minh: Chu vi $Δ A D E$ bằng $2 A B$ .

Xem đáp án

Chu vi $Δ A D E = A D + D E + A E$

Mà: $D M = D B$ (tiếp tuyến MD và DB cắt nhau tại D)

$M E = C E$ (tiếp tuyến ME và CE cắt nhau tại E)

Suy ra chu vi $Δ A D E$ là:

$A D + D E + A E + E C = A B + A C = 2 A B$

Câu 13:

Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) ( B và C là 2 tiếp điểm)

Đường thẳng vuông góc với AO tại O cắt AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: $4 P D . Q E = P Q^{2}$ .

Xem đáp án

Theo tính chất của hai tiếp tuyến của hai đường tròn, ta có:

$D O M = \frac{1}{2} B O M, M O E = \frac{1}{2} M O C$

Cộng vế theo vế, ta được:

$D O E = \frac{1}{2} B O C$

Mà $\frac{1}{2} B O C = A O C = O Q E$ (vì AOC và OQE cùng phụ với QAO)

Nên $D O E = O Q E$

Xét tam giác ODE và tam giác QOE, ta có:

$D O E = Q O E$ (cmt)

$O E D = O E Q$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow Δ O D E ~ Δ Q O E$ (g.g)

Chứng minh tương tự $\Rightarrow Δ O D E ~ Δ P D O$

$\Rightarrow Δ Q O E ~ Δ P D O$ (tính chất bắc cầu)

$\Rightarrow \frac{Q O}{P D} = \frac{Q E}{P O} \Rightarrow P D . Q E = P O . Q O = \frac{P Q}{2} . \frac{P Q}{2} = \frac{P Q^{2}}{4}$

$\Rightarrow 4 P D . Q E = P Q^{2}$ . (đpcm)

Câu 14:

Cầu Đông Trù bắc qua sông Đuống, nằm trên quốc lộ 5 kéo dài, nối xã Đông Hội, huyện Đông Anh ở phía Bắc Hà Nội và phường Ngọc Thụy, quận Long Biên ở phía Nam Hà Nội. Nhịp giữa dài 120m được thiết kế bằng vòm thép nhồi bê tông có hình 1 cung tròn. Khoảng cách điểm cao nhất của mái vòm xuống mặt sàn của cầu là 47m (được mô phỏng hình vẽ dưới). Hãy tính độ dài bán kính của đường tròn chứa cung tròn là nhịp giữa của cầu Đông Trù? (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập phân).

Xem đáp án

Phương pháp:Đặt bán kính bằng R, áp dụng định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông tìm R.

Cách giải:

Vì $O H ⊥ A B$ tại H nên H là trung điểm của AB, do đó $H A = H B = 60 (m)$

Kéo dài OH cắt đường tròn tại M, khi đó $O M = R$ và là khoảng cách lớn nhất nên M là điểm cao nhất của mái vòm hay $H M = 47 m$ .

$\Rightarrow H O = O M - H M = R - 47 (m)$

Áp dụng đinh lý Pitago vào tam giác vuông OHB ta có:

$O B^{2} = O H^{2} + H B^{2} \Rightarrow 60^{2} + {(R - 47)}^{2} = R^{2} \Leftrightarrow 3600 + R^{2} - 94 R + 2209 = R^{2} \Leftrightarrow - 94 R = - 5809 \Leftrightarrow R = \frac{5809}{94} \approx 62, 00 (m)$

Vậy độ dài bán kính R của đường tròn chứa cung tròn là nhịp giữa của cầu Đông Trù là 62 mét.