Đáp án đúng là: C

Do $OH < 2{\rm{\;cm}}$ nên điểm $H$ nằm trong đường tròn $\left( {O\,;\,2{\rm{\;cm}}} \right).$

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Ta có trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

Vì vậy ta điền như sau: “Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất”.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn đồng tâm $\left( {O;2{\rm{\;cm}}} \right)$ và $\left( {O;3{\rm{\;cm}}} \right)$ là:

${S_v} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) = \pi \left( {{3^2} - {2^2}} \right) = 5\pi {\rm{\;(c}}{{\rm{m}}^2}{\rm{)}}{\rm{.}}$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Ta có đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $A$ nên $d \bot OA$ tại $A,$ với $A$ là tiếp điểm.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Vì đường tròn $\left( {O'} \right)$ có đường kính $OA$ nên $O'$ là trung điểm $OA.$

Do đó $OO' = O'A = \frac{{OA}}{2}.$

Đặt $R = OA$ và $R' = O'A = \frac{{OA}}{2}.$ Suy ra $R > R'.$

Ta có $OA - \frac{{OA}}{2} = \frac{{OA}}{2}.$ Suy ra $R - R' = OO',$ với $R > R'.$

Khi đó hai đường tròn $\left( {O;OA} \right)$ và $\left( {O';\frac{{OA}}{2}} \right)$ tiếp xúc trong.

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: D

Xét đường tròn tâm $O$ có hai tiếp tuyến tại $B$ và $C$cắt nhau tại $A$ nên $AB = AC$(tính chất).

Lại có $OB = OC$ nên $OA$ là đường trung trực của đoạn $BC$ hay $OA \bot BC$ tại trung điểm của $BC$.

Vậy phương án D là khẳng định sai. Ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: C

Vì $AB$ và $AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $A$ nên $AO$ là tia phân giác của $\widehat {BAC}.$ Do đó $\widehat {BAO} = \frac{1}{2}\widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ .$

Do $AB$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ tại $B$ nên $AB \bot OB$.

Khi đó $\Delta ABO$ vuông tại $B$ có $\widehat {BAO} = 45^\circ$ nên là tam giác vuông cân tại $B$.

Đáp án đúng là: C

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB = BC = CD = DA = 2{\rm{\;cm}}.$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8.$ Suy ra $AC = 2\sqrt 2 {\rm{\;cm}}{\rm{.}}$

Vì $I,\,\,J$ lần lượt là trung điểm của $AC,\,\,CD$ nên ta có:

⦁ $AI = \frac{{AC}}{2} = \sqrt 2 {\rm{\;cm;}}$

⦁ $CJ = \frac{{CD}}{2} = 1{\rm{\;cm}}.$

Ta có: $AI + CJ = \sqrt 2 + 1{\rm{\;(cm)}}$ và $AC = 2\sqrt 2 {\rm{\;cm}}{\rm{.}}$

Suy ra $AI + CJ < AC$ (do $1 + \sqrt 2 < 2\sqrt 2 )$ nên hai đường tròn ở ngoài nhau.

Vậy ta chọn phương án C.

Đáp án đúng là: A

Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình chữ nhật $ABCD.$ Suy ra $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD.$

Do đó $OA = OC$ và $OB = OD.$

Mà $AC = BD$ (do $AC$ và $BD$ là hai đường chéo của hình chữ nhật $ABCD$).

Suy ra $OA = OC = OB = OD.$

Như vậy bốn điểm $A,B,C,D$ cùng thuộc một đường tròn tâm $O$ bán kính $OB.$

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $ABD$ vuông tại $A,$ ta được:

$B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {15^2} + {8^2} = 289.$ Suy ra $BD = 17{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vì $O$ là trung điểm của $BD$ nên $OB = \frac{{BD}}{2} = \frac{{17}}{2} = 8,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Do đó bán kính đường tròn cần tìm là $OB = 8,5{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: B

⦁ Xét $\Delta OAB$ có $OA = OB = AB = R$ nên $\Delta OAB$ là tam giác đều.

Khi đó $\widehat {AOB} = \widehat {OAB} = 60^\circ .$

Theo bài, điểm $C$ nằm trên tia đối của tia $BA$ sao cho $BC = BA$ nên $B$ là trung điểm $AC.$

Tam giác $OAC$ có $OB$ là đường trung tuyến ứng với $AC$ và $R = OB = BA = BC = \frac{{AC}}{2}$ nên tam giác $OAC$ vuông tại $O.$

Do đó $\widehat {AOC} = 90^\circ$ (1)

Vì vậy Do đó phương án C là kết luận đúng.

⦁ Tam giác $OAC$ vuông tại $O,$ có: $\widehat {OAC} + \widehat {OCA} = 90^\circ .$

Suy ra $\widehat {OCA} = 90^\circ - \widehat {OAC} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ (2)

Do đó phương án D là kết luận đúng.

⦁ Từ (1), (2), ta thu được $\widehat {AOD} = 3\widehat {ACD}.$ Do đó phương án A là kết luận đúng.

⦁ Từ (1), ta suy ra $OA \bot OE$ hay $\widehat {AOE} = 90^\circ .$

Ta có

Do đó phương án B là kết luận sai.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có $BC \bot OA$ tại trung điểm $M$ của $OA$ nên $BC$ là đường trung trực của đoạn thẳng $OA.$

Do đó $OB = AB.$

Mà $OA = OB$ nên $OA = OB = AB.$ Suy ra tam giác $OAB$ là tam giác đều.

Do đó $\widehat {AOB} = 60^\circ .$

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat {AOC} = 60^\circ .$

Ta có

Khi đó số đo cung lớn $BC$ bằng

Độ dài cung lớn $BC$ là: $l = \frac{n}{{360}}C = \frac{{240}}{{360}} \cdot 4\pi = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Đường tròn $\left( O \right)$ có $O'C$ là đường kính nên $O$ là trung điểm $O'C.$ Do đó $OO' = OC.$

Tam giác $O'BC$ có $BO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $O'C$ và $OB = \frac{{O'C}}{2}$ nên tam giác $O'BC$ vuông tại $B$ hay $\widehat {CBO'} = 90^\circ .$

Khi đó $BC \bot O'B$ tại $B$ thuộc đường tròn $\left( {O'} \right)$. Vì vậy $CB$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right).$

Chứng minh tương tự, ta được $CA$ là tiếp tuyến của $\left( {O'} \right).$

Đường tròn $\left( {O'} \right)$ có $CA,CB$ là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $C.$

Áp dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta được $CA = CB.$

Như vậy cả A, B, C đều là khẳng định đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: D

Cặp đường tròn ở cặp cồng chiêng trong Hình 1 không có điểm chung nên cặp đường tròn này không giao nhau.

Cặp đường tròn ở cặp cồng chiêng trong Hình 2 có một điểm chung và không có cồng chiêng nào treo trước cồng chiêng còn lại nên cặp đường tròn này tiếp xúc ngoài với nhau.

Cặp đường tròn ở cặp cồng chiêng trong Hình 3 có hai điểm chung nên cặp đường tròn này cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

Vậy không có hình nào biểu diễn cặp cồng chiêng có hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.

Do đó ta chọn phương án D.

Đáp án đúng là: A

Vì mỗi hình quạt tròn có góc ở tâm là $7,5^\circ$ nên mỗi hình quạt tròn đó ứng với cung $7,5^\circ .$

Diện tích mỗi hình quạt tròn là: ${S_q} = \frac{n}{{360}}\pi {R^2} = \frac{{7,5}}{{360}} \cdot \pi \cdot {5^2} = \frac{{25\pi }}{{48}}{\rm{\;(d}}{{\rm{m}}^2}).$

Vì $\frac{{360}}{{7,5}} = 48$ và các hình quạt tròn được tô màu và không được tô màu được sắp xếp xen kẽ nhau nên số hình quạt tròn được tô màu là: $48:2 = 24$ (hình quạt tròn).

Diện tích tất cả các hình quạt tròn được tô màu là: $S = 24{S_q} = 24 \cdot \frac{{25\pi }}{{48}} = \frac{{25\pi }}{2}{\rm{\;(d}}{{\rm{m}}^2}).$

Vậy ta chọn phương án A.

Đáp án đúng là: C

⦁ Ta có $ME$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $ME \bot OE$ tại $E.$

Do đó tam giác $OEM$ vuông tại $E.$

Gọi $J$ là trung điểm $OM.$

Tam giác $OEM$ vuông tại $E$ có $EJ$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $OM$

Suy ra $EJ = JO = JM = \frac{{OM}}{2}.$

Do đó ba điểm $M,E,O$ cùng thuộc đường tròn tâm $J,$ đường kính $OM$.

Chứng minh tương tự, ta được ba điểm $M,\,\,F,\,\,O$ cùng thuộc đường tròn tâm $J,$ đường kính $OM.$

Vì vậy các điểm $M,\,\,E,\,\,O,\,\,F$ cùng thuộc đường tròn tâm $J$ đường kính $OM.$

Do đó khẳng định (i) là đúng.

⦁ Gọi $G$ là giao điểm của $EM$ và $FD$.

Tam giác $OEF$ cân tại $O$ (do $OE = OF = R)$ có $OM$ là đường phân giác (theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $OM$ cũng là đường cao của tam giác $OEF$, do đó $OM \bot EF$.

Tam giác $FED$ có $FO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $ED$ và $FO = \frac{{ED}}{2}$ nên tam giác $FED$ vuông tại $F$. Do đó $EF \bot FD$.

Suy ra $FD\,{\rm{//}}\,OM$ hay $DG\,{\rm{//}}\,OM$.

Tam giác $EDG$ có $O$ là trung điểm $ED$ và $DG\,{\rm{//}}\,OM$ nên $OM$ là đường trung bình của tam giác $EDG$. Khi đó $M$ là trung điểm $EG$ nên $ME = MG$.

Vì $PK\,{\rm{//}}\,ME$ (do cùng vuông góc với $ED)$ nên áp dụng định lí Thalès, ta được $\frac{{PK}}{{ME}} = \frac{{DP}}{{DM}}$ (1)

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{{PF}}{{MG}} = \frac{{DP}}{{DM}}$ (2)

Từ (1), (2), ta suy ra $\frac{{PF}}{{MG}} = \frac{{PK}}{{ME}}.$

Mà $ME = MG$ nên $PF = PK$ hay $P$ là trung điểm của $FK.$

Vì vậy $PF = PK = \frac{{FK}}{2} = \frac{6}{2} = 3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$ Do đó khẳng định (ii) là đúng.

Vậy ta chọn phương án C.