Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a$\ne$0)

với b = 2b’ và biệt thức $\Delta \text{'}=b^{\text{'}2}-ac$

Trường hợp 1: Nếu$∆\text{'}$< 0 thì phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu $∆\text{'}$= 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x_{2$=-\frac{b\text{'}}{a}$}

Trường hợp 3: nếu $∆\text{'}$> 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x_{1,2$=-\frac{b\text{'}\pm \sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$}

Đáp án cần chọn là: A

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a$\ne$0)

với b = 2b’ và biệt thức$\Delta \text{'}=b^{\text{'}2}-ac$

Trường hợp 1: Nếu $\Delta \text{'}$< 0 thì phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu $\Delta \text{'}$= 0 thì phương trình có nghiệm kép x₁ = x_{2$=-\frac{b\text{'}}{a}$}

Trường hợp 3: nếu $\Delta \text{'}$ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

x_{1,2$=-\frac{b\text{'}\pm \sqrt{\Delta \text{'}}}{a}$}

Đáp án cần chọn là: D

Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a$\ne$0)

có b = 2b’và biệt thức $\Delta \text{'}=b^{\text{'}2}-ac$

Nếu $\Delta \text{'}$=0 thì phương trình có nghiệm kép$=-\frac{b}{a}$

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình 7x² − 12x + 4 = 0

có a = 7;b’ = −6; c = 4 suy ra

$\Delta \text{'}=b^{\text{'}2}-ac$= (−6)² – 4.7 = 8 > 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình 16x² − 24x + 9 = 0

có a = 16; b’ = −12; c = 9 suy ra

$\Delta \text{'}=b^{\text{'}2}-ac$= (−12)² – 9.16 = 0

Nên phương trình có nghiệm kép

Đáp án cần chọn là: C

Thay x = 2 vào phương trình 2mx² – (2m + 1)x − 3 = 0

ta được: 2m.2² – (2m + 1).2 − 3 = 0

$\iff$4m – 5 = 0$\iff$$m=\frac{5}{4}$

Vậy $m=\frac{5}{4}$ là giá trị cần tìm

Đáp án cần chọn là: C

Thay x = −3 vào phương trình (3m + 1)x² – (5 – m)x − 9 = 0

ta được (3m + 1).(−3)² – (5 – m).(−3) − 9 = 0

$\iff$24m + 15 = 0$\iff$$m=-\frac{5}{8}$

Vậy $m=-\frac{5}{8}$ là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình 2x² + 2$\sqrt{11}$x + 3 = 0

có a = 2; b’ =$\sqrt{11}$; c = 3 suy ra

$\Delta \text{'}=b^{\text{'}2}-ac$= 11 – 2.3 = 5 > 0

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\sqrt{11}+\sqrt{5}}{2}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{-\sqrt{11}-\sqrt{5}}{2}$

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình 3x² − 2x = x² + 3

$\iff$2x² – 2x – 3 = 0 có a = 2; b’ = −1; c = −3

Suy ra $\Delta \text{'}=b^{\text{'}2}-ac$= (−1)² – 2.(−3) = 7 > 0

nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b\text{'}+\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{1+\sqrt{7}}{2}$

$x_2=\frac{-b\text{'}-\sqrt{\Delta \text{'}}}{a}=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình mx² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

có a = m; b’ = − (m – 1); c = m – 3

Suy ra  $∆\text{'}$ = [− (m – 1)]² – m(m − 3) = m + 1

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta \text{'}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m+1>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m>-1\end{array}\right.$

Nên với đáp án A: $m=-\frac{5}{4}$< − 1

thì phương trình không có hai nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình (m + 1)x² – 2(m + 1)x + 1 = 0

có a = m + 1; b’ = − (m + 1); c = 1

Suy ra $\Delta \text{'}$= [− (m + 1)]² – (m + 1) = m² + m

Để phương trình (m + 1)x² – 2(m + 1)x + 1 = 0

có hai nghiệm phân biệt thì:

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta \text{'}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m^2+m>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ m\left(m+1\right)>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m>0\\ m+1>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}m<0\\ m+1<0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne -1\\ \left[\begin{array}{l}m>0\\ m<-1\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}m>0\\ m<-1\end{array}\right.$

Vậy m > 0 hoặc m < −1 thì

phương trình có hai nghiệm phân biệt

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình (m – 3)x² – 2mx + m − 6 = 0

có a = m – 3; b’ = −m; c = m – 6

Suy ra $\Delta \text{'}$= (−m)² – (m − 3)(m – 6) = 9m – 18

TH1: m – 3 = 0$\iff$m = 3  

Phương trình đã cho $\iff$ −6x – 3 = 0

$\iff$$x=-\frac{1}{2}$

TH2: m – 3$\ne$0$\iff$m$\ne$3 

Để phương trình vô nghiệm thì:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta \text{'}<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ 9m-18<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 3\\ m<2\end{array}\right.\iff m<2 \end{gathered}$$

Vậy m < 2 là giá trị cần tìm

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình mx² – 4(m – 1) x + 2 = 0

có a = m; b’ = −2(m – 1); c = 2

Suy ra$\Delta \text{'}$= [−2(m – 1)]² – m.2 = 4m² – 10m + 4

TH1: m = 0 ta có phương trình 4x + 2 = 0

$\iff x=-\frac{1}{2}$ nên loại m = 0

TH2: m$\ne$0. Để phương trình vô nghiệm thì

$\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta \text{'}<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 4m^2-10m+4<0\end{array}\right.$

$$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 2m^2-5m+2<0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 2m^2-4m-m+2<0\end{array}\right. \end{gathered}$$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ 2m(m-2)-(m-2)<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \left(2m-1\right)\left(m-2\right)<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}2m-1<0\\ m-2>0\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}2m-1>0\\ m-2<0\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}m<\frac{1}{2}\\ m>2\end{array}\right.\left(VL\right)\\ \left\{\begin{array}{l}m>\frac{1}{2}\\ m<2\end{array}\right.\end{array}\right.\end{array}\right.$

Vậy$\frac{1}{2}<m<2$là giá trị cần tìm

Đáp án cần chọn là: C

Phương trình (m – 2)x² – 2(m + 1)x + m = 0

có a = m – 2; b’ = − (m + 1); c = m

Suy ra $\Delta \text{'}$= [−(m + 1)]² – (m – 2).m = 4m + 1

TH1: m – 2 = 0$\iff$m = 2

$\Rightarrow$−6x + 2 = 0$\Rightarrow$x$=\frac{1}{3}$

Với m = 2 thì phương trình có một nghiệm x$=\frac{1}{3}$

TH2: m – 2$\ne$0$\iff$m$\ne$2

Để phương trình có nghiệm kép thì:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta \text{'}=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ 4m+1=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 2\\ m=-\frac{1}{4}\end{array}\right.\iff m=-\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Vậy m = 2;$m=-\frac{1}{4}$ là giá trị cần tìm

Đáp án cần chọn là: B

Để phương trình mx² – 2(m – 1)x + 2 = 0 có nghiệm kép thì

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta \text{'}={\left[-\left(m-1\right)\right]}^2-m.2=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m^2-2m+1-2m=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m^2-4m+1=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

Giải phương trình m² – 4m + 1 = 0

Ta có ${\Delta }_m^{\text{'}}$= (−2)² – 1.1 = 3

nên$\left[\begin{array}{l}m=2+\sqrt{3}\\ m=2-\sqrt{3}\end{array}\right.$

Kết hợp với m$\ne$0$\Rightarrow \left[\begin{array}{l}m=2+\sqrt{3}\\ m=2-\sqrt{3}\end{array}\right.$

Nếu m = 2 + $\sqrt{3}$ thì phương trình có nghiệm kép là:

$x_1=x_2=\frac{m-1}{m}=\frac{2+\sqrt{3}-1}{2+\sqrt{3}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$

Nếu m = 2 − $\sqrt{3}$ thì phương trình có nghiệm kép là:

$x_1=x_2=\frac{m-1}{m}=\frac{2-\sqrt{3}-1}{2-\sqrt{3}}=\frac{1-\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình mx² – 2(m – 1)x + m + 2 = 0

có a = m; b’ = − (m – 1); c = m + 2

Suy ra $\Delta \text{'}$= (m – 1)² – m(m + 2) = −4m + 1

TH1: m = 0, ta có phương trình

2x + 2 = 0$\iff$x = −1

TH2: m$\ne$0. Phương trình có nghiệm khi

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \Delta \text{'}\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -4m+1\ge 0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ m\le \frac{1}{4}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Kết hợp cả hai trường hợp ta có

với $m\le \frac{1}{4}$thì phương trình có nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình (m – 3)x² – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0

có a = m – 3; b’ = − (3m + 1) và c = 9m – 1

TH1: Nếu m – 3 = 0$\Rightarrow$m = 3 thì phương trình

(m – 3)x² – 2(3m + 1)x + 9m – 1 = 0

trở thành −2(3.3 + 1) x + 9.3 – 1 = 0

$\Rightarrow$−20x + 26 = 0$\Rightarrow$$x=\frac{13}{10}$

Vậy m = 3 thì phương trình có nghiệm duy nhất nên ta nhận m = 3

TH2: m$\ne$3 thì phương trình là phương trình bậc hai.

Phương trình có nghiệm khi

$∆\text{'}$= [− (3m + 1)]² – (m – 3)(9m – 1)$\ge$0

 $\iff$9m² + 6m + 1 – 9m² + m + 27m – 3$\ge$0

$\iff$$m\ge \frac{1}{17}$

Vậy $m\ge \frac{1}{17}$ thì phương trình có nghiệm

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình −x² + 2mx − m² – m = 0

có a = −1; b’ = m; c = −m² – m

Suy ra $\Delta \text{'}$= m² – (−1).( −m² – m) = −m

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi –m > 0$\iff$m < 0

Khi đó$x_1=\frac{-m+\sqrt{-m}}{-1}=m-\sqrt{-m};x_2=\frac{-m-\sqrt{-m}}{-1}=m+\sqrt{-m}$

Đáp án cần chọn là: A

Phương trình x² – 2(m – 2)x + 2m − 5 = 0

có a = 1; b’ = − (m – 2); c = 2m – 5

Suy ra $\Delta \text{'}$=[− (m – 2)]² – 1.(2m − 5) = m² – 6m + 9 = (m – 3)²

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì

$\Delta \text{'}$> 0$\iff$(m – 3)² > 0$\iff m\ne 3$

Khi đó, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

x₁ = m – 2 +$\sqrt{{\left(m-3\right)}^2}$ = 2m – 5

x₂ = m – 2 −$\sqrt{{\left(m-3\right)}^2}$ = 1

Đáp án cần chọn là: B

Phương trình x² + (a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0

Có $\Delta$= (a + b + c)² − 4(ab + bc + ca)

= a² + b² + c² – 2ab – 2bc – 2ac

= (a – b)² – c² + (b – c)² – a² + (a – c)² – b²

= (a – b – c)(a + c – b) + (b – c – a)

(a + b – c) + (a – c – b)(a – c + b)

Mà a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên

$\left\{\begin{array}{l}a-b-c<0\\ b-c-a<0\\ a-c-b<0\end{array}\right.;\left\{\begin{array}{l}a+c-b>0\\ a+b-c>0\end{array}\right.$

Nên $\Delta$< 0 với mọi a, b, c

Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi a, b, c

Đáp án cần chọn là: D

Phương trình b²x² – (b² + c² – a²)x + c² = 0

Có $\Delta$= ${\left(b^2 + c^2 – a^2\right)}^2$ – 4b²c² = (b² + c² – a² + 2bc)(b² + c² – a² – 2bc)

= [(b + c)² – a²] [(b – c)² – a²]

= (b + c + a)(b + c – a)(b – c – a)(b – c + a)

Mà a, b, c là ba cạnh của tam giác nên

$\left\{\begin{array}{l}a+b+c>0\\ b+c-a>0\\ b-c-a<0\\ b+a-c>0\end{array}\right.$

Nên $\Delta$< 0 với mọi a, b, c

Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi a, b, c

Đáp án cần chọn là: D