10 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Trắc nghiệm Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn có đáp án (Vận dụng)

Câu 1:

Cho đường tròn (O; R) và dây AB = 1,2R. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại E và F. Tính diện tích tam giác OEF theo R

A. $S_{O E F} = 0, 75 R^{2}$

B. $S_{O E F} = 1, 5 R^{2}$

C. $S_{O E F} = 0, 8 R^{2}$

D. $S_{O E F} = 1, 75 R^{2}$

Xem đáp án

Đáp án A

Kẻ OH $⊥$ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI $⊥$ AB (vì AB // EF)

Xét (O) có OI $⊥$ AB tại I nên I là trung điểm của AB (liên hệ giữa đường kính và dây) $\Rightarrow I A = I B = \frac{A B}{2} = 0, 6 R$

Lại có OA = R. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OIA ta có:

$O I = \sqrt{O A^{2} - I A^{2}} = 0, 8 R$

Mà AI // EH nên

$\frac{A I}{E H} = \frac{O I}{O H} = \frac{0, 8 R}{R} \Rightarrow E H = \frac{0, 6 R}{0, 8} = 0, 75 R$

$∆$ OEF cân tại O (vì $\hat{E} = \hat{F} = \hat{B A O} = \hat{A B O}$ ) có OH $⊥$ EF nên H là trung điểm của EF

$\Rightarrow E F = 2 E H = 1, 5 R \Rightarrow S_{E O F} = \frac{O H . E F}{2} = 0, 75 R^{2}$

Câu 2:

Cho đường tròn (O; 6cm) và dây AB = 9,6cm. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại E và F. Tính diện tích tam giác OEF theo R

A. $S_{O E F} = 36 (c m^{2})$

B. $S_{O E F} = 24 (c m^{2})$

C. $S_{O E F} = 48 (c m^{2})$

D. $S_{O E F} = 96 (c m^{2})$

Xem đáp án

Đáp án C

Kẻ OH $⊥$ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI $⊥$ AB (vì AB // EF)

Xét (O) có OI $⊥$ AB tại I nên I là trung điểm của AB (liên hệ giữa đường kính và dây) $\Rightarrow I A = I B = \frac{A B}{2} = 4, 8 c m$

Lại có OA = 6cm. Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OIA ta có:

$O I = \sqrt{O A^{2} - I A^{2}} = \sqrt{6^{2} - 4, 8^{2}} = 3, 6 c m$

Mà AI // EH nên

$\frac{A I}{E H} = \frac{O I}{O H} = \frac{3, 6}{6} = \frac{3}{5} \Rightarrow E H = \frac{A I .5}{3} = \frac{4, 8.5}{3} = 8$

$∆$ OEF cân tại O (vì $\hat{E} = \hat{F} = \hat{B A O} = \hat{A B O}$ ) có OH $⊥$ EF nên H là trung điểm của EF

$\Rightarrow E F = 2 E H = 16 c m \Rightarrow S_{E O F} = \frac{6.16}{2} = 48 (c m^{2})$

Câu 3:

Cho đường tròn (O; R). Cát tuyến qua A ở ngoài (O) cắt (O) tại B và C. Cho biết AB = BC và kẻ đường kính COD. Tính độ dài đoạn thẳng AD

A. AD = R

B. AD = 2R

C. $A D = \frac{R}{2}$

D. AD = 2R

Xem đáp án

Đáp án D

Xét (O) có OB = OC = OD $\Rightarrow B O = \frac{D C}{2}$ $\Rightarrow ∆$ BDC vuông tại B (tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)

Suy ra BD $⊥$ AC

Xét $∆$ ADC có BD vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên $∆$ ADC cân tại D

$\Rightarrow$ DA = DC = 2R

Vậy AD = 2R

Câu 4:

Cho đường tròn (O; 5cm). Cát tuyến qua A ở ngoài (O) cắt (O) tại B và C. Cho biết AB = BC và kẻ đường kính COD. Tính độ dài đoạn thẳng AD

A. AD = 2,5cm

B. AD = 10cm

C. AD = 15cm

D. AD = 5cm

Xem đáp án

Đáp án B

Xét (O) có OB = OC = OD $\Rightarrow B O = \frac{D C}{2}$ $\Rightarrow ∆$ BDC vuông tại B (tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông)

Suy ra BD $⊥$ AC

Xét $∆$ ADC có BD vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên $∆$ ADC cân tại D

$\Rightarrow$ DA = DC = 2R = 10cm

Vậy AD = 10cm

Câu 5:

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, cách nhau một khoảng là h. Một đường tròn (O) tiếp xúc với a và b. Hỏi tâm O di động trên đường nào?

A. Đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng $\frac{h}{2}$

B. Đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng $\frac{2 h}{3}$

C. Đường thẳng c đi qua O vuông góc với a, b

D. Đường tròn (A; AB) với A, B lần lượt là tiếp điểm của a, b với (O)

Xem đáp án

Đáp án A

Kẻ đường thẳng OA $⊥$ a cắt b tại B thì OB $⊥$ b tại B vì a // b

Vì (O) tiếp xúc với cả a, b nên OA = OB. Lại có AB = h $\Rightarrow O A = O B = \frac{h}{2}$

Hay tâm O cách a và b một khoảng cùng bằng $\frac{h}{2}$

Nên O chạy trên đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng $\frac{h}{2}$

Câu 6:

Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, cách nhau một khoảng là 6cm. Một đường tròn (O) tiếp xúc với a và b. Hỏi tâm O di động trên đường nào?

A. Đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng 4cm

B. Đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng 6cm

C. Đường thẳng c đi qua O vuông góc với a, b

D. Đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng 3cm

Xem đáp án

Đáp án D

Kẻ đường thẳng OA $⊥$ a cắt b tại B thì OB $⊥$ b tại B vì a // b

Vì (O) tiếp xúc với cả a, b nên OA = OB. Lại có AB = 6cm $\Rightarrow O A = O B = \frac{6}{2} = 3 c m$

Hay tâm O cách a và b một khoảng cùng bằng 3cm

Nên O chạy trên đường thẳng c song song và cách đều a, b một khoảng 3cm

Câu 7:

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tia Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho $A M . B N = R^{2}$ . Chọn câu đúng:

A. MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

B. $\hat{M O N} = 90^{\circ}$

C. Cả A, B đều đúng

D. Cả A, B đều sai

Xem đáp án

Đáp án C

Vẽ OH $⊥$ MN, H $\in$ MN. Vì $A M . B A O N H I Ê U = R^{2} = A O . B O$ nên $\frac{A M}{B O} = \frac{A O}{B N}$

Xét $∆$ AOM và $∆$ BON có: $\hat{M A O} = \hat{N B O} = 90^{o}; \frac{A M}{B O} = \frac{A O}{B N}$

$\Rightarrow ∆ A O M ∽ ∆ B N O (c . g . c) \Rightarrow \hat{M_{1}} = \hat{O_{1}}; \hat{O_{2}} = \hat{N_{2}}$

Do đó góc MON bằng $90^{\circ}$

Ta có: $\frac{A M}{B O} = \frac{O M}{O N}$ (do $∆ A O M ∽ ∆ B N O$ ) $\Rightarrow \frac{A M}{O M} = \frac{O A}{O N}$

Do đó $∆ A O M ∽ ∆ O M N$ (c.g.c) $\Rightarrow \hat{M_{1}} = \hat{M_{2}}$

$∆$ AOM = $∆$ HOM (cạnh huyền, góc nhọn)

$\Rightarrow$ AO = OH $\Rightarrow$ OH = R, do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Câu 8:

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tia Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho $A M . B N = R^{2}$ . Chọn câu đúng:

A. Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với đường thẳng AB cố định

B. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MON luôn tiếp xúc với đường thẳng AM cố định

C. Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với đường thẳng BN cố định

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

Đáp án A

Gọi K là trung điểm của MN

Tam giác MON vuông tại O có OK là tiếp tuyến $\Rightarrow$ KM = KN = KHÔNG

Suy ra: Đường tròn (K; KO) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN

Ta có OK là đường trung bình của hình thang AMNB nên OK // AM $\Rightarrow$ OK AB

Suy ra OK là tiếp tuyến của đường tròn (K). Vậy đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định là đường thẳng AB

Câu 9:

Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB. Các tia BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chọn câu đúng

A. M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC

B. DE là đường kính của đường tròn (O)

C. M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC

D. Cả A, B, C đều sai

Xem đáp án

Đáp án B

Tam giác ABM có AB = AM nên $∆$ ABM cân tại A $\Rightarrow \hat{A B M} = \hat{A M B}$ (1)

Ta có: OA $⊥$ BC; OB $⊥$ AB nên: $\{\begin{cases} \hat{A B M} + \hat{M B O} = 90^{o} \\ \hat{A M B} + \hat{M B C} = 90^{o} \end{cases}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \hat{M B O} = \hat{O C M}$

Tương tự $\hat{B C M} = \hat{O C M}$

Điểm M là giao điểm hai đường phân giác của tam giác OBC nên M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC

Vì tam giác BOD cân tại O $\Rightarrow \hat{M B O} = \hat{M D O}$ mà $\hat{M B O} = \hat{M B C}$ nên $\hat{M B C} = \hat{M D O}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên OD // BC

Chứng minh tương tự, ta có OE // BC

$\Rightarrow$ D, O, E thẳng hàng

Vậy DE là đường kính của đường tròn (O)

Câu 10:

Cho hai đường tròn (O; 4cm) và (O’; 3cm) biết OO’ = 5cm. Hai đường tròn trên cắt nhau tại A và B. Độ dài AB là:

A. 2,4cm

B. 4,8cm

C. $\frac{5}{12}$ cm

D. 5cm

Xem đáp án

Đáp án B

Xét tam giác OAO’ có $O A^{2} + O ’ A^{2} = O O'^{2} (v ì 4^{2} + 3^{2} = 5^{2})$ nên tam giác OAO’ vuông tại A

Xét tam giác OAO’ có AH là đường cao nên

$A H . O O ’ = O A . O ’ A \Rightarrow A H = \frac{O A . O' A}{O O'} = \frac{4.3}{5} = \frac{12}{5}$

Mà AB = 2AH nên $A B = \frac{24}{5} = 4, 8 c m$