Trắc nghiệm Chuyên đề toán 9 Chuyên đề 1: Tam giác đồng dạng, Định lí Talet có đáp án
Chủ đề 2: Tam giác đồng dạng có đáp án
-
1035 lượt thi
-
28 câu hỏi
-
30 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Cho tam giác ABC có \[AB = 6cm,\,AC = 9cm,\,BC = 12cm\] và \[\Delta MNP\] có \[MN = 24cm,\,NP = 18cm,\,MP = 12cm\].
Chứng minh \[\Delta ABC \sim \Delta MNP\].
Xem đáp án
Ta có: \[\frac{{AB}}{{MP}} = \frac{{AC}}{{NP}} = \frac{{BC}}{{MN}} = \frac{1}{2}\] nên \[\Delta ABC \sim \Delta PMN\] (c.c.c).
Câu 2:
Cho tam giác ABC có \[AB = 6cm,\,AC = 9cm,\,BC = 12cm\] và \[\Delta MNP\] có \[MN = 24cm,\,NP = 18cm,\,MP = 12cm\].
Tính tỉ số diện tích của hai tam giác trên.
Xem đáp án
Do \[\Delta ABC \sim \Delta PMN\] nên \[\frac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{S_{\Delta MNP}}}} = {\left( {\frac{{AB}}{{MP}}} \right)^2} = \frac{1}{4}\].
Câu 3:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết \[AB = 4cm,\,AC = 3cm\].
Tính độ dài CH.
Xem đáp án
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC ta dễ dàng tính được \[BC = 5cm\].
Do \[\Delta HAC\~\Delta ABC\] nên
\[\frac{{CH}}{{CA}} = \frac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{CH}}{3} = \frac{3}{5} \Rightarrow CH = 1,8cm\]
Câu 4:
Cho hình thang ABCD \[(AB\parallel CD)\] có \[\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\] và \[AD = 5cm,\,AB = 3cm,\,BC = 9cm\]
Từ câu a, tính độ dài DB, DC.
Xem đáp án
\[\Delta DAB\~\Delta CBD \Rightarrow \frac{{DA}}{{CB}} = \frac{{AB}}{{BD}} = \frac{{DB}}{{CD}} \Rightarrow \frac{5}{9} = \frac{3}{{BD}} = \frac{{BD}}{{CD}} \Rightarrow BD = 5,4cm;\,CD = 9,72cm\].
Câu 5:
Cho hình thang ABCD \[(AB\parallel CD)\] có \[\widehat {DAB} = \widehat {DBC}\] và \[AD = 5cm,\,AB = 3cm,\,BC = 9cm\]
Tính diện tích hình thang ABCD, biết diện tích tam giác ABD bằng 5cm2
Xem đáp án
Kẻ DH vuông góc với AB tại H
Theo giả thiết: \[{S_{ABD}} = 5 \Rightarrow \frac{1}{2}DH.AB = 5 \Rightarrow DH = \frac{{10}}{3}cm\].
Từ đó: \[{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}DH(AB + CD) = \frac{1}{2}.\frac{{10}}{3}(3 + 9,72) = \frac{{106}}{5}c{m^2}\]
Câu 6:
Cho \[DE\parallel BC\], D là một điểm trên cạnh AB, E là một điểm trên cạnh AC sao cho \[DE\parallel BC\]. Xác định vị trí của điểm D sao cho chu vi tam giác ADE bằng \[\frac{2}{5}\] chu vi tam giác ABC. Tính chu vi của hai tam giác đó, biết tổng 2 chu vi bằng 63cm.
Xem đáp án
Do \[DE\parallel BC\] nên dễ dàng chứng minh được \[\Delta ADE\~\Delta ABC\] (g.g) với tỉ số đồng dạng \[k = \frac{{AD}}{{AB}}\].
Khi đó \[AD = kAB,\,AE = kAC\] và \[DE = kBC\] nên \[C{V_{\Delta ADE}} = k.C{V_{\Delta ABC}}\] (1).
Theo giả thiết chu vi tam giác ADE bằng \[\frac{2}{5}\] chu vi tam giác ABC suy ra \[k = \frac{2}{5}\].
Vậy \[AD = \frac{2}{5}AB\].
Từ (1) suy ra \[\frac{{C{V_{\Delta ADE}}}}{k} = \frac{{C{V_{\Delta ABC}}}}{1} = \frac{{C{V_{\Delta ADE}} + C{V_{\Delta ABC}}}}{{1 + k}} = \frac{{63}}{{1 + \frac{2}{5}}} = 45\]
\[ \Rightarrow C{V_{\Delta ADE}} = 18cm,\,\,C{V_{\Delta ABC}} = 45cm\]
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E.
Chứng minh \(\Delta DEC \sim \Delta ABC\)
Xem đáp án
Xét tam giác \(\Delta DEC\) và \(\Delta ABC\) có: \(\widehat C\) chung; \(\widehat {CDE} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) nên \(\Delta DEC\~\Delta ABC\) (g.g)
Câu 8:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường phân giác của góc A cắt cạnh huyền BC tại D. Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC và cắt AC tại E.
Chứng minh \(DE = DB\)
Xem đáp án
Do \(\Delta DEC\~\Delta ABC\) nên \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{AC}}\) (1)
Mặt khác, AD là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên theo tính chất đường phân giác ta có: \(\frac{{CD}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{AB}}\) (2)
Từ (1), (2) suy ra \(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{BD}}{{AB}}\) hay \(DE = BD\)
Câu 9:
Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH của tam giác.
Kẻ \(HM \bot AB\) và \(HN \bot AC\). Chứng minh \(AM.AB = AN.AC\)
Xem đáp án
Xét \(\Delta AHM\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {MAH}\) chung; \(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \Delta AHM\~\Delta AHB\) (g.g) \( \Rightarrow \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = AM.AB\) (1)
Xét \(\Delta AHN\) và \(\Delta ABH\) có: \(\widehat {NAH}\) chung; \(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
\( \Rightarrow \Delta AHN\~\Delta ACH\)\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AH}} \Rightarrow A{H^2} = AN.AC\] (2)
Từ (1), (2) suy ra: \[AM.AB = AN.AC\]
Câu 10:
Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy các điểm D và E trên AB, AC sao cho \[\widehat {DME} = \widehat B\]
Chứng minh rằng không đổi
Xem đáp án
Do \[\Delta BDM\~\Delta CME\] (câu a) nên \[\,\frac{{BD}}{{CM}} = \frac{{BM}}{{CE}} \Rightarrow BD.CE = CM.BM = \frac{{B{C^2}}}{4}\] không đổi
Câu 11:
Cho tam giác ABC có \[AB = 18cm,\,AC = 24cm,\,BC = 30cm\]. Gọi M là trung điểm của BC. Qua M kẻ đường vuông góc với BC cắt AB, AC lần lượt ở D, E.
Tính độ dài các cạnh \[\Delta MDC\]
Xem đáp án
Do \[\Delta ABC\~\Delta MDC\] nên
\[\frac{{MD}}{{AB}} = \frac{{MC}}{{AC}} = \frac{{CD}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{MD}}{{18}} = \frac{{15}}{{24}} = \frac{{CD}}{{30}}\]
\[ \Rightarrow MD = 11,25cm;\,\,CD = 18,75cm\]
Câu 12:
Cho tứ giác ABCD có diện tích 36 cm2, trong đó diện tích \[\Delta ABC\] là 11 cm2. Qua điểm B kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD ở M, cắt CD ở N. Tính diện tích \[\Delta MND\].
Xem đáp án
Ta có:
\[{S_{\Delta ADC}} = {S_{ABCD}} - {S_{\Delta ABC}} = 25c{m^2}\]
Dễ dàng chứng minh được \[\Delta DAC\~\Delta DMN\]
Suy ra
\[\frac{{{S_{\Delta ADC}}}}{{{S_{\Delta DMN}}}} = {\left( {\frac{{AC}}{{MN}}} \right)^2} = {k^2}\]
Kẻ \[AH \bot MN\]
Đặt \[{S_{\Delta DMN}} = S,\,\,{S_{\Delta ADC}} = {S_1},\,{S_{ACNM}} = {S_2}\] thì ta có:
\[{S_1} = {k^2}S \Rightarrow S = \frac{{{S_1}}}{{{k^2}}} = \frac{{25}}{{{k^2}}}\]
\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.AC\]
\[{S_2} = {S_{\Delta AMB}} + {S_{\Delta BCN}} + {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AH.MB + \frac{1}{2}AH.NB + \frac{1}{2}AH.AC\]
\[ = \frac{1}{2}AH(MN + AC) = \frac{1}{2}AH.\left( {\frac{{AC}}{k} + AC} \right) = \frac{{k + 1}}{k}{S_{\Delta ABC}}\]
\[ \Rightarrow {S_2} = \frac{{11(k + 1)}}{k}\]
Mặt khác \[S = {S_1} + {S_2} \Rightarrow \frac{{25}}{{{k^2}}} = 25 + \frac{{11(k + 1)}}{k} \Leftrightarrow 25{k^2} + 11k(k + 1) - 25 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{25}}{{36}}\]
Vậy \[S = 51,84c{m^2}\]
Câu 13:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH \[(H \in BC)\]. Kẻ tại D, \[HE \bot AC\] tại E.
Chứng minh \[AE.AC = AD.AB\]
Xem đáp án
Do \[\Delta AHB\~\Delta ADH\] nên
\[\frac{{AH}}{{AD}} = \frac{{AB}}{{AH}} \Rightarrow AB.AD = A{H^2}\]
Do \[\Delta AHC\~\Delta AEH\] nên \[\frac{{AH}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AH}} \Rightarrow AE.AC = A{H^2}\]
Từ đó suy ra \[AE.AC = AB.AD\]
Câu 14:
Cho tam giác ABC, AD là tia phân giác của góc A; \[AB < AC\]. Trên tia đối của tia DA lấy điểm I sao cho \[\widehat {ACI} = \widehat {BDA}\]. Chứng minh rằng
\[A{D^2} = AB.AC - BD.CD\]
Xem đáp án
Do \[\Delta ADB\~\Delta ACI\] nên \[\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AI}} \Rightarrow AB.AC = AD.AI\]
Do \[\Delta ADB\~\Delta CDI\] nên \[\frac{{AD}}{{CD}} = \frac{{DB}}{{DI}} \Rightarrow BD.CD = AD.DI\]
Do đó \[AB.AC - BD.CD = AD.AI - AD.DI = A{D^2}\] (đpcm)
Câu 15:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
Chứng minh rằng \[AE.AC = AF.AB\]
Xem đáp án
Xét \[\Delta ACF\] và \[\Delta ABE\] có: \[\widehat {BAC}\] chung; \[\widehat {AEB} = \widehat {AFC} = 90^\circ \] nên \[\Delta ACF\~\Delta ABE\] (g.g)
Do đó, ta có: \[\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AE}}\] hay \[AC.AE = AB.AF\]
Câu 16:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
Chứng minh rằng \[HA.HD = HB.HE = HC.HF\]
Xem đáp án
Do \[\frac{{HF}}{{HB}} = \frac{{HE}}{{HC}}\] nên \[HB.HE = HC.HF\]. Chứng minh tương tự ta cũng có: \[HB.HE = HA.HD\]
Từ đó ta được điều phải chứng minh.
Câu 17:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H.
Chứng minh rằng \[B{C^2} = BH.BE + CH.CF\]
Xem đáp án
Xét \[\Delta BHD\] và \[\Delta BCE\] có: \[\widehat {CBE}\] chung; \[\widehat {BDH} = \widehat {BEC} = 90^\circ \] nên \[\Delta BHD\~\Delta BCE\] (g.g)
Từ đó suy ra \[\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{BD}}{{BE}}\] hay \[BH.BE = BC.BD\]
Chứng minh tương tự ta cũng có: \[CH.CF = CD.CB\]
Do đó \[BH.BE + CH.CF = BC.BD + CD.BC = BC(CD + CD) = B{C^2}\] (đpcm)
Câu 18:
Cho hình bình hành ABCD, trên tia đối của tia DA lấy điểm M sao cho \[DM = AB\], trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao cho \[BN = AD\]. Chứng minh:
\[\Delta CBN\] và \[\Delta CDM\] cân Xem đáp án
ABCD là hình bình hành nên \[AB = CD\], mà \[AB = DM\] (giả thiết) nên \[CD = CM\]
Do đó tam giác CDM cân tại D
Chứng minh tương tự ta có tam giác CBN cân tại B.
Câu 19:
Cho hình thoi ABCD có \[\widehat A = 60^\circ \]. Qua C kẻ đường thẳng d không cắt hình thoi nhưng cắt đường thẳng AB tại E và cắt đường thẳng AD tại F.
Chứng minh \[BE.DF = D{B^2}\]
Xem đáp án
Do \[BE\parallel DC\] nên \[\widehat {BEC} = \widehat {DCF}\]
Do \[BC\parallel DF\] nên \[\widehat {BCE} = \widehat {DFC} \Rightarrow \Delta BCE\~\Delta DFC\]
Suy ra \[\frac{{BE}}{{DC}} = \frac{{BC}}{{DF}}\] hay \[BE.DF = CD.BC\]
Mặt khác \[\widehat A = 60^\circ \Rightarrow \widehat C = 60^\circ \Rightarrow \Delta BCD\] đều
Do đó \[BE.DF = CD.BC = BD.BD = B{D^2}\] (đpcm)
Vậy \[BE.DF = B{D^2}\]
Câu 20:
Cho tam giác ABC vuông tại A có \[AB = 20cm,\,\,BC = 25cm\]. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB.
Tính AC
Xem đáp án
Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông ABC ta có:
\[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {25^2} - {20^2} \Rightarrow AC = 15\]
Câu 21:
Cho tam giác ABC vuông tại A có \[AB = 20cm,\,\,BC = 25cm\]. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB.
Chứng minh \[AC.AD = AM.AB\]
Xem đáp án
Do \[\Delta AMC\~\Delta HMB\] nên \[\widehat {MBH} = \widehat {ACM}\]
Xét \[\Delta ACM\] và \[\Delta ABD\] có: \[\widehat {CAM} = \widehat {BAD} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ACM} = \widehat {ABD}\]
Nên \[\Delta ACM\~\Delta ABD\] (g.g)
Suy ra \[\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AD}}\] hay \[AC.AD = AM.AB\]
Câu 22:
Cho tam giác ABC vuông tại A có \[AB = 20cm,\,\,BC = 25cm\]. Gọi M là điểm thuộc cạnh AB.
Chứng minh \[DM \bot BC\]
Xem đáp án
Tam giác CBD có hai đường cao CH, BA cắt nhau tại M nên DM là đường cao và do đó \[DM \bot BC\]
Câu 23:
Cho tam giác ABC vuông tại B. Đường phân giác AD. Biết \[AB = 6cm,\,\,AC = 10cm\].
Tính BD và CD
Xem đáp án
Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta tính được \[BC = 8\]
Theo tính chất đường phân giác và tính chất của dãy tỉ lệ thức bằng nhau ta có:
\[\frac{{BD}}{{AB}} = \frac{{CD}}{{AC}} = \frac{{BD + CD}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} = \frac{8}{{16}}\]
Từ đó ta tính được \[BD = 3,\,\,CD = 5\]
Câu 24:
Cho tam giác ABC vuông tại B. Đường phân giác AD. Biết \[AB = 6cm,\,\,AC = 10cm\].
Chứng minh \[AK\parallel DF\]
Xem đáp án
\[\Delta AFK\] có AE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác nên cân tại A và E là trung điểm của FK (1)
\[ \Rightarrow \widehat {AFK} = \widehat {AKF}\]. Mà \[\widehat {AFK} = \widehat {DKF}\,\,(AB\parallel DK)\] nên suy ra \[\widehat {AKF} = \widehat {DKF}\]
\[ \Rightarrow \Delta AKD\] cân tại K và E là trung điểm của AD (2)
Từ (1) và (2), suy ra tứ giác AKDF có hai đường chéo AD và FK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên AKDF là hình bình hành.
Do vậy \[AK\parallel DF\]
Câu 25:
Cho tam giác ABC vuông tại B. Đường phân giác AD. Biết \[AB = 6cm,\,\,AC = 10cm\].
Chứng minh \[\Delta CHA\] vuông tại A
Xem đáp án
Xét tam giác AHD có HE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên tam giác AHD cân và \[\widehat {AHE} = \widehat {DHE}\]
Xét \[\Delta AHK\] và \[\Delta DHK\] có: \[\widehat {AHE} = \widehat {DHE}\]; cạnh HK chung; \[\widehat {AKH} = \widehat {DKH}\] nên \[\Delta AHK = \Delta DHK\] (g.c.g). Từ đó suy ra \[\widehat {HAK} = \widehat {HDK} = 90^\circ \]
Vậy \[\Delta AHC\] vuông tại A.
Câu 26:
Cho tam giác ABC vuông tại B. Đường phân giác AD. Biết \[AB = 6cm,\,\,AC = 10cm\].
Chứng minh \[\frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{KD}}{{BF}}\]
Xem đáp án
Xét \[\Delta ABH\] và \[\Delta CAH\] có: \[\widehat {ABH} = \widehat {CAH} = 90^\circ ;\,\,\widehat {AHB}\] chung nên \[\Delta ABH\~\Delta CAH\] (g.g)
\[ \Rightarrow \frac{{AH}}{{HC}} = \frac{{BH}}{{AH}} \Rightarrow \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HD}}{{BH}} = \frac{{DK}}{{BF}}\]
Vậy \[\frac{{CH}}{{AH}} = \frac{{KD}}{{BF}}\]
Câu 27:
Cho tam giác ABC vuông ở A, điểm M thuộc cạnh AC. Kẻ MD vuông góc với BC tại D. Gọi E là giao điểm của AB và MD.
Chứng minh rằng \[MA.MC = MD.ME\]
Xem đáp án
Xét \[\Delta MAE\] và \[\Delta MDC\] có: \[\widehat {MAE} = \widehat {MDC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {AME} = \widehat {DMC}\] (đối đỉnh) nên \[\Delta MAE\~\Delta MDC\] (g.g)
Từ đó suy ra \[\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{ME}}{{MC}}\] hay \[MA.MC = MD.ME\]
Câu 28:
Cho tam giác ABC vuông ở A, điểm M thuộc cạnh AC. Kẻ MD vuông góc với BC tại D. Gọi E là giao điểm của AB và MD.
Chứng minh rằng \[AB.AE = AM.AC\]
Xem đáp án
Do \[\Delta MAD\~\Delta MEC\] nên \[\widehat E = \widehat C\]
Xét \[\Delta AME\] và \[\Delta ABC\] có: \[\widehat E = \widehat C;\,\,\widehat {BAC} = \widehat {EAM} = 90^\circ \] nên \[\Delta AME\~\Delta ABC\] (g.g)
Suy ra \[\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AE}}{{AC}}\] hay \[AB.AE = AM.AC\].