7 câu hỏi trắc nghiệm thuộc Dạng 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm có đáp án

Bài tập Toán 9 Chủ đề 8: Bất đẳng thức có đáp án

Dạng 3: Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm có đáp án

831 lượt thi
7 câu hỏi
50 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ .. Tìm GTNN của $A = a + b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}$

Xem đáp án

$A = (4 a + 4 b + \frac{1}{a} + \frac{1}{b}) - 3 a - 3 b \geq 4 \sqrt[4]{4 a ..4 b . \frac{1}{a} . \frac{1}{b}} - 3 (a + b) \geq 8 - 3 = 5$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$ . Vậy GTNN của A là 5

Câu 2:

Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa $a + b + c \leq \frac{3}{2}$ .

Tìm GTNN của $A = a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = (a^{2} + b^{2} + c^{2} + \frac{1}{8 a} + \frac{1}{8 b} + \frac{1}{8 c} + \frac{1}{8 a} + \frac{1}{8 b} + \frac{1}{8 c}) + \frac{3}{4 a} + \frac{3}{4 b} + \frac{3}{4 c} \\ \geq 9 \sqrt[9]{a^{2} . b^{2} . c^{2} . \frac{1}{8 a} . \frac{1}{8 b} . \frac{1}{8 c} . \frac{1}{8 a} . \frac{1}{8 b} . \frac{1}{8 c}} + \frac{3}{4} (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) \\ \geq \frac{9}{4} + 9. \frac{1}{\sqrt[3]{a b c}} \geq \frac{9}{4} + \frac{9}{4} . \frac{1}{\frac{a + b + c}{3}} \geq \frac{9}{4} + \frac{9}{4} .2 = \frac{27}{4} \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là $\frac{27}{4}$

Câu 3:

Cho 2 số thực dương a, b. Tìm GTNN của $A = \frac{a + b}{\sqrt{a b}} + \frac{\sqrt{a b}}{a + b}$

Xem đáp án

$A = (\frac{a + b}{4 \sqrt{a b}} + \frac{\sqrt{a b}}{a + b}) + \frac{3 (a + b)}{4 \sqrt{a b}} \geq 2 \sqrt{\frac{a + b}{4 \sqrt{a b}} . \frac{\sqrt{a b}}{a + b}} + \frac{3.2 \sqrt{a b}}{4 \sqrt{a b}} = 1 + \frac{3}{2} = \frac{5}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b$

Vậy GTNN của A là $\frac{5}{2}$

Câu 4:

Cho 3 số thực dương a, b, c.

Tìm GTNN của $A = \frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c}$

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = (\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} + \frac{b + c}{4 a} + \frac{c + a}{4 b} + \frac{a + b}{4 c}) + \frac{3}{4} (\frac{b + c}{a} + \frac{c + a}{b} + \frac{a + b}{c}) \\ \geq 6 \sqrt[6]{\frac{a}{b + c} . \frac{b}{c + a} . \frac{c}{a + b} . \frac{b + c}{4 a} . \frac{c + a}{4 b} . \frac{a + b}{4 c}} + \frac{3}{4} (\frac{b}{a} + \frac{c}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{c}) \end{matrix}$

$\geq 3 + \frac{3}{4} .6. \sqrt[6]{\frac{b}{a} . \frac{c}{a} . \frac{c}{b} . \frac{a}{b} . \frac{a}{c} . \frac{b}{c}} = 3 + \frac{9}{2} = \frac{15}{2}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow a = b = c$

Vậy GTNN của A là $\frac{15}{2}$

Câu 5:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ .

Tìm GTNN của :

A = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}

Xem đáp án

$A = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b} \geq 2 \sqrt{\frac{1}{(a^{2} + b^{2}) 2 a b}} \geq 2. \frac{1}{\frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{2}} = \frac{4}{{(a + b)}^{2}} \geq 4$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 2 a b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là 4

Câu 6:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa

a + b \leq 1

. Tìm GTNN của

A = \frac{1}{1 + a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b}

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = \frac{1}{1 + a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{6 a b} + \frac{1}{3 a b} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{1}{(1 + a^{2} + b^{2}) 6 a b}} + \frac{1}{3 a b} \\ \geq 2. \frac{1}{\frac{1 + a^{2} + b^{2} + 6 a b}{2}} + \frac{1}{3 a b} = \frac{4}{{(a + b)}^{2} + 1 + 4 a b} + \frac{1}{3 a b} \end{matrix}$

$\geq \frac{4}{{(a + b)}^{2} + 1 + 4 {(\frac{a + b}{2})}^{2}} + \frac{1}{3 {(\frac{a + b}{2})}^{2}} (Do a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2})$

$\geq \frac{4}{2 {(a + b)}^{2} + 1} + \frac{4}{3 {(a + b)}^{2}}$

$\geq \frac{4}{2.1 + 1} + \frac{4}{3.1} = \frac{8}{3}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 1 + a^{2} + b^{2} = 6 a b \\ a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là $\frac{8}{3}$

Câu 7:

Cho 2 số thực dương a, b thỏa $a + b \leq 1$ . Tìm GTNN của $A = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{a b} + 4 a b$

Xem đáp án

$\begin{matrix} A = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2 a b} + 4 a b + \frac{1}{4 a b} + \frac{1}{4 a b} \\ \geq 2 \sqrt{\frac{1}{(a^{2} + b^{2}) 2 a b}} + 2 \sqrt{4 a b . \frac{1}{4 a b}} + \frac{1}{4 a b} \\ \geq 2. \frac{1}{\frac{a^{2} + b^{2} + 2 a b}{2}} + 2 + \frac{1}{4 a b} = \frac{4}{{(a + b)}^{2}} + 2 + \frac{1}{4 a b} \end{matrix}$

$\geq \frac{4}{{(a + b)}^{2}} + 2 + \frac{1}{4 {(\frac{a + b}{2})}^{2}} (Do a b \leq {(\frac{a + b}{2})}^{2})$

$\begin{matrix} \geq \frac{5}{{(a + b)}^{2}} + 2 \\ \geq \frac{5}{1} + 2 = 7 \end{matrix}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \{\begin{cases} a^{2} + b^{2} = 2 a b \\ 4 a b = \frac{1}{4 a b} \\ a = b \\ a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}$

Vậy GTNN của A là 7

Bắt đầu thi ngay