1) Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}x - \sqrt x  \ne 0\\\sqrt x  - 1 \ne 0\\x \ge 0\\\sqrt x  + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 1\\x \ge 0\\\sqrt x  \ne  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < x \ne 1\)

Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}}} \right).\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{1}{{x - \sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}}\)

\( = \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x  + 1}} = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\)

Vậy \(P = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\).

Cách 2: Đặt \(a = \sqrt x \) \(\left( {a \ge 0} \right)\)

Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{{a^2} - a}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right):\frac{{a + 1}}{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}} = \left[ {\frac{1}{{a\left( {a - 1} \right)}} + \frac{1}{{a - 1}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{{1 + a}}{{a\left( {a - 1} \right)}}} \right].\frac{{{{\left( {a - 1} \right)}^2}}}{{a + 1}} = \frac{{a - 1}}{a} = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }}\).

Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.                           

2) Với \(P = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} = \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {\sqrt x  - 1} \right) = \sqrt x  \Leftrightarrow 2\sqrt x  = 3 \Leftrightarrow x = \frac{9}{4}\) (thõa mãn).

Nhận xét: Bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị cho trước.

3) Ta có \(Q = P - 9\sqrt x  = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x }} - 9\sqrt x  = 1 - \left( {\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x } \right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm \(\frac{1}{{\sqrt x }}\) và \(9\sqrt x \), tạ có:

\(\frac{1}{{\sqrt x }} + 9\sqrt x  \ge 2\sqrt {\frac{1}{{\sqrt x }}.9\sqrt x }  = 2\sqrt 9  = 6\).

\( \Rightarrow Q \le 1 - 6 =  - 5\)

Dấu " = " xảy ra khi \(\frac{1}{{\sqrt x }} = 9\sqrt x  \Leftrightarrow 1 = 9x \Leftrightarrow x = \frac{1}{9}\)

Vậy \(\max P =  - 5\) khi \(x = \frac{1}{9}\).

Nhận xét: Bài toán tìm cực trị của biểu thức.

Gọi độ dài AM là x (cm), \(0 < x < 8\).

Theo định lý Ta-lét trong tam giác ABC với \(MN//BC\) ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} \Leftrightarrow \frac{x}{8} = \frac{{AN}}{6} \Leftrightarrow AN = \frac{3}{4}x\left( {cm} \right)\)

\( \Rightarrow NC = AC - AN = 6 - \frac{3}{4}x\left( {cm} \right)\).

Diện tích hình bình hành \(MNCD\) là:

\({S_{MNCD}} = AM.NC = x\left( {6 - \frac{3}{4}x} \right)\left( {c{m^2}} \right)\)

Diện tích tam giác ABC là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.6.8 = 24\left( {c{m^2}} \right)\)

Theo bài ra, diện tích của hình bình hành MNCD bằng \(\frac{3}{8}\) diện tích của tam giác ABC, nên ta có phương trình \(x\left( {6 - \frac{3}{4}x} \right) = \frac{3}{8}.24\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy điểm M cách A là 2 cm hoặc 6 cm.

2)

a) Do đồ thị hàm số (1) đi qua điểm \(A\left( {1;4} \right)\) nên ta có phương trình \(4 = m.1 + 1 \Leftrightarrow m = 3\) .

Với \(m = 3\) hàm số (1) có dạng \(y = 3x + 1\)

Vì \(3 > 0\) nên hàm số (1) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

b) Phương trình đường thẳng \[\left( d \right)\] là: \(y =  - x - 3\).

Để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng \[\left( d \right)\] thì \(\left[ \begin{array}{l}m =  - 1\\1 \ne  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\)

1) Hệ phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\z - 3\left( {2 + z} \right) - 2\left( {2 + 3z} \right) + z = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + z\\y = 2 + 3z\\ - 8z - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\\z =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm: \(\left( {x;y;z} \right) = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

2) Phương trình tương đương với: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 2 \ge 0\\2{x^2} + 3x - 5 = {\left( {2x - 2} \right)^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} + 3x - 5 = 4{x^2} - 8x + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2{x^2} - 11x + 9 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 9} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{9}{2}\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm: \(x = 1;x = \frac{9}{2}\).

3)

+ Xét \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\), phương trình trở thành: \( - 6x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{3}\)

Do đó \(m = 1\) thỏa mãn.

+ Xét \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) (*).

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì \(\Delta ' = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {m + 2} \right)} \right]^2} - \left( {m - 1} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4m + 5 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{5}{4}\)  (thỏa mãn điều kiện (*))

Kết luận: \(m = 1\) hoặc \(m =  - \frac{5}{4}\).

 

1) Ta có \(\widehat {AIM} = \widehat {AKM} = 90^\circ \left( {gt} \right)\), suy ra tứ giác AIMK nội tiếp đường tròn đường kính AM.

Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh hai đỉnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới góc \(90^\circ \).

2) Tứ giác CPMK có \(\widehat {MPC} = \widehat {MKC} = 90^\circ \) (gt). Do đó CPMK là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MCK}\)(1). Vì KC là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) nên ta có: \(\widehat {MCK} = \widehat {MBC}\) (cùng chắn ) (2).

Từ (l), (2) \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MBC}\) (3).

Nhận xét: Bài toán chứng minh hai góc bằng nhau bằng cách sử dụng tính chất bắc cầu.         

3) Chứng minh tương tự câu b ta có BPMI là tứ giác nội tiếp.

Suy ra: \(\widehat {MIP} = \widehat {MBP}\) (4). Từ (3) (4) \( \Rightarrow \widehat {MPK} = \widehat {MIP}\)

Tương tự ta chứng minh được \(\widehat {MKP} = \widehat {MPI}\).

Suy ra: \(\Delta MPK\) đồng dạng với \(\Delta MIP\)

\( \Rightarrow \frac{{MP}}{{MK}} = \frac{{MI}}{{MP}} \Rightarrow MI.MK = M{P^2} \Rightarrow MI.MK.MP = M{P^3}\)

Do đó \(MI.MK.MP\) lớn nhất khi và chỉ khi MP lớn nhất.

Gọi H là hình chiếu của O trên BC, suy ra OH là hằng số (do BC cố định).

Lại có: \(MP + OH \le OM = R \Rightarrow MP \le R - OH\). Do đó MP lớn nhất bằng \(R - OH\) khi và chỉ khi \(O,H,M\) thẳng hàng hay M nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Suy ra \(max\,MI.MK.MP = {\left( {R - OH} \right)^3} \Leftrightarrow M\) nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Phương trình có hai nghiệm là \(x =  - 1\) và \(x = 1\), thay vào phương trình ta được hệ

 \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 + a - b + c = 0\\1 + a + b + c = 0\end{array} \right.\)

Trừ hai phương trình trên, ta được: \( - 2 - 2b = 0 \Leftrightarrow b =  - 1\)

Cộng hai phương trình trên, ta được: \(a + c = 0 \Leftrightarrow c =  - a\)

Phương trình trở thành: \[{x^3} + a{x^2} - x - a = 0\]

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + a} \right) - \left( {x + a} \right) \Leftrightarrow \left( {x + a} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\)

Theo giải thiết, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ { - 1;1} \right\}\), khi đó phương trình \(x + a = 0\) phải có nghiệm là \( - 1\) hoặc 1, suy ra. \(a = 1\) hoặc \(a =  - 1\).

Vậy các số a; b; c cần tìm là \(a = 1;b =  - 1;c =  - 1\) hoặc \(a =  - 1;b =  - 1;c = 1\).