Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y – x trên miền xác định bởi hệ $\left\{\begin{array}{c}2x+y\le 2\\ x-y\le 2\\ 5x+y\ge -4\end{array}\right.$ là

Đáp án đúng là: C

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}2x+y\le 2\\ x-y\le 2\\ 5x+y\ge -4\end{array}\right.$ trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Ta vẽ đường thẳng d₁: 2x + y = 2, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 2x + y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₁ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

Ta vẽ đường thẳng d₂: x - y = 2, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; - 2) và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 - 0 = 0 < 2, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình x - y ≤ 2, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₁ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

Ta vẽ đường thẳng d₃: 5x + y = - 4, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; -4) và $\left(-\frac{4}{5};0\right)$

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 5.0 + 0 = 0 > - 4, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 5x + y ≥ - 4, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₁ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Giá trị nhỏ nhất của biết thức F = y – x chỉ đạt được tại các điểm A(- 2; 6),$B\left(\frac{-1}{3};\frac{-7}{3}\right)$;$C\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right)$

Ta có:

F(x; y) = y – x suy ra F(- 2; 6) = 6 – (– 2) = 8,

F(x; y) = y – x suy ra F$\left(\frac{-1}{3};\frac{-7}{3}\right)$= $-\frac{7}{3}-(-\frac{1}{3})=-2$,

F(x; y) = y – x suy ra F$\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right)$= $-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất biểu thức F = y – x = – 2.