Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} = 4\]là:
A.1
B.2
C.3
D.
Giải bởi Vietjack
Điều kiện : \[x \ne 0\]
Với x<0 ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{{4x}} < 0}\\{\frac{x}{4} + \frac{1}{x} < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} < 1}\\{{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 1}\end{array}} \right. \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} < 2\)
⇒ Phương trình không có nghiệm x<0
Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta được.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + \frac{1}{{4x}} \ge 2\sqrt {x.\frac{1}{{4x}}} = 1}\\{\frac{x}{4} + \frac{1}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{4}.\frac{1}{x}} = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} \ge 2}\\{{2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 2}\end{array}} \right. \Rightarrow {2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} \ge 4\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{1}{{4x}}}\\{\frac{x}{4} = \frac{1}{x}}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4{x^2} = 1}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} = \frac{1}{4}}\\{{x^2} = 4}\end{array}} \right.\)(không xảy ra)
Vậy \[{2^{x + \frac{1}{{4x}}}} + {2^{\frac{x}{4} + \frac{1}{x}}} > 4\]nên phương trình vô nghiệm
Đáp án cần chọn là: D
Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]
Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng
Tìm tích các nghiệm của phương trình \[{(\sqrt 2 - 1)^x} + {(\sqrt 2 + 1)^x} - 2\sqrt 2 = 0\]
Tìm giá trị của a để phương trình \[{(2 + \sqrt 3 )^x} + (1 - a){(2 - \sqrt 3 )^x} - 4 = 0\;\]có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:\[{x_1} - {x_2} = lo{g_{2 + \sqrt 3 }}3\], ta có a thuộc khoảng:
Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \[{2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2}\].
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: \[{9^{1 - x}} + 2(m - 1){3^{1 - x}} + 1 = 0\]
Biết phương trình \[{9^x} - {2^{x + \frac{1}{2}}} = {2^{x + \frac{3}{2}}} - {3^{2x - 1}}\]có nghiệm là a. Tính giá trị của biểu thức \[P = a + \frac{1}{2}lo{g_{\frac{9}{2}}}2\;\].
Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất \[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\].
Tìm nghiệm của phương trình \[{9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}\]
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình\[{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\]
Tìm m để phương trình \[{4^x} - \;{2^{x\; + \;3}} + \;3\; = \;m\;\] có đúng 2 nghiệm \[x \in \left( {1;3} \right)\;\].
Tìm các giá trị m để phương trình \[{2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3\;}}\]luôn thỏa, \[\forall x \in R\].
Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình \[{4^{{x^2} - 2x + 1}} - m{.2^{{x^2} - 2x + 2}} + 3m - 2 = 0\;\]có 4 nghiệm phân biệt.
