Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101
Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \[x \in (\frac{1}{3};3)\;\] thỏa mãn \[27{\,^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{9x}}\]?
A.27
B.9
C.11
D.12
Giải bởi Vietjack
* pt \[ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 9x}} = xy + 1\]
\[ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \frac{1}{x}khix \in \left( {\frac{1}{3};3} \right) \Rightarrow y > - 3\] thì mới tồn tại\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]
⇒ Ta chặn được\[y > - 3 \Rightarrow y \ge - 2\]
\[*pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1 = 0\]
Đặt \[f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 9x}} - xy - 1\] ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f(\frac{1}{3}) = {3^{y - 8}} - \frac{y}{3} - 1}\\{f(3) = {{27}^{3y}} - 3y - 1}\end{array}} \right.\)
Nhận thấy ngay\[f\left( 3 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\] chỉ bằng 0 tại y=0
+ Xét y=0⇒ thay vào phương trình ban đầu ⇒\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 3}\end{array}} \right.\) loại vì không có nghiệm thuộc \[\left( {\frac{1}{3};3} \right)\]
+ Xét\[y \ne 0 \Rightarrow f\left( 3 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^ * }\]
1) Ta Table khảo sát\[f\left( {\frac{1}{3}} \right)\] với\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{Start:y = - 2}\\{End:y = 17}\\{Step: = 1}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]
\[ \Rightarrow f\left( {\frac{1}{3}} \right).f\left( 3 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;9} \right\}\]
⇒ Có 11 giá trị của yy để tồn tại nghiệm
2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi\[y \ge 10\] thì \[f\left( {\frac{1}{3}} \right) > 0\] và đồng biến.
Ta đi chứng minh khi \[y \ge 10\] thì phương trình vô nghiệm.
\[g\prime (y) = x({27^{3{x^2} + x(y - 9)}}.ln27 - 1) > 0\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\forall y \ge 10}\\{x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)}\end{array}} \right.\]
\[ \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {10} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 10x - 1 = h\left( x \right)\]
Ta có\[h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 10 > 0\,\,\forall x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]
\[ \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\frac{1}{3}} \right) = \frac{{14}}{3} > 0\]
⇒ Phương trình vô nghiệm với\[x \in \left( {\frac{1}{3};3} \right)\]Vậy đáp số có 11 giá trị nguyên của yy.
Đáp án cần chọn là: C
Tìm nghiệm của phương trình \[\frac{{{3^{2x - 6}}}}{{27}} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^x}.\]
Cho \[{4^x} + {4^{ - x}} = 7\]. Khi đó biểu thức \[P = \frac{{5 - {2^x} - {2^{ - x}}}}{{8 + {{4.2}^x} + {{4.2}^{ - x}}}} = \frac{a}{b}\] với \[\frac{a}{b}\] tối giản và \[a,b \in \mathbb{Z}\]. Tích a.b có giá trị bằng
Tìm tích các nghiệm của phương trình \[{(\sqrt 2 - 1)^x} + {(\sqrt 2 + 1)^x} - 2\sqrt 2 = 0\]
Tìm giá trị của a để phương trình \[{(2 + \sqrt 3 )^x} + (1 - a){(2 - \sqrt 3 )^x} - 4 = 0\;\]có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn:\[{x_1} - {x_2} = lo{g_{2 + \sqrt 3 }}3\], ta có a thuộc khoảng:
Tìm tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình \[{2^{{x^2} + x - 1}} = \frac{1}{2}\].
Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt: \[{9^{1 - x}} + 2(m - 1){3^{1 - x}} + 1 = 0\]
Biết phương trình \[{9^x} - {2^{x + \frac{1}{2}}} = {2^{x + \frac{3}{2}}} - {3^{2x - 1}}\]có nghiệm là a. Tính giá trị của biểu thức \[P = a + \frac{1}{2}lo{g_{\frac{9}{2}}}2\;\].
Tìm tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất \[1 + \left[ {2{x^2} - m\left( {m + 1} \right)x - 2} \right]{.2^{1 + mx - {x^2}}} = \left( {{x^2} - mx - 1} \right){.2^{mx\left( {1 - m} \right)}} + {x^2} - {m^2}x\].
Tìm nghiệm của phương trình \[{9^{\sqrt {x - 1} }} = {e^{\ln 81}}\]
Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình\[{4.9^x} - {13.6^x} + {9.4^x} = 0\]
Tìm m để phương trình \[{4^x} - \;{2^{x\; + \;3}} + \;3\; = \;m\;\] có đúng 2 nghiệm \[x \in \left( {1;3} \right)\;\].
Tìm các giá trị m để phương trình \[{2^{x + 1}} = m{.2^{x + 2}} - {2^{x + 3\;}}\]luôn thỏa, \[\forall x \in R\].
Tìm tập hợp tất cả các tham số m sao cho phương trình \[{4^{{x^2} - 2x + 1}} - m{.2^{{x^2} - 2x + 2}} + 3m - 2 = 0\;\]có 4 nghiệm phân biệt.
