Cho hàm số \[y = {x^4} - 3{x^2} + m\] có đồ thị là (Cm) (m là tham số thực). Giả sử (Cm) cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt. Gọi \[{S_1},{S_2}\;\] là diện tích của hai hình phẳng nằm dưới trục Ox và S3 là diện tích của hình phẳng nằm trên trục Ox được tạo bởi (Cm) với trục Ox. Biết rằng tồn tại duy nhất giá trị \[m = \frac{a}{b}\] (với \[a,b \in {\mathbb{N}^*}\;\] và tối giản) để \[{S_1} + {S_2} = {S_3}\]. Giá trị của 2a−b bằng:

Xét phương trình hoành độ giao điểm:\[{x^4} - 3{x^2} + m = 0\,\,\,\left( 1 \right)\]

Đặt\[t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\]  khi đó phương trình (1) trở thành\[{t^2} - 3t + m = 0\,\,\,\left( 2 \right)\]

Vì đồ thị hàm số\[y = {x^4} - 3{x^2} + m\] cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt nên phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, do đó phương trình (2) phải có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\Delta > 0}\\{S > 0}\\{P > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9 - 4m > 0}\\{3 > 0(luon\,dung)}\\{m > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{9}{4}\left( * \right)\)

Giả sử phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt\[0 < {t_1} < {t_2}\] áp dụng định lí Vi-ét ta có\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{t_1} + {t_2} = 3}\\{{t_1}{t_2} = m}\end{array}} \right.\) Khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt

\[ - \sqrt {{t_2}} < - \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_1}} < \sqrt {{t_2}} \]

Do tính đối xứng qua trục tung của hàm đa thức bậc bốn trùng phương nên\[{S_1} = {S_2}\] do đó theo bài ra ta có \[{S_1} + {S_2} = {S_3} \Leftrightarrow 2{S_1} = {S_3}\]

Ta có:

\[{S_2} = \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = - \mathop \smallint \limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } f\left( x \right)dx\]

\[{S_3} = \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } \left| {f\left( x \right)} \right|dx = \mathop \smallint \limits_{ - \sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \limits_0^{\sqrt {{t_1}} } f\left( x \right)dx\] (do f(x) là hàm chẵn).

Ta có:

\(\begin{array}{l}2{S_2} = {S_3}\\ \Leftrightarrow - 2\int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} } \\ \Leftrightarrow 2\left( {\int\limits_0^{\sqrt {{t_1}} } {f(x)dx} + \int\limits_{\sqrt {{t_1}} }^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {f(x)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \int\limits_0^{\sqrt {{t_2}} } {({x^4} - 3{x^2} + m)dx = 0} \\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{{x^5}}}{5} - {x^3} + mx} \right)\left| {_0^{\sqrt {{t_2}} }} \right. = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)}^5}}}{5} - {\left( {\sqrt {{t_2}} } \right)^3} + m\sqrt {{t_2}} = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt {{t_2}} \left( {\frac{{{t^2}}}{5} - t + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{t_2}^2}}{5} - {t_2} + m = 0\,\,(Do\,\,{t_2} > 0)\,\\ \Leftrightarrow t_2^2 - 5{t_2} + 5m = 0( * )\end{array}\)

Mà \[{t_2}\] là nghiệm của phương trình\[{t^2} - 3t + m = 0\] nên\[t_2^2 - 3{t_2} + m = 0\] và\[{t_2} = \frac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2}\]

Do đó

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\left( * \right) \Leftrightarrow t_2^2 - 3{t_2} + m - 2{t_2} + 4m = 0}\\{ \Leftrightarrow - 2{t_2} + 4m = 0 \Leftrightarrow {t_2} = 2m}\end{array}\]

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{3 + \sqrt {9 - 4m} }}{2} = 2m\\ \Leftrightarrow 3 + \sqrt {9 - 4m} = 4m\\ \Leftrightarrow \sqrt {9 - 4m} = 4m - 3\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4m - 3 > 0}\\{9 - 4m = 16{m^2} - 24m + 9}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{16{m^2} - 20m = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \frac{3}{4}}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 0}\\{m = \frac{5}{4}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\left( {tm*} \right)\end{array}\)

Vậy \[a = 5,\,\,b = 4 \Rightarrow 2a - b = 10 - 4 = 6.\]

Đáp án cần chọn là: C