Cho tứ diện ABCD có AB = a;AC = BC = AD = BD =\(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi M,N là trung điểm của AB,CD. Góc giữa hai mặt phẳng (ABD);(ABC) là \[\alpha \] . Tính \[cos\alpha \] biết mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với cạnh AD.
A.\[2 - \sqrt 3 \]
B. \[2\sqrt 3 - 3\]
C. \[3 - 2\sqrt 3 \]
D. \[\sqrt 2 - 1\]
Giải bởi Vietjack
Xét các tam giác ACB, ADB lần lượt cân tại C và D nên\[CM \bot AB,DM \bot AB\]
Ta có :\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ABC) \cap (ABD) = AB}\\{CM \bot AB,CM \subset (ABC)}\\{DM \bot AB,DM \subset (ABD)}\end{array}} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {CM;DM} \right)\)
Tam giác ACM vuông tại M nên theo Pitago ta có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{C{M^2} = A{C^2} - A{M^2}}\\{ \Rightarrow CM = \sqrt {A{C^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}\end{array}\]
Tương tự \[DM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Gọi K là hình chiếu của I lên AD ta có :
Mặt cầu đường kính MN tiếp xúc với AD nên \[IK = IM = IN,IK \bot AD\].
Xét tam giác AMI và AKI có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {AMI} = \widehat {AKI} = {{90}^0};}\\{AI\,chung;}\\{IM = IK\left( {cmt} \right);}\end{array}\]
Do đó \[{\rm{\Delta }}AMI = {\rm{\Delta }}AKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)\[ \Rightarrow AK = AM = \frac{a}{2}\] (cạnh tương ứng).
Tương tự : \[{\rm{\Delta }}DNI = {\rm{\Delta }}DKI\] (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow DN = DK = AD - AK = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} - \frac{a}{2} = \frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}}\\{ \Rightarrow DC = 2DN = 2.\frac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2} = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}\end{array}\]
Áp dụng định lý cô sin trong tam giác MCD có :
\[\begin{array}{*{20}{l}}{\cos \widehat {CMD} = \frac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2MC.MD}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \right)}^2}}}{{2.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}}\\{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\sqrt 3 - 3 > 0}\\{ \Rightarrow \cos \alpha = \cos \widehat {CMD} = 2\sqrt 3 - 3}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: B
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, \[SA \bot (ABCD)\;\] và SA = 2a. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy là:
Một thùng rượu vang có dạng hình tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, khoảng cách giữa hai đáy bằng 80(cm). Đường sinh của mặt xung quanh thùng là một phần đường tròn có bán kính 60(cm)(tham khảo hình minh họa bên). Hỏi thùng đó có thể đựng bao nhiêu lít rượu?(làm tròn đến hàng đơn vị)
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA’ = 2a, BC = a. Gọi M là trung điểm BB’. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M.A’B’C’ bằng:
Cho ba hình cầu có bán kính lần lượt là R1,R2,R3 đôi một tiếp xúc nhau và cùng tiếp xúc với mặt phẳng (P). Các tiếp điểm của ba hình cầu với mặt phẳng (P) lập thành một tam giác có độ dài cạnh lần lượt là 2, 3, 4. Tính tổng R1+R2+R3:
Cho hai khối cầu (S1),(S2) có cùng bán kính 2 thỏa mãn tính chất: tâm của (S1) thuộc (S2) và ngược lại. Tính thể tích phần chung V của hai khối cầu tạo bởi (S1) và (S2).
Trục đa giác đáy là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại:
Cho một lập phương có cạnh bằng a. Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương đó
