Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2t}\\{y = t}\\{z = t}\end{array}} \right.\)và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = t'}\\{y = 3 - t'}\\{z = 0}\end{array}} \right.\). Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ là:
A.\[{(x - 2)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\]
B. \[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 2\]
C. \[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
D. \[{(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = 4\]
Giải bởi Vietjack
Lấy\[{\rm{A}} \in {\rm{d}} \Rightarrow {\rm{A}}\left( {2a;a;4} \right)\] và\[B \in d' \Rightarrow B\left( {b;3 - b;0} \right)\].
Ta có:\[\overrightarrow {AB} = \left( {b - 2a;3 - a - b; - 4} \right)\]
AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′ khi và chỉ khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_d}} = 0}\\{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{u_{d'}}} = 0}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2.(b - 2a) + 1.(3 - a - b) + 0.( - 4) = 0}\\{1.(b - 2a) - 1.(3 - a - b) + 0.( - 4) = 0}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5a + b + 3 = 0}\\{ - a + 2b - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 1}\\{b = 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
Suy ra \[{\rm{A}}\left( {2;1;4} \right);B\left( {2;1;0} \right)\] và\[\overrightarrow {AB} = \left( {0;0; - 4} \right)\]
Phương trình mặt cầu có đường kính là đoạn thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng d và d′
Có tâm I là trung điểm của AB và bán kính\[R = \frac{{AB}}{2}\]
Ta có I(2;1;2) và \[R = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2\]
Vậy ta có\[{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} + {(z - 2)^2} = 4\]
Đáp án cần chọn là: C
Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;−2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
Trong không gian Oxyz, cho điểm S(−2;1;−2) nằm trên mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\]. Từ điểm S kẻ ba dây cung SA,SB,SC với mặt cầu (S) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 600. Dây cung AB có độ dài bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 50\]. Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\].
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình x=y=z. Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với Δ là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {R^2}\]. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}\;\]. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \)và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{x}{2} = \frac{{z - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}\;\] và hai mặt phẳng \[(P):x--2y + 2z = 0.(Q):x--2y + 3z - 5 = 0\]. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\], điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\] và đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = z\;\]. Mặt phẳng (P) vuông góc với Δ và tiếp xúc với (S) có phương trình là
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \[3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \[\overrightarrow {OM} \;\] là
