Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng \[(P):2x + 2y - z - 3 = 0\]và mặt cầu \[(S):{(x - 3)^2} + {(y - 2)^2} + {(z - 5)^2} = 36\]. Gọi \[\Delta \] là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của \[\Delta \] là:
A.\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 9t}\\{y = 1 + 9t}\\{z = 3 + 8t}\end{array}} \right.\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 5t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + 4t}\\{y = 1 + 3t}\\{z = 3 - 3t}\end{array}} \right.\)
Giải bởi Vietjack
Dễ thấy \[E \in \left( P \right)\]. Gọi I(3;2;5) là tâm khối cầu.
Đường thẳng qua I vuông góc với (P): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + 2t}\\{y = 2 + 2t}\\{z = 5 - t}\end{array}} \right.\left( d \right)\)
Gọi H là hình chiếu của I lên (P)\[ \Rightarrow H \in \left( d \right) \Rightarrow H\left( {3 + 2t;2 + 2t;5 - t} \right)\]
Lại có\[H \in \left( P \right)\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - 5 + t - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow 6 + 4t + 4 + 4t - 5 + t - 3 = 0}\\{ \Leftrightarrow 9t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 2}}{9} \Rightarrow H\left( {\frac{{23}}{9};\frac{{14}}{9};\frac{{47}}{9}} \right)}\\{ \Rightarrow \overrightarrow {EH} \left( {\frac{5}{9};\frac{5}{9};\frac{{20}}{9}} \right) = \frac{5}{9}\left( {1;\;1;\;4} \right)//\left( {1;1;4} \right) = \vec a}\end{array}\]
Để đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]cắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua E và vuông góc với HE.
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow {{n_P}} }\\{\overrightarrow {{u_\Delta }} \bot \overrightarrow a }\end{array}} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow a } \right]\)
\( = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&4\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\4&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = (9; - 9;0) = 9(1; - 1;0)\)
Vậy đường thẳng \[\left( {\rm{\Delta }} \right)\]đi qua E và nhận (1;−1;0) là 1 VTCP.
Vậy phương trình đường thẳng\(\left( \Delta \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(3;4;−2). Lập phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz.
Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu có điểm chung với trục Oz là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;−2;3) và đường thẳng d có phương trình \[\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 3}}{{ - 1}}\]. Tính đường kính của mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Hãy viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\].
Trong không gian Oxyz, cho điểm S(−2;1;−2) nằm trên mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} = 9\]. Từ điểm S kẻ ba dây cung SA,SB,SC với mặt cầu (S) có độ dài bằng nhau và đôi một tạo với nhau góc 600. Dây cung AB có độ dài bằng:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình
\[{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} + {(z - 3)^2} = 50\]. Trong số các đường thẳng sau, mặt cầu (S) tiếp xúc với đường thẳng nào.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ có phương trình x=y=z. Trong bốn phương trình mặt cầu dưới đây, phương trình mặt cầu không có hai điểm chung phân biệt với Δ là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2;0;1) và tiếp xúc với đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 2}}{1}\;\] là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[(S):{x^2} + {(y + 1)^2} + {z^2} = {R^2}\]. Điều kiện của bán kính R để trục Ox tiếp xúc với (S) là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{2}\;\]. Biết rằng mặt cầu (S) có bán kính bằng \(2\sqrt 2 \)và cắt mặt phẳng (Oxz) theo một đường tròn có bán kính 2. Tìm tọa độ tâm I.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{x}{2} = \frac{{z - 3}}{1} = \frac{{y - 2}}{1}\;\] và hai mặt phẳng \[(P):x--2y + 2z = 0.(Q):x--2y + 3z - 5 = 0\]. Mặt cầu (S) có tâm I là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S). Viết phương trình của mặt cầu (S).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}\], điểm A(2;−1;1). Gọi I là hình chiếu vuông góc của A lên d. Viết phương trình mặt cầu (C) có tâm I và đi qua A.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 2z - 3 = 0\] và đường thẳng \[\Delta :\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = z\;\]. Mặt phẳng (P) vuông góc với Δ và tiếp xúc với (S) có phương trình là
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(0;1;1),B(3;0;−1),C(0;21;−19) và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 1\]. Điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho tổng \[3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\;\] đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó, độ dài vectơ \[\overrightarrow {OM} \;\] là
