Giải phương trình

a) $\frac{x+1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{6}-1$ ;

b) 4x² – 1 – x(2x – 1) = 0;

c) $\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{x^2+2x}{x^2-9}+1$ ;

d) (x² + x – 1)(x² + x + 3) = 5.

a) $\frac{x+1}{3}+\frac{1}{2}=\frac{x-1}{6}-1$

$$\begin{gathered} \iff \frac{2\left(x+1\right)}{2.3}+\frac{3.1}{3.2}=\frac{x-1}{6}-\frac{6}{6} \\ \iff \frac{2x+2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{x-1}{6}-\frac{6}{6} \end{gathered}$$

Û 2x + 2 + 3 = x – 1 – 6

Û 2x + 5 = x – 7

Û 2x – x = – 7 – 5

Û x = – 12.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {–12}.

b) 4x² – 1 – x(2x – 1) = 0

Û 4x² – 1 – 2x² + x = 0

Û 4x² – 2x² + x – 1 = 0

Û 2x² + x – 1 = 0

Û 2x² + 2x – x – 1 = 0

Û 2x(x + 1) – (x + 1) = 0

Û (x + 1)(2x – 1) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}x+1=0\\ 2x-1=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ 2x=1\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=-1\\ x=\frac{1}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\left\{-1;\frac{1}{2}\right\}$ .

c) $\frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{x^2+2x}{x^2-9}+1$

Điều kiện xác định:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{c}x-3\ne 0\\ x+3\ne 0\\ x^2-9\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}x-3\ne 0\\ x+3\ne 0\\ \left(x-3\right)\left(x+3\right)\ne 0\end{array}\right.\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{c}x-3\ne 0\\ x+3\ne 0\end{array}\iff \left\{\begin{array}{c}x\ne 3\\ x\ne -3\end{array}\right.\right. \end{gathered}$$

Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

$$\begin{gathered} \frac{x+3}{x-3}+\frac{x-3}{x+3}=\frac{x^2+2x}{(x+3)(x-3)}+1 \\ \iff \frac{\left(x+3\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{\left(x-3\right)\left(x-3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{x^2+2x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)} \\ \iff \frac{{\left(x+3\right)}^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{{\left(x-3\right)}^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{x^2+2x}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}+\frac{x^2-9}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)} \end{gathered}$$

Þ (x + 3)² + (x – 3)² = x² + 2x + x² – 9

Û x² + 6x + 9 + x² – 6x + 9 = 2x² + 2x – 9

Û 2x² + 18 = 2x² + 2x – 9

Û 2x² + 2x – 2x² = 9 + 18

Û 2x = 27

Û x = $\frac{27}{2}$  (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = $\left\{\frac{27}{2}\right\}$ ;

d) (x² + x – 1)(x² + x + 3) = 5

Đặt t = x² + x.

Khi đó phương trình đã cho trở thành:

(t – 1)(t + 3) = 5

Û t² – t + 3t – 3 = 5

Û t² + 2t – 3 = 5

Û t² + 2t – 8 = 0

Û t² – 2t + 4t – 8 = 0

Û t(t – 2) + 4(t – 2) = 0

Û (t – 2)(t + 4) = 0

$$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}t-2=0\\ t+4=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}t=2\\ t=-4\end{array}\right. \end{gathered}$$

∙ Với t = 2, ta có: x² + x = 2

Û x² – x + 2x – 2 = 0

Û x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

Û (x – 1)(x + 2) = 0

 $$\begin{gathered} \iff \left[\begin{array}{c}x-1=0\\ x+2=0\end{array}\right. \\ \iff \left[\begin{array}{c}x=1\\ x=-2\end{array}\right. \end{gathered}$$

∙ Với t = –4, ta có: x² + x = –4

x² + x + 4 = 0

$$\begin{gathered} x^2+x+\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=0 \\ {\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}=0 \end{gathered}$$

Vì ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$  nên ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}>0$

Do đó không có giá trị x thỏa mãn ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{15}{4}=0$ .