Cho f(x) là đa thức thỏa mãn $\underset{x\to 2}{\underbrace{lim}}\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}=10$. Tính $T=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}-5}{x^2+x-6}$

Cách 1 (Đặc biệt hóa)

Chọn $f\left(x\right)=10x$,  ta có $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{10x-20}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{10\left(x-2\right)}{x-2}=10$

Lúc đó

$T=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}-5}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{60x+5}-5}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{60x+5}-5}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60x+5-5^3}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}$

$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{60}{\left(x+3\right)\left({\sqrt[3]{60x+5}}^2+5\sqrt[3]{60x+5}+25\right)}=\frac{4}{25}$

Cách 2:

Chọn $f\left(x\right)=10x$ ta có $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{10x-20}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{10\left(x-2\right)}{x-2}=10$

Sử dụng CASIO (chức năng CALC), nhập hàm cần tính giới hạn

Màn hình hiển thị

Thay giá trị $x=1,9999999$ vào

Màn hình hiển thị

Thay tiếp giá trị $x=2,0000001$ vào

Màn hình hiển thị

Cách 3:

Theo giả thiết có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(f\left(x\right)-20\right)=0$ hay $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=20$(*)

Khi đó

$T=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}-5}{x^2+x-6}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{6f\left(x\right)+5-125}{\left(x^2+x-6\right)\left[{\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)}^2+5\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)+25\right]}$

$T=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{6\left[f\left(x\right)-20\right]}{\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left[{\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)}^2+5\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)+25\right]}$

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-20}{x-2}=10$

$\begin{array}{l}\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=20\\ \Rightarrow \underset{x\to 2}{\lim }\frac{6}{\left(x-3\right).\left[{\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)}^2+5\left(\sqrt[3]{6f\left(x\right)+5}\right)+25\right]}\\ =\frac{6}{\left(2+3\right).\left[{\left(\sqrt[3]{6.20+5}\right)}^2+5.\left(\sqrt[3]{6.20+5}\right)+25\right]}=\frac{6}{5.75}\end{array}$

$T=\frac{10.6}{5.75}=\frac{4}{25}$

Đáp án cần chọn là: B