Cho dãy số (un) xác định bởi u1=0 và un+1=un+4n+3, ∀n≥1 Biết limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n=a2019+bcvới a, b, c là các số nguyên dương và b<2019. Tính giá trị S=a+b−c.

Ta có u2=u1+4.1+3u3=u2+4.2+3...un=un−1+4.n−1+3 Cộng vế theo vế và rút gọn ta được un=u1+4.1+2+...+n−1+3n−1=4nn−12+3n−1=2n2+n−3 với mọi n≥1 Suy ra u2n=22n2+2n−3u22n=222n2+22n−3...u22018n=222018n2+22018n−3 Và u4n=24n2+4n−3u42n=242n2+42n−3...u42018n=242018n2+42018n−3 Do đó limun+u4n+u42n+...+u42018nun+u2n+u22n+...+u22018n =lim2+1n−3n2+2.42+4n−3n2+...+2420182+42018n−3n22+1n−3n2+2.22+2n−3n2+...+2220182+22018n−3n2 =21+4+42+...+4201821+2+22+...+22018=11−420191−41−220191−2=1342019−122019−1=22019+13 Vì 22019>2019 cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên a=2b=1c=3 Vậy S=a+b−c=0 Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi:

07/07/2024 112

Cho dãy số (u_n) xác định bởi $u_{1} = 0 v à u_{n + 1} = u_{n} + 4 n + 3, \forall n \geq 1$ Biết $\lim \frac{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{4 n}} + \sqrt{u_{4^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{4^{2018} n}}}{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{2 n}} + \sqrt{u_{2^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{2^{2018} n}}} = \frac{a^{2019} + b}{c}$ với a, b, c là các số nguyên dương và $b < 2019$ . Tính giá trị $S = a + b - c$ .

A. $S = - 1$

B. $S = 0$

Đáp án chính xác

C. $S = 2017$

D. $S = 2018$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có

$\begin{array}{l} u_{2} = u_{1} + 4.1 + 3 \\ u_{3} = u_{2} + 4.2 + 3 \\ ... \\ u_{n} = u_{n - 1} + 4. (n - 1) + 3 \end{array}$

Cộng vế theo vế và rút gọn ta được

$u_{n} = u_{1} + 4. (1 + 2 + ... + n - 1) + 3 (n - 1) = 4 \frac{n (n - 1)}{2} + 3 (n - 1) = 2 n^{2} + n - 3$ với mọi $n \geq 1$

Suy ra

$\begin{array}{l} u_{2 n} = 2 {(2 n)}^{2} + 2 n - 3 \\ u_{2^{2} n} = 2 {(2^{2} n)}^{2} + 2^{2} n - 3 \\ ... \\ u_{2^{2018} n} = 2 {(2^{2018} n)}^{2} + 2^{2018} n - 3 \end{array}$

Và

$\begin{array}{l} u_{4 n} = 2 {(4 n)}^{2} + 4 n - 3 \\ u_{4^{2} n} = 2 {(4^{2} n)}^{2} + 4^{2} n - 3 \\ ... \\ u_{4^{2018} n} = 2 {(4^{2018} n)}^{2} + 4^{2018} n - 3 \end{array}$

Do đó $\lim \frac{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{4 n}} + \sqrt{u_{4^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{4^{2018} n}}}{\sqrt{u_{n}} + \sqrt{u_{2 n}} + \sqrt{u_{2^{2} n}} + ... + \sqrt{u_{2^{2018} n}}}$

$= \lim \frac{\sqrt{2 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{{2.4}^{2} + \frac{4}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + ... + \sqrt{2 {(4^{2018})}^{2} + \frac{4^{2018}}{n} - \frac{3}{n^{2}}}}{\sqrt{2 + \frac{1}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + \sqrt{{2.2}^{2} + \frac{2}{n} - \frac{3}{n^{2}}} + ... + \sqrt{2 {(2^{2018})}^{2} + \frac{2^{2018}}{n} - \frac{3}{n^{2}}}}$

$= \frac{\sqrt{2} (1 + 4 + 4^{2} + ... + 4^{2018})}{\sqrt{2} (1 + 2 + 2^{2} + ... + 2^{2018})} = \frac{1 \frac{1 - 4^{2019}}{1 - 4}}{\frac{1 - 2^{2019}}{1 - 2}} = \frac{1}{3} \frac{4^{2019} - 1}{2^{2019} - 1} = \frac{2^{2019} + 1}{3}$

Vì $2^{2019} > 2019$ cho nên sự xác định ở trên là duy nhất nên $\{\begin{matrix} a = 2 \\ b = 1 \\ c = 3 \end{matrix}$

Vậy $S = a + b - c = 0$

Đáp án cần chọn là: B

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Biết $\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{4 x^{2} - 3 x + 1} - (a x + b)) = 0$ . Tính $a - 4 b$ ta được

Xem đáp án » 14/10/2022 152

Câu 2:

Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $c^{2} + a = 18 c^{2} + a = 18 v à \underset{x \to + \infty}{\underset{⏟}{l i m}} (\sqrt{a x^{2} + b x} - c x) = - 2$ . Tính $P = a + b + 5 c$ .

Xem đáp án » 14/10/2022 150

Câu 3:

Cho $n = 2 k + 1, k \in N$ . Khi đó:

Xem đáp án » 14/10/2022 137

Câu 4:

Cho f(x) là đa thức thỏa mãn $\underset{x \to 2}{\underset{⏟}{l i m}} \frac{f (x) - 20}{x - 2} = 10$ . Tính $T = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{6 f (x) + 5} - 5}{x^{2} + x - 6}$

Xem đáp án » 14/10/2022 131

Câu 5:

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to - \infty} (x - x^{3} + 1)$ là:

Xem đáp án » 14/10/2022 128

Câu 6:

Biết $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^{2} + x + 2} - \sqrt[3]{7 x + 1}}{\sqrt{2} (x - 1)} = \frac{a \sqrt{2}}{b} + c$ với a, b, c $\in ℤ$ và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của $a + b + c$ bằng:

Xem đáp án » 14/10/2022 126

Câu 7:

Hàm số $y = f (x)$ có giới hạn L khi $x \to x_{0}$ kí hiệu là:

Xem đáp án » 14/10/2022 123

Câu 8:

Giả sử $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L, \lim_{x \to x_{0}} g (x) = M$ khi đó:

Xem đáp án » 14/10/2022 123

Câu 9:

Cho $\lim_{x \to 0} (\frac{x}{\sqrt[7]{x + 1} . \sqrt{x + 4} - 2}) = \frac{a}{b}$ ( $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính tổng $L = a + b$ .

Xem đáp án » 14/10/2022 123

Câu 10:

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 3} \sqrt{\frac{9 x^{2} - x}{(2 x - 1) (x^{4} - 3)}}$ là:

Xem đáp án » 14/10/2022 122

Câu 11:

Cho $\lim_{x \to - \infty} (\sqrt{x^{2} + a x + 5} + x) = 5$ thì giá trị của a là một nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?

Xem đáp án » 14/10/2022 119

Câu 12:

Tìm giới hạn $I = \lim_{x \to + \infty} (x + 1 - \sqrt{x^{2} - x + 2})$ .

Xem đáp án » 14/10/2022 119

Câu 13:

Số L là giới hạn phải của hàm số y=f(x) kí hiệu là:

Xem đáp án » 14/10/2022 117

Câu 14:

Giá trị của giới hạn $\lim_{x \to \sqrt{3}} |x^{2} - 4|$ là:

Xem đáp án » 14/10/2022 113

Câu 15:

Kết quả của giới hạn $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{x - 15}{x - 2}$ là:

Xem đáp án » 14/10/2022 101

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Top 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 4598 lượt thi Thi thử
Bộ 5 đề thi Đánh giá năng lực trường ĐH Bách khoa Hà Nội năm 2022 có đáp án

6 đề 3542 lượt thi Thi thử
Câu ước

2 đề 2979 lượt thi Thi thử
Thì hiện tại đơn

2 đề 2333 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Tiếng Anh có đáp án

3 đề 2294 lượt thi Thi thử
Đọc hiểu chủ đề đời sống - Đề 1

2 đề 1989 lượt thi Thi thử
Tìm lỗi sai trong câu

2 đề 1701 lượt thi Thi thử
Đề thi Đánh giá tư duy Đọc hiểu, Toán học có đáp án

3 đề 1685 lượt thi Thi thử
Tế bào nhân sơ (Phần 1)

2 đề 1667 lượt thi Thi thử
Thì quá khứ hoàn thành

2 đề 1455 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »