Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(9; 3; 1) bán kính bằng 3 . Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng $\frac{13}{2}$ . Gọi A là tiếp điểm của MN và (s), giá trị AM. AN bằng

Đáp án đúng là: A

I(9; 3 ; 1)  d  = 3 = R Þ (S) tiếp xúc với (Oxz)

Gọi M( a; 0; 0) Î Ox$\iff$

N(0; 0; b) Î Oz

MN tiếp xúc với (S) tại A nên A là hình chiếu của I lên (Oxz)

Suy ra A(9; 0; 1)

Gọi K là trung điểm MN Þ K$\left(\frac{a}{2};0;\frac{b}{2}\right)$

Gọi H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN Þ OH =$\frac{13}{2}$ Þ HK MN

Gọi T là trung điểm OM Þ$\left.\begin{array}{c}OM\perp KT\\ OM\perp HT\end{array}\right\}$ Þ OM (KHT)

Þ OM  HK Þ HK (OMN)

Mà IA (OMN) Þ HK// IA

Ta có :$\overrightarrow{AI}$  = (0; 3; 0)

 $\overrightarrow{KH}$=$\left(x_H-\frac{a}{2};y_H-0;z_H-\frac{b}{2}\right)$

 $\overrightarrow{AI}$cùng phương $\overrightarrow{KH}$ nên $\left\{\begin{array}{c}{x}_H=\frac{a}{2}\\ y_H=c(c\ne 0)\\ z_H=\frac{b}{2}\end{array}\right.$

$\Rightarrow$H $\left(\frac{a}{2};c;\frac{b}{2}\right)$

ỌH = $\frac{13}{2}$$\Rightarrow$$\frac{a^2}{2}$ + c² +$\frac{b^2}{4}$ =  $\frac{169}{4}$ (1)

HI = OH =$\frac{13}{2}$$\Rightarrow$${\left(\frac{a}{2}-9\right)}^2$ +${\left(c-3\right)}^2$ +${\left(\frac{b}{2}-1\right)}^2$ =$\frac{169}{4}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{a^2}{2}$ + c² +$\frac{b^2}{4}$ =${\left(\frac{a}{2}-9\right)}^2$ +${\left(c-3\right)}^2$ +

${\left(\frac{b}{2}-1\right)}^2$

$\Rightarrow$9a + b + 6c = 91 (3)

 $\overrightarrow{AM}$= (a − 9; 0; −1)

 $\overrightarrow{AN}$= (−9; 0; b − 1)

A, M, N thẳng hàng $\frac{a-9}{-9}=\frac{-1}{b-1}$

(a − 2)(b − 1) = 9

ab − a − 9b + 9 = 9

ab − a − 9b = 0

a(b − 1) = 9b

a =$\frac{9b}{b-1}$

Từ (3)$\Rightarrow$ 9.$\frac{9b}{b-1}$ + b + 6c = 91

$\frac{81b}{b-1}$+ b + 6c = 91

$\frac{b^2+80b}{b-1}$+ 6c = 91 6c = 91 −$\frac{b^2+80b}{b-1}$ =$\frac{-b^2+11b-91}{b-1}$

c =$\frac{-b^2+11b-91}{6(b-1)}$

Ta có a² + 4c² + b² = 169

$\iff$+ 4${\left(\frac{-b^2+11b-91}{6(b-1)}\right)}^2$ + b² = 169

$\iff$9.81b² + (b⁴ + 121b² +8281− 22b³ + 182b² − 2002b) + 9b²(b − 1)² = 169 . 9 . (b − 1)²

$\iff$729b² + b⁴ +121b² +8281 − 22b³ + 182b² − 2002b + 9b⁴ − 18b³ +9b² = 1521b² − 3042b +1521

$\iff$10b⁴ − 40b³ − 480b² + 1040b +6760 = 0

$\left[\begin{array}{c}b=1+3\sqrt{3}\Rightarrow a=\frac{9\left(1+3\sqrt{3}\right)}{3\sqrt{3}}=9+\sqrt{3}\\ b=1-3\sqrt{3}\Rightarrow a==\frac{9\left(1-3\sqrt{3}\right)}{-3\sqrt{3}}=9-\sqrt{3}\end{array}\right.$

+ Trường hợp 1: a = 9 +$\sqrt{3}$ ; b = 1 + 3 Þ$\overrightarrow{AM}$ =$\left(\sqrt{3};0;-1\right)$ Þ AM = 2

Þ$\overrightarrow{AN}$ =$\left(-9;0;3\sqrt{3}\right)$ ÞAN =$\sqrt{108}$

AM.AN = 2.$\sqrt{108}$  = 12$\sqrt{3}$

+ Trường hợp 2: a = 9 −$\sqrt{3}$ ; b = 1 − 3$\sqrt{3}$ Þ$\overrightarrow{AM}$ =$\left(-\sqrt{3};0;-1\right)$ Þ AM = 2

Þ$\overrightarrow{AN}$ =$\left(-9;0;-3\sqrt{3}\right)$ Þ AN =$\sqrt{108}$

AM.AN = 2. $\sqrt{108}$  = 12$\sqrt{3}$