Thứ sáu, 22/11/2024
IMG-LOGO
Trang chủ Thi thử THPT Quốc gia Toán Giải Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 (4 mã đề gốc)

Giải Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 (4 mã đề gốc)

Giải Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 - Mã đề 103

  • 17690 lượt thi

  • 51 câu hỏi

  • 60 phút

Danh sách câu hỏi

Câu 1:

Hàm số nào dưới đây có bảng biển thiên như sau

Media VietJack

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên ta nhận thấy:

∙ Đây là hàm y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0). Loại đáp án C và D.

= −¥ Þ a < 0. Loại đáp án A.

Do đó hàm số thỏa mã là y = −x3 +3x .


Câu 2:

Nếu 03f(x)dx = 6 thì 0313f(x)+2  dx bằng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có 0313f(x)+2 dx = 1303f(x)dx +032dx = 13. 6 + 2x03 = 2 + 6 = 8 .


Câu 3:

Phần ảo của số phức z = (2 − i)(1 + i)

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có z = (2 − i)(1 + i) = 3 + i.

Vậy phần ảo của số phức z là 1.


Câu 4:

Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có = ex + C .


Câu 5:

Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là đường cong trong hình dưới. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy giá trị cực tiểu bằng 3 .


Câu 6:

Cho a = 35 , b = 32 và c = 36  mệnh đề nào dưới đây đúng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có a =35 , b = 32 và c =36 4<5<63>1 34<35<36  hay 32<35<36 b < a < c.


Câu 7:

Nếu 12f(x)dx = 2 và 25f(x)dx =−5 thì 15f(x)dx bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có 15f(x)dx  = 12f(x)dx +25f(x)dx = 2 − 5 = −3


Câu 8:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Media VietJack

Số giao điểm của đồ thị hàm số đã cho và đường thẳng y = 1 là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Media VietJack

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thi hàm số tại 3 điểm.


Câu 9:

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi một khác nhau?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Số các số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau lập từ các số 1, 2, 3, 4, 5 và 5! = 120 .


Câu 10:

Cho khối nón có diện tích đáy bằng 3a2 và chiều cao 2a. Thể tích của khối nón đã cho bằng ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Thể tích của khối nón đã cho bằng V = 13. 3a2 .2a = 2a3


Câu 11:

Số nghiệm thực của phương trình 2x2+1  = 4 là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

2x2+1 = 22 Û x2 + 1 = 2 Û x2 = 1x=1x=1


Câu 12:

Với a là số thực dương tùy ý, log (100a) bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

log(100a) = log(100) + log a = 2 + log a


Câu 14:

Hàm số F(x) = cotx là một nguyên hàm của hàm số nào dưới đây trên khoảng 0;π2

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

1sin2xdx = −cotx + C suy ra F(x) = cot x trên khoảng  là một nguyên hàm của hàm số f3(x) = 1sin2x .


Câu 15:

Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị là đường cong hình bên.

Media VietJack

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có tọa độ

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Dựa vào đồ thị , điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là (−1; −1).


Câu 16:

Số phức nào dưới đây có phần ảo bằng phần ảo của số phức w = 1 − 4i

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Cả hai số phức w = 1 − 4i và z1 = 5 − 4i đều có phần áo bằng − 4 nên ta chọn B.


Câu 17:

Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3 và công bộ q = 2. Số hạng tổng quát un (n ≥ 2) bằng 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3 và công bội q = 2 có số hạng tổng quát un = 3.2n−1 .


Câu 18:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y + 1)2 +(z − 3)2 = 4. Tâm của (S) có tọa độ là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu (S) : (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 4 có tâm là (2; −1; 3).


Câu 19:

Cho khối chóp và khối lăng trụ có diện tích đáy, chiều cao tương ứng bằng nhau và có thể tích lần lượt là V1, V2. Tỉ số V1V2  bằng 

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi diện tích đáy và chiều cao tương ứng của khối chóp và khối lăng trụ là B và h

Ta có V1=13BhV2=BhV1V2=13


Câu 20:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x21 =y12 =z+13 . Điểm nào dưới đây thuộc d?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Cho x2=0y1=0z+1=0x=2y=1z=1  vậy P(2;1; −1) Î d


Câu 21:

Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt phẳng (Oxy) là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (Oxy) là z = 0.


Câu 22:

Cho điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R). Khẳng định nào dưới đây đúng ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O;R) nên OM > R.


Câu 23:

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 2 + 7i có tọa độ là
Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Điểm biểu diễn số phức z = 2 + 7i là điểm có tọa độ (2; 7).


Câu 24:

Nghiệm của phương trình log12(2x1)  là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

log12(2x1)= 0 Û 2x − 1 = 1Û x = 1 .

Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 .


Câu 25:

Tập xác định của hàm số y =

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định khi x − 1 > 0 Û x > 1.

Tập xác định của hàm số là D = (1; +¥)


Câu 26:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Media VietJack

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta thấy: = +¥ = −¥.

Vậy tiệm cận đứng của hàm số đã cho là x = −2 .


Câu 27:

Trong không gian Oxyz. Cho hai vectơ u  = (1; −4; 0) và v  = (−1; −2; 1). Vectơ u  + 3v có tọa độ là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có : u = (1; −4; 0)

3v  = (−3; −6; 3)

Vậy u  + 3v = (−2; −10; 3)


Câu 28:

Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau

Media VietJack

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng (– 1; 0) và (1; +∞).

Do đó đáp án C đúng.


Câu 29:

Cho hàm số f(x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị là đường cong trong hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn [−2; 5] của tham số m để phương trình f(x) = m có đúng 2 nghiệm thực phân biệt?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Dựa vào đồ thị ta thấy:

TH1. Phương trình f(x) = m có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi m = −2:

Media VietJack

TH2. Phương trình f(x) = m có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi m > −1:

Media VietJack

Vậy m Î{−2; 0; 1; 2; 3; 4; 5}. Vậy có 7 giá trị m thỏa mãn.


Câu 30:

Cho hàm số f(x) = 1 + e2x. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có 1+e2xdx = x + e2x + C.


Câu 31:

Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2z + 5 = 0. Khi đó z12 + z22 bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Phương trình z2 − 2z + 5 = 0 có nghiệm là z1 = 1 − 2i và z2 = 1 + 2i nên ta có:

z12 + z22 = (1 + 2i)2 + (1 − 2i)2 = −6


Câu 32:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' ( tham khảo hình bên). Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng (ABCD) bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có AC = CC'2

AC’ = AC2+CC'2 = CC'3

Ta cóAC';(ABCD)^=(AC';AC)^  =CAC'^

sinCAC'^=CC'AC'=CC'CC'3=33


Câu 33:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng x − 2y + 2x + 3 = 0 là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Bán kính mặt cầu R =12.2+2.3+31+(2)2+22=63 = 2

Do đó phương trình mặt cầu

(x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = 22 = 4 .


Câu 34:

Với a,b là các số thực dương tùy ý và a ≠ 1, log1a1b3  bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

log1a1b3= − logab−3 = 3logab


Câu 35:

Cho hình lập phương ABCD.A B C D  có cạnh bằng 3 ( tham khảo hình bên). Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACC A) bằng

Media VietJack

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Gọi H là trung điểm của AC '

Vì ABCD.A'B'C'D'là hình lập phương nên BH (ACC'A')

ÞB,ACC'A'  = BH =12 AC

Mà ABCD là hình vuông cạnh 3 nên AC =

ÞB,ACC'A'  =322


Câu 36:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f '(x) = x + 1 với mọi x Î R. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: f '(x) = 0 x + 1 = 0 x = −1

Bảng xét dấu:

Media VietJack

Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (−¥; −1).


Câu 37:

Trong không gian Oxyz, cho điểm M (2; −2;1) và mặt phẳng (P) : 2x − 3y − z + 1 = 0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P).

Do d vuông góc với (P) nên d có một vectơ chỉ phương là u  = (2; −3; −1).

Vậy phương trình của đường thẳng d là:x=2+2ty=23tz=1t .


Câu 38:

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn [30; 50]. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω) = 21 .

Gọi A là biến cố: “chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục”.

Khi đó A = {34; 35; 36; 37; 38; 39; 45; 46; 47; 48; 49} Þ n(A) = 11 .

Vậy P(A) =n(A)n(Ω) =1121 .


Câu 39:

Biết F(x); G(x) là hai nguyên hàm của hàm số f(x) trên = F(4) − G(0) + a (a > 0). Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = F(x); y = G(x); x = 0; x = 4. Khi S = 8 thì a bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Đặt F(x) = G(x) + c

S =04F(x)G(x)dxF(x)G(x) = 2 hay c  = 2

04f(x)dx= F(4) − G(0) + a

Û F(4) − F(0) = F(4) − G(0) + a

Û −G(0) − c = −G(0) + a

Û a = −c

Þ a = ±2

Mà a > 0 Þ a = 2


Câu 40:

Cho hàm số f(x) = ax4 + 2(a + 4)x2 − 1 với a là tham số thực. Nếu max[0;2]f(x) = f(1) thì min[0;2]f(x) bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xét f(x) = ax4 + 2(a + 4)x2 − 1

f’(x) = 4ax3 + 4(a + 4)x

Từ giả thiết ta có f '(1) = 0

Þ 4a + 4(a + 4) = 0 a = −2 và f(x) = −2x4 + 4x2 − 1

Ta có f(0) = −1; f(1) = 1; f(2) = −17

Vậy = f(2) = −17


Câu 41:

Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn (4b − 1)(a.3b − 10) < 0 ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài aÎ , a ≥ 1 và b Î  .

Trường hợp 1:4b1<0a3b10>0b<0b>log310a

Vì có đúng hai số nguyên b thỏa mãn nên b Î {−2; −1}.

Do đó −2 >log310a ≥ −3 270 ≥ a > 90 nên a Î{91; 92;...; 270}. Có 180 giá trị của a thỏa mãn trường hợp 1.

Trường hợp 2:4b1>0a3b10<0b>0b<log310a

Vì có đúng hai số nguyên b thỏa mãn nên b Î{1; 2}

Do đó 3 ≥ log310a > 2109 > a ≥ 1027 nên a = 1. Có giá trị của a thỏa mãn trường hợp 2.

Vậy có 180 + 1 = 181 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Câu 42:

Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120° và chiều cao bằng 3. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của S bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Media VietJack

Gọi H là tâm đáy, AB là đường kính của đáy hình nón và SC là đường kính của mặt cầu (S). Khi đó SH = 3 và ASC^  = 60°

SA =SHcos60° = 6 (đvdd)

SA2= SH.SC 62 = 3.SC  SC = 12

Bán kính của mặt cầu (S) là R = 6 nên diện tích của (S) là S = 4π.62 = 144π (đvdt).


Câu 43:

Cho hàm số bậc bốn y = f(x). Biết rằng hàm số g(x) = ln f(x) có bảng biến thiên

Media VietJack

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g'(x) thuộc khoảng nào dưới đây?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Từ bảng biến thiên hàm số g(x) = ln f(x) ta có ln f(x) ≥ ln 3, x Î  f(x) ≥ 3, x Î ℝ.

Ta có g'(x) =f'(x)f(x)

Từ bảng biến thiên ta có đồ thị hàm số y = g(x) có 3 điểm cực trị là A(x1; ln30), B(x2; ln 35), C(x3; ln 3) nên f '(x1) = f '(x2) = f '(x3) = 0 và f(x1) = 30, f(x2) = 35, f(x3) = 3.

Do y = f '(x) là hàm số bậc 3 nên phương trình f '(x) = 0 chỉ có tối đa 3 nghiệm x1, x2, x3

Xét phương trình hoành độ giao điểm của f '(x) và g '(x) ta có

f '(x) = g '(x)  f '(x) =f'(x)f(x)

.f'(x)=0f(x)=1(VN)x=x1x=x2x=x3

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g'(x) là:

S =x1x3g'(x)f'(x)dx=x1x3f'(x)f(x)f'(x)dx=x1x3f'(x).1f(x)1dx

=x1x2f'(x).1f(x)1dx+x2x3f'(x).1f(x)1dx

+ Tính I1 =x1x2f'(x).1f(x)1dx =x1x2f'(x).11f(x)dx (do f '(x) ≥ 0, x Î(x1, x2))

Đặt t = f(x) dt = f '(x) dx

Đổi cận:

x = x1 Þ t = f(x­1) = 30

x = x2 Þ t = f(x2) = 35

Suy ra I1 = = 35 − ln 35 − 30 + ln30 = 5 + ln .

+ Tính I2 = = (do f '(x) ≥ 0, x Î(x2, x3)).

Đặt t = f(x) dt = f '(x)dx .

Đổi cận

x = x2 Þ t = f(x2) = 35

x = x3 Þ t = f(x3) = 3

Suy ra I2 =303511tdt=tlnt3035

= −(3 − ln 3 − 35 + ln 35) = 32 − ln67 .

Vậy S = 5 + ln +  = 37 +ln ≈ 34,39 Î (33; 35).


Câu 44:

Xét tất cả số thực x, y sao cho 275y2a6xlog3a3 với mọi số thực dương a. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2 − 4x + 8y bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Giả sử x, y thỏa với mọi số dương a

Ta có P = x2 + y2 − 4x + 8y  x2 + y2 − 4x + 8y − P = 0

Suy ra điểm M(x; y) thuộc đường tròn tâm I(2; −4) và bán kính 22+(4)2+P  =20+P

(5 − y2).3 ≥ (6x − 3t)t

−3t2 + 6xt − 15 + 3y2 ≤ 0 (với t = log3a)

Theo đề bài ta có đúng với mọi số thực dương a nên −3t2 + 6xt − 15 + 3y2 ≤ 0 đúng với mọi t Î

Do đó 3<0(3x)2+3(15+3y2)0

9x2 +9y2 − 45 ≤ 0 x2 + y2 ≤ 5

Suy ra tập hợp các điểm M(x; y) là hình tròn tâm O(0; 0) và bán kinh R2 =5

Vậy để tồn tại cặp (x; y) thì đường tròn (I; R1) và hình tròn (O; ) phải có điểm chung

Do đó IO ≤ R1 +5 22+(4)2 20+P+5

520+P P ≥ −15

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là −15.


Câu 45:

Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn 2 = 2 = = 2 và (z1 + z2)z3 = 3z1z2 . Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Không mất tính tổng quát, giả sử z3 = 2

Khi đó (z1 + z2)z3 = 3z1z2 trở thành 2(z1 + z2) = 3z1z1z1+1z2=32

Đặt 1z1 = x + yi (x, y Î ) 1z1 =32x  − yi

Ta có z3 = 2 và 2z1 = 2z2 =z3 = 2 nên z1  =z2 = 11z1 =1z2  = 1

Suy ra x2+y2=132x2+y2=1

x=34y=74y=7432x=34y=74y=+74

Do đó z134+74i  ; z2 =3474i

Nên tọa độ các điểm là A34;74 ; B34;74 ; C(2; 0)

Diện tích tam giác ABC là SABC= 12 AB.d(C; AB) =12 .2.72 .234  =5716


Câu 46:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 2). Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Phương trình của (P) là:

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

Gọi hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 2) lên trục Ox là M(1; 0; 0)

Khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất nên mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là MA = (0; 2; 2)

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 0; 0) và vectơ pháp tuyến MA= (0; 2; 2) nên

0.(x − 1) + 2(y − 0) + 2(z − 0) = 0 y + z = 0


Câu 47:

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z2 =zz¯  và (z2).z¯2i =z+2i2 ?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: D

(z2).z¯2i =z+2i2 z2z¯2i  =z+2iz¯2i

z¯2i.z2z+2i  = 0

Trường hợp 1.

z¯2i= 0 z¯  = 2i   z = −2i

Trường hợp 2.

z2z+2i= 0z2 = z+2i  = 0

Đặt z = x + y.i ta có z − 2 = x − 2 + y.i và z + 2i = x + (y+2).i

Khi đó

z2=z+2i (x − 2)2 + y2 = x2 +(y + 2)2

 x2 − 4x + 4 + y2 = x2 + y2 + 4y + 4

−4x = 4y x = −y

Lại có:z2 =zz¯ x2 + y2 = 2y

2y2 = 2y 2y .y1  = 0

y = 0 hoặc y = ±1

Do đó ta có các số z Î {0; 1 − i; −1 + i; −2i} thỏa mãn.

Vậy có 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán


Câu 48:

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'BC' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên AA' = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 30°. Thể tích của khổi lăng trụ đã cho bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Media VietJack

Kẻ AH BC, ta có AA' (ABC) nên AA' BC

AH BC và AA' BC sụy ra BC (AA'H) A'H BC

Suy ra góc giữa (A'BC) và (ABC) là A'HA^  = 30°

∆A'AH vuông tại A có

tan A'HA^ = AA'AH  tan 30° =2aAH AH =2atan30o = 2a

∆ABC vuông cân tại A nên BC = 2.AH = 4a3

Þ SABC =12 AH.BC = 12 2a3 . 4a3 = 12a2

Vậy thể tích của khổi lăng trụ ABC. A'B'C' là: V = SABC.AA’ = 12a2.2a = 24a3.


Câu 49:

Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số a để hàm số y = |x4 + ax2 – 8x| có đúng 3 điểm cực trị?

Xem đáp án

Đáp án đúng là: B

Xét g(x) = x4 + ax2 − 8x

g'(x) = 4x3 + 2ax − 8

Xét g'(x) = 0 4x3 +2ax − 8 = 0 −a = = 2x2 = h(x) (do x = 0 không là nghiệm)

g(x) = 0x=0x3+ax8=0a=x38x=x28x=k(x)

h’(x) = 4x +4x2 = 0 x = −1

k’(x) = 2x +8x2 = 0 x =43

Media VietJack

Để hàm số y = |g(x)| có đúng 3 cực trị −a  ≤ 6 Û a  ≥ −6

Mà a là số nguyên âm nên a Î {−6; −5; −4; −3; −2; −1}


Câu 50:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(9; 3; 1) bán kính bằng 3 . Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng 132 . Gọi A là tiếp điểm của MN và (s), giá trị AM. AN bằng

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

I(9; 3 ; 1)  d  = 3 = R Þ (S) tiếp xúc với (Oxz)

Gọi M( a; 0; 0) Î Ox

N(0; 0; b) Î Oz

MN tiếp xúc với (S) tại A nên A là hình chiếu của I lên (Oxz)

Suy ra A(9; 0; 1)

Gọi K là trung điểm MN Þ Ka2;0;b2

Gọi H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN Þ OH =132 Þ HK MN

Gọi T là trung điểm OM ÞOMKTOMHT Þ OM (KHT)

Þ OM  HK Þ HK (OMN)

Mà IA (OMN) Þ HK// IA

Ta có :AI  = (0; 3; 0)

 KH=xHa2;yH0;zHb2

 AIcùng phương KH nên xH=a2yH=c(c0)zH=b2

a2;c;b2

ỌH = 132a22 + c2 +b24 =  1694 (1)

HI = OH =132a292 +c32 +b212 =1694 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a22 + c2 +b24 =a292 +c32 +

b212

9a + b + 6c = 91 (3)

 AM= (a − 9; 0; −1)

 AN= (−9; 0; b − 1)

A, M, N thẳng hàng a99=1b1

(a − 2)(b − 1) = 9

ab − a − 9b + 9 = 9

ab − a − 9b = 0

a(b − 1) = 9b

a =9bb1

Từ (3) 9.9bb1 + b + 6c = 91

81bb1+ b + 6c = 91

b2+80bb1+ 6c = 91 6c = 91 −b2+80bb1 =b2+11b91b1

c =b2+11b916(b1)

Ta có a2 + 4c2 + b2 = 169

+ 4b2+11b916(b1)2 + b2 = 169

9.81b2 + (b4 + 121b2 +8281− 22b3 + 182b2 − 2002b) + 9b2(b − 1)2 = 169 . 9 . (b − 1)2

729b2 + b4 +121b2 +8281 − 22b3 + 182b2 − 2002b + 9b4 − 18b3 +9b2 = 1521b2 − 3042b +1521

10b4 − 40b3 − 480b2 + 1040b +6760 = 0

b=1+33a=91+3333=9+3b=133a==913333=93

+ Trường hợp 1: a = 9 +3 ; b = 1 + 3 ÞAM =3;0;1 Þ AM = 2

ÞAN =9;0;33 ÞAN =108

AM.AN = 2.108  = 123

+ Trường hợp 2: a = 9 −3 ; b = 1 − 33 ÞAM =3;0;1 Þ AM = 2

ÞAN =9;0;33 Þ AN =108

AM.AN = 2. 108  = 123

 

 

 

 

 

 

 

 


Câu 51:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(9; 3; 1) bán kính bằng 3 . Gọi M, N là hai điểm lần lượt thuộc 2 trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và (s), giá trị AM. AN bằng
Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

I(9; 3 ; 1)  d  = 3 = R Þ (S) tiếp xúc với (Oxz)

Gọi M( a; 0; 0) Î Ox

N(0; 0; b) Î Oz

MN tiếp xúc với (S) tại A nên A là hình chiếu của I lên (Oxz)

Suy ra A(9; 0; 1)

Gọi K là trung điểm MN Þ K

Gọi H là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN Þ OH = Þ HK MN

Gọi T là trung điểm OM ÞOMKTOMHT Þ OM (KHT)

Þ OM  HK Þ HK (OMN)

Mà IA (OMN) Þ HK// IA

Ta có : AI  = (0; 3; 0)

KH =xHa2;yH0;zHb2

AI cùng phương KH nên xH=a2yH=c(c0)zH=b2

a2;c;b2

ỌH = 132a22+ c2 +b24 = 1694   (1)

HI = OH =132a292 +c32 b212 =1694 (2)

Từ (1) và (2) suy ra a22 + c2 +b24 =a292 +c32 +b212

9a + b + 6c = 91 (3)

AM = (a − 9; 0; −1)

 AN= (−9; 0; b − 1)

A, M, N thẳng hàng  a99=1b1

(a − 2)(b − 1) = 9

ab − a − 9b + 9 = 9

ab − a − 9b = 0

a(b − 1) = 9b

a =9bb1

Từ (3) 9.  + b + 6c = 91

81bb1+ b + 6c = 91

b2+80bb1+ 6c = 91 6c = 91 −b2+80bb1 =b2+11b91b1

c =b2+11b916(b1)

Ta có a2 + 4c2 + b2 = 169

9bb12+ 4 + b2 = 169

9.81b2 + (b4 + 121b2 +8281− 22b3 + 182b2 − 2002b) + 9b2(b − 1)2 = 169 . 9 . (b − 1)2

729b2 + b4 +121b2 +8281 − 22b3 + 182b2 − 2002b + 9b4 − 18b3 +9b2 = 1521b2 − 3042b +1521

10b4 − 40b3 − 480b2 + 1040b +6760 = 0

b=1+33a=91+3333=9+3b=133a==913333=93

+ Trường hợp 1: a = 9 + ; b = 1 + 3 Þ  = Þ AM = 2

Þ = ÞAN =

AM.AN = 2.  = 12

+ Trường hợp 2: a = 9 − ; b = 1 − 3 Þ = Þ AM = 2

Þ = Þ AN =

AM.AN = 2.  = 12

 

 

 

 

 

 

 


Bắt đầu thi ngay