Giải Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 - Mã đề 102
-
17658 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 1:
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Câu 3:
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
Đáp án đúng là: B
Từ BBT ta nhận thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồng biến trên khoảng (1; +¥). Do đó hàm số là hàm đa thức bậc ba có hệ số a > 0.
Câu 4:
Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (Oyz) là
Đáp án đúng là: A
Ta có một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz là: .
Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0).
Phương trình mặt phẳng (Oyz) là:
1(x - 0) + 0(y - 0) + 0(z - 0) = 0 hay x = 0.
Câu 5:
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình:
Đáp án đúng là: D
Ta có và .
Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng có phương trình y = 1.
Câu 6:
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là: D
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥; -1) và (0; 1).
Câu 7:
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
Đáp án đúng là: B
Từ bảng biến thiên ta suy ra: điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x = 1.
Câu 8:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 2 - 7i có tọa độ là
Đáp án đúng là: B
Điểm biểu diễn số phức z = 2 - 7i trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là (2; -7).
Câu 9:
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 1 và u2 = 2. Công bội của cấp số nhân đã cho là:
Đáp án đúng là: B
Công bội của cấp số nhân là
Câu 10:
Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 1 - i. Số phức z1 + z2 bằng
Đáp án đúng là: D
Vì z1 = 2 + 3i và z2 = 1 - i nên z1 + z2 = (2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i.
Câu 12:
Cho . Khẳng định nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức . Suy ra f (x) = sin x.
Câu 13:
Cho hình trụ có chiều cao h = 1 và bán kính r = 2. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
Đáp án đúng là: B
Diện tích xung quanh Sxq = 2prl = 4p.
Câu 14:
Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3, đáy ABC có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
Đáp án đúng là: B
Thể tích khối chóp S.ABC là
Câu 16:
Nghiệm của phương trình 32x + 1 = 32 - x là:
Đáp án đúng là: A
Ta có
32x + 1 = 32 - x
Û 2x + 1 = 2 - x
Û 3x = 1
Câu 17:
Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số nghiệm thực của phương trình f (x) = 1 là
Đáp án đúng là: C
Số nghiệm thực của phương trình f (x) = 1 bằng với số giao điểm của đường thẳng (d): y = 1 và đồ thị (C) của hàm số y = f (x).
Dựa vào hình vẽ, ta thấy (d) và (C) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nên phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt.
Câu 18:
Tập nghiệm của bất phương trình log5 (x + 1) > 2 là
Đáp án đúng là: A
Đkxđ: x > -1
log5 (x + 1) > 2 Û x + 1 > 52
Û x + 1 > 25 Û x > 24
Vậy tập hợp nghiệm của bất phương trình là S = (24; +¥).
Câu 20:
Tập xác định của hàm số y = log3 (x - 4) là
Đáp án đúng là: B
ĐKXĐ: x - 4 > 0 Û x > 4.
Vậy tập xác định của hàm số y = log3 (x - 4) là (4; +¥).
Câu 21:
Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Đáp án đúng là: D
Dựa vào đố thị hàm số suy ra hàm số có 3 điểm cực trị.
Câu 22:
Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là
Đáp án đúng là: B
Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là
Câu 23:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3). Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
Đáp án đúng là: C
Do điểm A(1; 2; -3) nên hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (1; 2; 0).
Câu 24:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 6. Đường kính của (S) bằng:
Đáp án đúng là: C
Ta có bán kính mặt cầu .
Suy ra đường kính mặt cầu bằng
Câu 25:
Cho tam giác OIM vuông tại I có OI = 3 và IM = 4. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón có độ dài đường sinh bằng
Đáp án đúng là: C
Ta có chiều cao hình nón h OI = 3, bán kính đáy r = IM = 4 thì độ dài đường sinh là:
Câu 26:
Đáp án đúng là: B
Ta có thể tích khối lăng trụ bằng V = B.h = 3a2.2a = 6a3.
Câu 27:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Vec-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của d?
Đáp án đúng là: C
Một véctơ chỉ phương của đường thẳng d là .
Câu 29:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = 2a và AA' = 3a (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C' bằng
Đáp án đúng là: C
A'C' Ì (A'B'C'D'),
BD // (A'B'C'D') Þ d (BD, A'C') = d (BD, (A'B'C'D'))
= d (B, (A'B'C'D')) = BB' = 3a.
Câu 30:
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ℝ?
Đáp án đúng là: B
Hàm số y = x3 + x Þ y' = 3x2 + 1 > 0 "x Î ℝ.
Do đó hàm số đồng biến trên ℝ.
Câu 31:
Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2] bằng
Đáp án đúng là: A
Xét hàm số f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2]
Þ f '(x) = 3x2 - 6x - 9.
f '(x) = 0 Û 3x2 - 6x - 9 = 0
Do có: f (-2) = 8; f (-1) = 15; f (2) = -12.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2] bằng f (-1) và bằng 15.
Câu 32:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; -3; 2) và mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 5 = 0. Mặt phẳng đi qua A và song song với (P) có phương trình là
Đáp án đúng là: D
Vì đường thẳng cần tìm song song với mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 5 = 0. Nên đường thẳng cần tìm có có VTPT và đi qua A(1; 2; -1) suy ra có phương trình:
2(x - 0) - (y + 3) + 3(z - 2) = 0
Û 2x - y + 3z - 9 = 0.
Câu 33:
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn [40; 60]. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
Đáp án đúng là: C
Từ 40 đến 60 ta có 21 số nên n (W) = 21.
Các số thỏa mãn đề bài: 45; 46; 47; 48; 49; 56; 57; 58; 59 Þ Có 9 số.
Xác suất để chọn được số thoản mãn đề bài:
Câu 34:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 0; 1) và C(2; 2; -2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng cần tìm có véctơ chỉ phương là và đi qua A(1; 2; -1). Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là:
Câu 35:
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + z + 6 = 0. Khi đó z1 + z2 + z1z2 bằng:
Đáp án đúng là: D
Vì phương trình z2 + z + 6 = 0 có hai nghiệm z1 và z2.
Theo định lí Vi-et, ta có: .
Do đó: z1 + z2 + z1z2 = -1 + 6 = 5.
Câu 37:
Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập xác định của hàm số y = log [(6 - x)(x + 2)]?
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định (6 - x)(x + 2) > 0
Û - x2 + 4x + 12 > 0 Û -2 < x < 6.
Mà x Î ℤ Þ x Î {-1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}.
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên thuộc tập xác định của hàm số y = log [(6 - x)(x + 2)].
Câu 38:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, AB = và AA' = 1 (tham khảo hình bên).
Góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) bằng
Đáp án đúng là: D
Ta có
DABC vuông tại B nên .
Trong tam giác vuông C'BC, .
Do đó . Vậy
Câu 39:
Cho hàm số f (x) = mx4 + 2(m - 1)x2 với m là tham số thực. Nếu thì bằng
Đáp án đúng là: C
f '(x) = 4mx3 + 4(m - 1)x
Do f (x) là hàm đa thức và
Thay vào hàm số ban đầu ta được
Þ y' = 2x3 - 2x = 2x(x - 1)(x + 1)
Ta có BBT:
Vậy với , thì .
Dựa vào BBT ta có
Câu 40:
Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng hai số nguyên b thỏa mãn (5b - 1)(a.2b - 5) < 0?
Đáp án đúng là: B
(5b - 1)(a.2b - 5) = 0
+) TH1:
Vì hàm số y = ax (a > 1) là hàm đồng biến nên
(5b - 1)(a.2b - 5) < 0
Yêu cầu của bài toán suy ra
Mà a Î ℕ* Þ a Î {21; 22; ...; 40}
+) TH2:
Vì hàm số y = ax (a > 1) là hàm đồng biến nên
(5b - 1)(a.2b - 5) < 0
Yêu cầu của bài toán suy ra
Mà a Î ℕ* Þ a = 1
Vậy có 21 số nguyên a thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Câu 41:
Biết F (x) và G (x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên ℝ và . Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bỡi các đường y = F (x), y = G (x), x = 0 và x = 5. Khi S = 20 thì a bằng?
Đáp án đúng là: A
Đặt G (x) = F (x) + C (C là hằng số).
Suy ra C = a.
Theo giả thiết 5a = 20 Û a = 4.
Câu 42:
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a. Góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') bằng 30°. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án đúng là: D
Diện tích đáy:
Ta có:
Khi đó
Vậy, thể tích khối lăng trụ đã cho là:
.
Câu 43:
Cho hình nón có góc ở đỉnh bằng 120° và chiều cao bằng 1. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Diện tích của (S) bằng
Đáp án đúng là: A
Xét tam giác vuông SMO có
Kẻ đường kính SS' của mặt cầu ngoại tiếp hình nón.
Tam giác SMS' vuông tại M có MO ^ SS'
Þ MO2 = OS.OS' Þ
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là
Diện tích (S) là S = 4pR2 = 4p22 = 16p.
Câu 44:
Xét tất cả các số thực x, y sao cho với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + 4x - 3y bằng
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Û (9 - y2)log7 49 ³ (4x - log7 a2)log7 a
Û 2(9 - y2) ³ 2(2x - log7 a).log7 a (1)
Đặt t = log7 a, khi a > 0 thì t Î ℝ, (1) trở thành t2 - 2x.t + 9 - y2 ³ 0 (2)
(1) đúng với mọi a > 0 Û (2) đúng với mọi t Î ℝ
Û D¢ = x2 - 9 + y2 £ 0 Û x2 + y2 £ 9
+) Xét (4x - 3y)2 £ (16 + 9)(x2 + y2)
Þ (4x - 3y)2 £ 225 Þ 4x - 3y £ 15
+) Suy ra P = x2 + y2 + 4x - 3y £ 9 + 15 = 24 đẳng thức xảy ra khi
Vậy GTLN của P bằng 24.
Câu 45:
Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn |z1| = |z2| = 2|z3| = 2 và 3z1z2 = 4z3(z1 + z2). Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng
Đáp án đúng là: A
Ta có 3z1z2 = 4z3(z1 + z2) Þ |3z1z2| = |4z3(z1 + z2)|
Û |3z1z2| = |4z3(z1 - (-z2))|
Û |z1 - (-z2)| = 3
Lấy D đối xứng với B qua O, suy ra D biểu diễn (-z2).
Ta có |z1 - (-z2)| = 3 Û AD = 3
DABD có trung tuyến nên DABD vuông tại A
+) 3z1z2 = 4z3(z1 + z2) Û z1(3z2 - 4z3) = 4z2z3
Þ |z1||3z2 - 4z3| = |4z2z3|
Þ |3z2 - 4z3| = 4
Áp dụng định lí cosin cho DBOC ta có:
Tương tự ta tính được
Vậy
Câu 46:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn và ?
Đáp án đúng là: A
Gọi z = a + bi với a; b Î ℝ
Ta có:
Mặt khác (**)
Vì nên
Nên từ (**)
Với |z - 2i| = 0 Þ z = 2i (thoả mãn (*))
Với |z + 2| = |z - 2i| Þ (a + 2)2 + b2 = a2 + (b - 2)2
.Û a = -b thay vào (*) ta được:
b2 + b2 = 2|b| Û b2 = |b|
Vậy có tất cả 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 47:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; -1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Phương trình của (P) là:
Đáp án đúng là: A
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P), A' là hình chiếu vuông góc của điểm A lên trục Oy suy ra A(0; 1; 0). Khi đó khoảng cách từ A đến (P) là đoạn thẳng AH £ AA'. Độ dài đoạn thẳng AH dài nhất khi H và A' trùng nhau. Khi đó mặt phẳng (P) nhận làm véc tơ pháp tuyến. Suy ra phương trình mặt phẳng (P) đi qua A'(0; 1; 0) có VTPT: là:
2(x - 0) + 0(y - 1) + (-1)(z - 0) = 0
Û 2x - z = 0.
Câu 48:
Cho hàm số bậc bốn y = f (x). Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g '(x) thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là: D
+ Ta có:
+ Từ bảng biến thiên ta thấy g (x) > 0, "x Î ℝ suy ra f (x) = eg (x) > 1, "x Î ℝ
+ Phương trình f '(x) = g '(x) Û g '(x)f (x) = g '(x)
Û g '(x)[f (x) - 1] = 0 Û g '(x) = 0
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g '(x) là
Câu 49:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(4; 1; 2) bán kính bằng 2. Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oy sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng
Đáp án đúng là: A
Ta có: d (I, (OMN)) = 2 nên mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại điểm A(4; 1; 0), đồng thời đường thẳng MN tiếp xúc với (S) cũng tại điểm A(4; 1; 0) do MN Ì (Oxy)
Gọi M(m; 0; 0) và N(0; n; 0), m, n > 0
Do A Î MN nên
Þ (m - 4)(n - 1) = 4
Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OI:
Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OM: .
Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn ON: .
Do đó tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN là
Theo giả thuyết cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng nên
Û n4 - 4n3 - 10n2 + 28n + 49 = 0
Câu 50:
Đáp án đúng là: D
Xét hàm số y = x4 + 2ax2 + 8x trên ℝ.
Ta có: f '(x) = 4x3 + 4ax + 8 (*)
f '(x) = 0 Û 4x3 + 4ax + 8 = 0 (Do x = 0 không thỏa mãn nên x ¹ 0)
Xét hàm số: trên ℝ \ {0}
Bảng biến thiên của hàm số g (x):
Dễ thấy phương trình f (x) = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt, trong đó có ít nhất một nghiệm đơn x = 0 nên yêu cầu bài toán
Û Hàm số f (x) có đúng một điểm cực trị
Û Phương trình a = g (x) có một nghiệm đơn duy nhất Û a ³ -3.
Do a nguyên âm nên a Î {-3; -2; -1}.
Vậy có 3 giá trị nguyên âm của tham số a thỏa mãn yêu cầu bài toán