Giải Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 - Mã đề 101
-
17659 lượt thi
-
50 câu hỏi
-
60 phút
Danh sách câu hỏi
Câu 2:
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy là 3a2 và chiều cao 2a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Câu 4:
Cho . Khẳng định nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: C
Áp dụng công thức . Suy ra f (x) = sin x.
Câu 5:
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là: B
Dựa vào bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên các khoảng (-¥; -1) và (0; 1).
Câu 6:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 6. Đường kính của (S) bằng:
Đáp án đúng là: C
Ta có bán kính mặt cầu . Suy ra đường kính mặt cầu bằng
Câu 7:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -3). Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là
Đáp án đúng là: C
Do điểm A(1; 2; -3) nên hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là (1; 2; 0).
Câu 8:
Cho khối chóp S.ABC có chiều cao bằng 3, đáy ABC có diện tích bằng 10. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
Đáp án đúng là: C
Thể tích khối chóp S.ABC là:
Câu 9:
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 1 và u2 = 2. Công bội của cấp số nhân đã cho là:
Đáp án đúng là: B
Ta có u2 = u1.q
Câu 10:
Cho hình trụ có chiều cao h = 1 và bán kính r = 2. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
Đáp án đúng là: A
Ta có Sxq = 2prh = 4p.
Câu 11:
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình:
Đáp án đúng là: C
Ta có suy ra tiệm cận ngang của đồ là đường thẳng y = 1.
Câu 12:
Tập nghiệm của bất phương trình log5 (x + 1) > 2 là
Đáp án đúng là: D
ĐKXĐ: x > -1
log5 (x + 1) > 2
Û log5 (x + 1) > log5 25
Û x + 1 > 25 Û x > 24.
Câu 13:
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau?
Đáp án đúng là: D
Từ BBT ta nhận thấy hàm số có hai điểm cực trị và đồng biến trên khoảng (1; +¥). Do đó hàm số là hàm đa thức bậc ba có hệ số a > 0.
Câu 15:
Cho hàm số f (x) = ax4 + bx2 + c có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng (d) có phương trình y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f (x) tại 2 điểm phân biệt.
Suy ra phương trình f (x) = 1 có 2 nghiệm thực phân biệt.
Câu 16:
Tập xác định của hàm số y = log3 (x - 4) là
Đáp án đúng là: C
Điều kiện: x - 4 > 0 Û x > 4.
Tập xác định: D = (4; +¥).
Câu 18:
Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là
Đáp án đúng là: C
Số các tổ hợp chập 3 của 12 phần tử là
Câu 19:
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau:
Điểm cực tiểu của hàm số đã cho là:
Đáp án đúng là: D
Từ bảng biến thiên ta suy ra: điểm cực tiểu của hàm số đã cho là x = 1.
Câu 20:
Đáp án đúng là: B
Phương trình của mặt phẳng (Oyz) là: x = 0.
Câu 21:
Nghiệm của phương trình 32x + 1 = 32 - x là:
Đáp án đúng là: A
32x + 1 = 32 - x Û 2x + 1 = 2 - x
Û 3x = 1
Câu 22:
Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là đường cong trong hình bên.
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
Đáp án đúng là: B
Dựa vào hình dáng của đồ thị. Ta thấy hàm số đã cho có 3 cực trị.
Câu 23:
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng . Vec-tơ nào dưới đây là một véc-tơ chỉ phương của d?
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa phương trình đường thẳng. Ta có là một véc-tơ chỉ phương của d .
Câu 24:
Cho tam giác OIM vuông tại I có OI = 3 và IM = 4. Khi quay tam giác OIM quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình nón có độ dài đường sinh bằng
Đáp án đúng là: C
Ta có chiều cao hình nón h OI = 3, bán kính đáy r = IM = 4 thì độ dài đường sinh là:
Câu 25:
Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z = 2 - 7i có tọa độ là
Đáp án đúng là: C
Điểm biểu diễn số phức z = 2 - 7i trên mặt phẳng tọa độ có tọa độ là (2; -7).
Câu 26:
Cho hai số phức z1 = 2 + 3i và z2 = 1 - i. Số phức z1 + z2 bằng
Đáp án đúng là: B
Vì z1 = 2 + 3i và z2 = 1 - i nên z1 + z2 = (2 + 3i) + (1 - i) = 3 + 2i.
Câu 27:
Cho hàm số f (x) = ex + 2x. Khẳng định nào dưới đây đúng?
Đáp án đúng là: A
Ta có:
Câu 29:
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 0; 1) và C(2; 2; -2). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có phương trình là
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Đường thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) có véc-tơ chỉ phương là
nên có phương trình:
Câu 30:
Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2] bằng
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2]
Þ f '(x) = 3x2 - 6x - 9.
f '(x) = 0 Û 3x2 - 6x - 9 = 0
Ta có:
f (-2) = 8; f (-1) = 15; f (2) = -12.
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x3 - 3x2 - 9x + 10 trên đoạn [-2; 2] bằng 15.
Câu 31:
Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc tập xác định của hàm số y = log [(6 - x)(x + 2)]?
Đáp án đúng là: A
Điều kiện xác định: (6 - x)(x + 2) > 0
Û - x2 + 4x + 12 > 0 Û -2 < x < 6.
Vậy có tất cả 7 giá trị nguyên thuộc tập xác định của hàm số y = log [(6 - x)(x + 2)].
Câu 32:
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 + z + 6 = 0. Khi đó z1 + z2 + z1z2 bằng:
Đáp án đúng là: B
Vì phương trình z2 + z + 6 = 0 có hai nghiệm z1 và z2.
Theo định lí Vi-et, ta có: .
Do đó: z1 + z2 + z1z2 = -1 + 6 = 5.
Câu 33:
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AC = 2, AB = và AA' = 1 (tham khảo hình bên).
Góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) bằng
Đáp án đúng là: B
Tam giác ABC vuông tại B nên
Ta có:
Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) là góc
Xét DC'BC vuông tại C ta có:
Vạy góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và (ABC) là 45°.
Câu 34:
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = 2a và AA' = 3a (tham khảo hình bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và A'C' bằng
Đáp án đúng là: D
A'C' Ì (A'B'C'D'),
BD // (A'B'C'D')
Þ d (BD, A'C') = d (BD, (A'B'C'D'))
= d (B, (A'B'C'D')) = BB' = 3a.
Câu 36:
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên ℝ?
Đáp án đúng là: D
Ta có: y = x3 + x Þ y' = 3x2 + 1 > 0 "x Î ℝ.
Câu 37:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; -3; 2) và mặt phẳng (P): 2x - y + 3z + 5 = 0. Mặt phẳng đi qua A và song song với (P) có phương trình là
Đáp án đúng là: D
Mặt phẳng đi qua A và song song với (P) có phương trình là
2x - (y + 3) + 3(z - 2) = 0
Û 2x - y + 3z - 9 = 0.
Câu 38:
Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp các số tự nhiên thuộc đoạn [40; 60]. Xác suất để chọn được số có chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục bằng
Đáp án đúng là: D
Từ 40 đến 60 ta có 21 số nên n (W) = 21
Các số thỏa mãn đề bài: 45; 46; 47; 48; 49; 56; 57; 58; 59 Þ Có 9 số.
Xác suất để chọn được số thoản mãn đề bài:
Câu 39:
Có bao nhiêu số nguyên dương a sao cho ứng với mỗi a có đúng ba số nguyên b thỏa mãn (3b - 3)(a.2b - 18) < 0?
Đáp án đúng là: B
+) TH1:
Để có đúng ba số nguyên b thì
Trường hợp này có 1 giá trị a = 1 nguyên thỏa mãn.
+) TH2:
Để có đúng ba số nguyên b thì
Trường hợp này có 144 - 72 = 72 giá trị a nguyên thỏa mãn.
Vậy số giá trị nguyên của a là: 72 + 1 = 73.
Câu 40:
Cho hàm số f (x) = (m - 1)x4 - 2mx2 + 1 với m là tham số thực. Nếu thì bằng
Đáp án đúng là: B
Ta có:
f '(x) = 4(m - 1)x3 - 4mx = 4x[(m - 1)x2 - m]
f '(x) = 0 ( m = 1 không thỏa yêu cầu bài toán)
Vì Þ x = 2 là nghiệm của f '(x) = 0
f (0) = 1;
Vậy
Câu 41:
Biết F (x) và G (x) là hai nguyên hàm của hàm số f (x) trên ℝ và Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = F (x), y = G (x), x = 0 và x = 3. Khi S = 15 thì a bằng:
Đáp án đúng là: D
Ta có:
F (x), G (x) là nguyên hàm của f (x) Þ F (x) = G (x) + C
Þ |C| = 5 Þ C = ±5
= F (3) - G (0) - C = F (3) - G (0) + a
Þ a = -C = 5 (do a > 0)
Câu 42:
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; -2). Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Ox sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Phương trình của (P) là
Đáp án đúng là: D
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P) và trục Ox .
Ta có: d (A; (P)) = AH £ AK.
Suy ra khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất khi H º K, hay mặt phẳng (P) nhận véc-tơ làm véc-tơ pháp tuyến.
K là hình chiếu của A trên trục Ox suy ra: K(1; 0; 0), .
Mặt phẳng (P) đi qua K có phương trình:
-2(y - 0) + 2(z + 0) = 0 Û y - z = 0.
Câu 43:
Cho hình nón có góc ở đỉnh là 120° và chiều cao bằng 4. Gọi (S) là mặt cầu đi qua đỉnh và chứa đường tròn đáy của hình nón đã cho. Tính diện tích của (S) bằng:
Đáp án đúng là: B
Ta có SH = 4
Có OS là bán kính mặt cầu cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp DSAB
Suy ra:
Vậy diện tích mặt cầu: S = 4p.82 = 256p.
Câu 44:
Xét tất cả các số thực x, y sao cho với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x - 3y bằng
Đáp án đúng là: C
Ta có:
Û (4x - 2log5 a)log5 a £ 2(40 - y2)
Coi (*) là bất phương trình bậc hai ẩn log5 a
Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì
D' £ 0 Û x2 - (40 - y2) £ 0 Û x2 + y2 - 40 £ 0 (1)
Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C1) tâm O(0; 0), bán kính .
Mặt khác P = x2 + y2 + x - 3y Û x2 + y2 + x - 3y - P = 0 là phương trình đường tròn (C2) tâm , bán kính .
Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C2) với hình tròn (C1) thì
Vậy Pmax = 60.
Câu 45:
Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn |z1| = |z2| = 2|z3| = 2 và 8(z1 + z2)z3 = 3z1z2. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của z1, z2, z3 trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng
Đáp án đúng là: B
Ta có: |z1| = |z2| = 2 Þ OA = 2OB; |z3| = 1 Þ OC = 1.
+) 8(z1 + z2)z3 = 3z1z2 Û
Gọi H là trung điểm của AB, biểu diễn số phức , ta có:
+) |z1 + z2|2 + |z1 - z2|2 = 2(|z1|2 + |z2|2)
+) 8(z1 + z2)z3 = 3z1z2 Û 8z1z3 + 8z2z3 = 3z1z2
Đặt , suy ra: z1z3 + z2z3 = 2az1z2 Û z1(z3 - az2) = (az1- z3)z2
Þ |z1||z3 - az2| = |az1- z3||z2|
Û |z3 - az2|2 = |az1- z3|2 Û
Suy ra: AC2 = BC2 Û AC = BC hay tam giác ABC cân tại C
Vậy
Câu 46:
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = 2a. Góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') bằng 30°. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án đúng là: D
Ta có:
Vậy góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ACC'A') là .
Trong tam giác vuông (BC'A) ta có
Trong tam giác vuông ACC' ta có .
Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là:
Câu 47:
Cho hàm số y = f (x). Biết rằng hàm số g (x) = ln f (x) có bảng biến thiên như sau:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f '(x) và y = g '(x) thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng là: D
Ta có f (x) = eg (x).
Từ bảng biến thiên suy ra: g (x) ³ ln 2 Þ eg (x) ³ eln2 = 2.
+) f '(x) = g '(x)eg (x).
Phương trình hoành độ giao điểm của f '(x) và g '(x):
f '(x) - g '(x) = 0 Û g '(x)eg (x) - g '(x) = 0Û
g '(x)(eg (x) - 1) = 0 Û g '(x) = 0
Mặt khác từ bảng biến thiên ta cũng có: g '(x) > 0, "x Î (x1; x2); g '(x) < 0, "x Î (x2; x3).
Suy ra:
Câu 48:
Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn và ?
Đáp án đúng là: D
Ta có
Suy ra |z + 4i| = 0 hoặc |z + 4i| = |z - 4|.
Nếu |z + 4i| = 0 thì z = - 4i : thỏa mãn.
Nếu |z + 4i| = |z - 4| thì đặt z = x + yi với x, y Î ℝ ta được
Vậy có 4 số phức thỏa mãn là 0, 2 - 2i, - 2 + 2i, - 4i.
Câu 49:
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; 3; 9) bán kính bằng 3. Gọi M , N là hai điểm lần lượt thuộc hai trục Ox, Oz sao cho đường thẳng MN tiếp xúc với (S), đồng thời mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OIMN có bán kính bằng . Gọi A là tiếp điểm của MN và (S), giá trị AM.AN bằng
Đáp án đúng là: B
Ta có I(1; 3; 9) và R = 3. Suy ra d (I, (OMN)) = 3.
Vậy mặt cầu (S) tiếp xúc (OMN) tại A(1; 0; 9).
Gọi tọa độ M(m; 0; 0) và N(0; 0; n).
Ta có
Do A, M, N thẳng hàng nên (m - 1)(n - 9) = 9 (1).
Do IA ^ (OMN) và H là trung điểm MN thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp DOMN.
Suy ra K là tâm mặt cầu ngoại tiếp IOMN Þ KH Ì (IMN)
bán kính đường tròn ngoại tiếp DIMN bằng (đường tròn lớn)
Û ((m - 1)2 + 90)((n - 9)2 + 10) = 1521 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
Đặt , ta có hệ phương trình
Vậy
Câu 50:
Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |x4 - 2mx2 + 64x| có đúng ba điểm cực trị
Đáp án đúng là: C
Xét hàm số y = x4 - 2mx2 + 64x.
Ta có: y' = 4x3 - 4mx + 64 (*)
Phương trình hoành độ giao điểm:
x4 - 2mx2 + 64x = 0
Phương trình (1) luôn có một nghiệm x ¹ 0 nên đồ thị hàm số y = x4 - 2mx2 + 64x cắt Ox ít nhất hai điểm và .
Suy ra để hàm số y = |x4 - 2mx2 + 64x| có 3 điểm cực trị thì hàm số y = x4 - 2mx2 + 64x có đúng một điểm cực trị Û phương trình (*) có đúng một nghiệm đơn
có đúng một nghiệm đơn.
Xét hàm số:
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra m £ 12.
Suy ra:
Vậy có 12 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = |x4 - 2mx2 + 64x| có đúng ba điểm cực trị.