Trong khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ phương trình ${\sin }^{2}4x+3\sin 4x\cos 4x-4{\cos }^{2}4x=0$ có:

Trường hợp 1: $\cos 4x=0$

$\iff 4x=\frac{\pi }{2}+k\pi$

$\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right)$

 

Khi đó, ${\sin }^{2}4x=1$

Thay vào phương trình ta có: 1 + 3.0 – 4.0 = 0 ↔ 1 = 0 (vô lí)

$\iff x=\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right)$ không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: $\cos 4x\ne 0$

$\iff x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right)$

Chia cả 2 vế của phương trình cho cos²4x ta được:

$\frac{{\sin }^{2}4x}{{\cos }^{2}4x}+3\frac{\sin 4x}{\cos 4x}-4=0$

 

$\iff {\tan }^{2}4x+3\tan 4x-4=0$

Đặt tan 4x = t. Khi đó phương trình trở thành:

$t^2+3t-4=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}t=1\\ t=-4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}\tan 4x=1\\ \tan 4x=-4\end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}4x=\frac{\pi }{4}+k\pi \\ 4x=\arctan \left(-4\right)+k\pi \end{array}\right.$

$\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\\ x=\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{k\pi }{4}\end{array}\right.\left(k\in Z\right)$

 

 

Xét nghiệm $x=\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right),x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{c}0<\frac{\pi }{16}+\frac{k\pi }{4}<\frac{\pi }{2}\\ k\in Z\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}0<\frac{1}{16}+\frac{k}{4}<\frac{1}{2}\\ k\in Z\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}<k<\frac{7}{4}\\ k\in Z\end{array}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{array}{c}k=0\\ k=1\end{array}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{\pi }{16}\\ x=\frac{5\pi }{16}\end{array}\right.$

Xét nghiệm $x=\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{k\pi }{4}\left(k\in Z\right),x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{c}0<\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{k\pi }{4}<\frac{\pi }{2}\\ k\in Z\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)<\frac{k\pi }{4}<\frac{\pi }{2}-\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)\\ k\in Z\end{array}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{array}{c}0,42<k<2,42\\ k\in Z\end{array}\right.$

 

$\iff \left\{\begin{array}{c}k=1\\ k=2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{c}x=\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{\pi }{4}\\ x=\frac{1}{4}\arctan \left(-4\right)+\frac{\pi }{2}\end{array}\right.$

 

 

Vậy phương trình có nghiệm thuộc khoảng $\left(0;\frac{\pi }{2}\right)$

Đáp án cần chọn là: D