Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O).

a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn.

b) Gọi D là giao điểm của AH và BC. Chứng minh AE.AC = AH.AD.

c) Gọi M là hình chiếu của D lên BE. Qua M vẽ đường thẳng vuông góc với AK, đường thẳng này cắt CF tại N. Chứng minh: AK ^ EF và tứ giác HNDM nội tiếp.

a) Ta có: $\widehat{BFC}$ = 90° (CF là đường cao)

 $\widehat{BEC}$= 90° (BE là đường cao)

Xét tứ giác BFEC có  $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}$= 90°

Mà 2 đỉnh E, F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau.

Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Ta có BE, CF là đường cao trong ∆ABC và BE, CF cắt nhau tại H.

Khi đó, H là trực tâm ∆ABC nên AD là đường cao.

Do đó  $\widehat{ADC}$= 90°.

Xét ∆AHE và ∆ACD có:

 $\widehat{DAC}$ là góc chung.

 $\widehat{AEH}=\widehat{ADC}$(= 90°).

Do đó ∆AHE  $\backsim$ ∆ACD (g.g).

Suy ra  $\frac{AH}{AE}=\frac{AC}{AD}$ (cặp cạnh tương ứng).

Vậy AE.AC = AH.AD (đpcm).

c) Gọi Ax là tiếp tuyến đường tròn tâm O.

Ta có:  $\widehat{ABC}=\widehat{xAC}$(cùng chắn cung AC).

 $\widehat{FBC}+\widehat{FEC}=180°$(tứ giác BFEC nội tiếp).

Hay  $\widehat{ABC}+\widehat{FEC}=180°$

Mà  $\widehat{CEF}+\widehat{AEF}=180°$

Suy ra $\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$mà  $\widehat{ABC}=\widehat{xAC}$

Do đó  $\widehat{xAC}=\widehat{AEF}$ Þ EF // Ax

Mà Ax ^ OA(tiếp tuyến đường tròn tâm O) hay Ax ^ AK (AK là đường kính)

Suy ra EF ^ AK.

Ta có: AK ^ EF (chứng minh trên) mà MN ^ AK Þ EF // MN

Suy ra  $\widehat{FEM}=\widehat{EMN}$ mà  $\widehat{FEM}=\widehat{FCB}$ (cùng chắn cung BF).

Nên  $\widehat{EMN}=\widehat{FCB}$

Do đó  $\widehat{NMD}=\widehat{NHD}$.

Vậy HNDM nội tiếp (cùng nhìn cạnh ND dưới hai góc bằng nhau).