Giá trị nào của m để phương trình (m2 – m – 6)x2 – 2(m + 2)x – 4 = 0 có nghiệm?
A. m ∈ (–∞; –2) \ {3};
B. m ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞);
C. m ∈ [2; +∞) \ {3};
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình f(x) = (m2 – m – 6)x2 – 2(m + 2)x – 4 = 0.
+) Trường hợp 1: a = 0 ⇔ m2 – m – 6 = 0
⇔ m = 3 hoặc m = –2.
• Với m = 3, ta có 0.x2 – 2.(3 + 2)x – 4 = 0
⇔ –10x – 4 = 0 ⇔ x = .
Do đó m = 3 thỏa mãn.
• Với m = –2, ta có 0.x2 – 2(–2 + 2)x – 4 = 0.
⇔ 0.x – 4 = 0 (vô nghiệm)
Do đó m = –2 không thỏa mãn.
+) Trường hợp 2: a ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 và m ≠ –2.
f(x) là tam thức bậc hai ẩn x có:
∆’ = (m + 2)2 – (m2 – m – 6).(–4)
= m2 + 4m + 4 + 4m2 – 4m – 24
= 5m2 – 20
Phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0
⇔ 5m2 – 20 ≥ 0
Tam thức bậc hai f(m) = 5m2 – 20 có ∆ = 02 – 4.5.(–20) = 400 > 0.
Do đó f(m) có hai nghiệm phân biệt là: m1 = –2, m2 = 2.
Ta lại có a = 5 > 0.
Vì vậy:
⦁ f(m) dương với mọi m thuộc hai khoảng (–∞; –2) và (2; +∞);
⦁ f(m) âm với mọi m thuộc khoảng (–2; 2);
⦁ f(m) = 0 khi m = –2 hoặc m = 2.
Do đó bất phương trình 5m2 – 20 ≥ 0 có tập nghiệm là (–∞; –2] ∪ [2; +∞).
So với điều kiện m ≠ 3 và m ≠ –2, ta nhận m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3}.
Kết hợp cả hai trường hợp, ta thu được m ∈ (–∞; –2) ∪ [2; +∞) \ {3}.
Vậy ta chọn phương án D.
Lợi nhuận I thu được từ việc giảm giá một loại xe gắn máy của một doanh nghiệp tư nhân là một tam thức bậc hai I(x) = 200x2 – 1400x + 2400, trong đó x là số tiền giảm giá (triệu đồng) và 0 ≤ x ≤ 5. Với số tiền giảm giá là bao nhiêu thì doanh nghiệp đó không có lãi?
Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 150 m. Để diện tích của mảnh đất đó lớn hơn 650 m2 thì chiều dài của mảnh đất phải:
Với giá trị nào của tham số m thì x = 2m + 3 là một nghiệm của bất phương trình x2 + 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 ≤ 0?
