Trên đường tròn tâm O bán kính bằng 1 lấy 2n+1 điểm $P_i,i=1,2,\mathrm{...},2n+1\left(n\in N\right)$  ở cùng phía với đối với đường kính nào đó. Chứng minh rằng $\left|\sum _{i=1}^{2n+1}\overrightarrow{O{P}_i}\right|\ge 1$

b) Tìm quỹ tích điểm M thỏa mãn : $\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}\right|$

Cho tứ giác ABCD. Với số k tùy ý, lấy các điểm M và N sao cho $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB},\overrightarrow{DN}=k\overrightarrow{DC}$ . Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng MN khi k thay đổi.

Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|$

Cho tam giác ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau :

a) $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right|$

Trên hai tia Ox và Oy của góc xOy lấy hai điểm M, N sao cho $OM+ON=a$  với a là số thực cho trước. tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thằng MN

Cho $\Delta ABC$  và $\Delta A\text{'}B\text{'}C\text{'}$  có cùng trọng tâm G, gọi $G_1,G_2,G_3$  là trọng tâm các tam giác$BCA\text{'},CAB\text{'},ABC\text{'}$ .Chứng minh rằng $\Delta G_1{G}_2{G}_3$  cũng có trọng tâm G

b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=k\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}\right)$  với k là số thực thay đổi

Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: $a^2\overrightarrow{GA}+b^2\overrightarrow{GB}+c^2\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$  là tam giác gì ?

Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$.tứ giác ABCD là hình gì?

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD. Các đoạn thẳng AN và BM cắt nhau tại P. Biết $\overrightarrow{PM}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BM};\overrightarrow{AP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AN}$ . tứ giác ABCD là hình gì?

Cho tam giác ABC  có A' là điểm đối xứng của A qua B, B' là điểm đối xứng của B qua C, C' là điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A'B'C' có cùng trọng tâm.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Cho các tam giác ABC, điểm O nằm trong tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$  lần lượt là hình chiếu của O lên BC, CA, AB. Lấy các điểm $A_2,B_2,C_2$  lần lượt thuộc các tia $O{A}_1,O{B}_1,O{C}_1$  sao cho $O{A}_2=a,O{B}_2=b,O{C}_2=c$ . Chứng minh O là trọng tâm tam giác $A_2{B}_2{C}_2$

Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất $T=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|$

Cho tam giác ABC đều và M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi $A_1,B_1,C_1$  lần lượt là điểm đối xứng M qua BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác ABC và $A_1,B_1,C_1$  có cùng trọng tâm.