Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có \(\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{{\cos }^2}x + \sin x.\cos x + 1}}{{{{\cos }^4}x + \sin x.{{\cos }^3}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2{{\cos }^2}x + \sin x.\cos x + {{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x\left( {{{\cos }^2}x + \sin x.\cos x} \right)}}dx} \)
\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2 + \tan x + {{\tan }^2}x}}{{{{\cos }^2}x\left( {1 + \tan x} \right)}}dx = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{2 + \tan x + {{\tan }^2}x}}{{\left( {1 + \tan x} \right)}}} d\left( {\tan x} \right)} \)
\( = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( {\tan x + \frac{2}{{\left( {1 + \tan x} \right)}}} \right)d\left( {\tan x} \right) = \frac{{{{\tan }^2}x}}{2}} \left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\frac{\pi }{4}}^{\scriptstyle\frac{\pi }{3}\atop\scriptstyle}} \right. + 2\ln \left| {\tan x + 1} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}\)
\( = 1 - 2\ln 2 + 2\ln \left( {\sqrt 3 + 1} \right).\) Suy ra \(a = 1,b = - 2,c = 2\) nên \(abc = - 4.\)
Chọn C.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng
