Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{e^x} + m,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 0\\2x\sqrt {3 + {x^2}} ,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0\end{array} \right.\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Biết \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = ae + b\sqrt 3 + c\left( {a,b,c \in \mathbb{Q}} \right)\). Tổng \(T = a + b + 3c\) bằng
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Do hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên hàm số liên tục tại \(x = 0\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow 1 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 1.\)
Ta có \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)} dx = \int_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int_0^1 {f\left( x \right)dx = {I_1} + {I_2}} \)
\({I_1} = \int_{ - 1}^0 {2x\sqrt {3 + {x^2}} dx} = \int_{ - 1}^0 {{{\left( {3 + {x^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}d\left( {3 + {x^2}} \right) = \frac{2}{3}\left( {3 + {x^2}} \right)\sqrt {3 + {x^2}} \left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle - 1}^{\scriptstyle0\atop\scriptstyle}} \right. = 2\sqrt 3 - \frac{{16}}{3}.} \)
\({I_2} = \int_0^1 {\left( {{e^x} - 1} \right)dx} = \left( {{e^x} - x} \right)\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle1\atop\scriptstyle}} \right. = e - 2.\)
Suy ra \(\int_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = {I_1} + {I_2} = e + 2\sqrt 3 - \frac{{22}}{3}.\) Suy ra \(a = 1;b = 2;c = - \frac{{22}}{3}.\)
Vậy \(T = a + b + 3c = 1 + 2 - 22 = - 19.\)
Chọn C.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
