Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) ta có \({x^2} + xf\left( {{e^x}} \right) + f\left( {{e^x}} \right) = 1 \Rightarrow f\left( {{e^x}} \right) = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + x}} = 1 - x.\)
Đặt \(\ln x = t \Leftrightarrow x = {e^t} \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}.\)
Đổi cận \(x = \sqrt e \Rightarrow t = \frac{1}{2};x = e \Rightarrow t = 1.\)
Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {t.f\left( {{e^t}} \right)dt} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {t\left( {1 - t} \right)dt} = \frac{1}{{12}}.\)
Chọn C.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng
