Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}} }}dx = \sqrt a - \sqrt b } ;\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của biểu thức \({a^b} + {b^a}\) bằng
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Giá trị của \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}} }}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} }}} \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\)
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} \Rightarrow 2tdt = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx \Rightarrow \frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = - tdt.\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = \sqrt 3 ,x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 .\)
Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\frac{{x + 3}}{{x + 1}}} }}\frac{{dx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \int\limits_{\sqrt 3 }^{\sqrt 2 } {\frac{1}{t}\left( { - t} \right)dt} = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\sqrt 3 } {dt} = t\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\sqrt 2 }^{\scriptstyle\sqrt 3 \atop\scriptstyle}} \right.} = \sqrt 3 - \sqrt 2 .\)
Mà \(\int\limits_0^1 {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x + 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^3}} }}dx} = \sqrt a - \sqrt b \) nên suy ra \(a = 3,b = 2.\)
Từ đó ta có giá trị \({a^b} + {b^a} = {3^2} + {2^3} = 17.\)
Chọn A.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
