Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Biến đổi \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3} + 1}}} dx = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\sqrt {\frac{x}{{{x^3}\left( {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)}}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{1}{{x.\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} }}dx} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} }}.\frac{1}{{{x^4}}}dx} } } \).
Đặt \(u = \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^3}}}} \Rightarrow {u^2} = 1 + \frac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow 2udu = - \frac{3}{{{x^4}}}dx\) và \({x^3} = \frac{1}{{{u^2} - 1}}.\)
Đổi cận \(x = \frac{1}{2} \Rightarrow u = 3;x = 1 \Rightarrow u = \sqrt 2 .\)
Ta có \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{\frac{{2udu}}{3}}}{{\left( {{u^2} - 1} \right).u}}} = \frac{2}{3}\int\limits_{\sqrt 2 }^3 {\frac{{du}}{{{u^2} - 1}}} = \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{u - 1}}{{u + 1}}} \right|\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\sqrt 2 }^{\scriptstyle3\atop\scriptstyle}} \right. = \frac{1}{3}\ln \left( {\frac{3}{2} + \sqrt 2 } \right).\)
Suy ra \(a = 3,b = 2.\) Vậy \(P = 2\left( {a + b} \right) = 10.\)
Chọn B.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
