Cho \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 - 2\cos 2x} \).
Giá trị tích phân \(P = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right)dx} \) là
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
Ta có \(P = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( { - x} \right)dx} \)
\( \Rightarrow 2P = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left[ {f\left( x \right) + f\left( { - x} \right)} \right]dx} = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sqrt {2 - 2\cos 2x} dx = 4\int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\sin x} \right|} dx.} \)
Hay \(P = 2\int\limits_0^\pi {\sin xdx} - 2\int\limits_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sin x} dx = - 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle0}^{\scriptstyle\pi \atop\scriptstyle}} \right. + 2\cos x\left| {_{\scriptstyle\atop\scriptstyle\pi }^{\frac{{3\pi }}{2}}} \right. = 6.\)
Chọn C.
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\ln \left( {\sin x + 2\cos x} \right)}}{{{{\cos }^2}x}}} dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\pi \) với \(a,b,c\) là các số hữu tỉ.
Giá trị của abc bằng
Cho \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { - 6;6} \right]\).
Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 8} \) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right)dx = 3.} \)
Tính \(\int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right)dx} .\)
Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x + 3\sin x + 2}}dx} = a\ln 2 + b\ln 3,\) với \(a,b\) là các số nguyên.
Giá trị của \(P = 2a + b\) là
Biết \(I = \int_0^{\ln 2} {\frac{{dx}}{{{e^x} + 3{e^{ - x}} + 4}}} = \frac{1}{c}\left( {\ln a - \ln b + \ln c} \right)\), với \(a,b,c\) là các số nguyên tố.
Giá trị của \(P = 2a - b + c\) là
Cho \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Giá trị của \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\) bằng
