Cho x,y,z>0 và xy+yz+xz=3xyz. Tính giá trị nhỏ nhất của: A=x2zz2+x2+y2xx2+y2+z2yy2+z2

Phương pháp: - Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho xyz. - Đặt a=1x,b=1y,c=1z đưa về tìm GTNN theo a,b,c. - Sử dụng bất đẳng thức a2+b2≥2ab. Cách giải: Ta có: xy+yz+zx=3xyz Chia cả hai vế cho xyz≠0 ta được:1x+1y+1z=3. Đặt a=1x,b=1y,c=1za,b,c>0 thì a+b+c=3. Khi đó x2zz2+x2=1a21c.1c2+1a2=c3a2+c2=c3+ca2−ca2c2+a2=c−ca2c2+a2 y2xx2+y2=1b21a1a2+1b2=a3a2+b2=a3+ab2−ab2a2+b2=a−ab2a2+b2z2yy2+z2=1c21b1b2+1c2=b3b2+c2=b3+bc2−bc2b2+c2=b−bc2b2+c2⇒A=c−ca2c2+a2+a−ab2a2+b2+b−bc2b2+c2=a+b+c−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2=3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2 Mà c2+a2≥2ca⇒ca2c2+a2≤ca22ca=a2 Tương tự ab2a2+b2≤b2 và bc2b2+c2≤c2 ⇒ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≤a2+b2+c2=32⇒3−ca2c2+a2+ab2a2+b2+bc2b2+c2≥3−32=32. Vậy A≥32 nên minA=32. Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1.

Câu hỏi:

20/07/2024 54

Cho $x, y, z > 0$ và $x y + y z + x z = 3 x y z .$ Tính giá trị nhỏ nhất của: $A = \frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} + \frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} + \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})}$

Xem lời giải

Bắt Đầu Thi Thử

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Chia cả hai vế của đẳng thức đã cho cho $x y z .$

- Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z}$ đưa về tìm GTNN theo $a, b, c .$

- Sử dụng bất đẳng thức $a^{2} + b^{2} \geq 2 a b .$

Cách giải:

Ta có: $x y + y z + z x = 3 x y z$

Chia cả hai vế cho $x y z \neq 0$ ta được: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 3.$

Đặt $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z} (a, b, c > 0)$ thì $a + b + c = 3.$

Khi đó $\frac{x^{2}}{z (z^{2} + x^{2})} = \frac{{(\frac{1}{a})}^{2}}{\frac{1}{c} . (\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{a^{2}})} = \frac{c^{3}}{a^{2} + c^{2}} = \frac{c^{3} + c a^{2} - c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}}$

$\frac{y^{2}}{x (x^{2} + y^{2})} = \frac{{(\frac{1}{b})}^{2}}{\frac{1}{a} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}})} = \frac{a^{3}}{a^{2} + b^{2}} = \frac{a^{3} + a b^{2} - a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} = a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \frac{z^{2}}{y (y^{2} + z^{2})} = \frac{{(\frac{1}{c})}^{2}}{\frac{1}{b} (\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})} = \frac{b^{3}}{b^{2} + c^{2}} = \frac{b^{3} + b c^{2} - b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \Rightarrow A = c - \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + a - \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + b - \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} = (a + b + c) - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) = 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}})$

Mà $c^{2} + a^{2} \geq 2 c a \Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} \leq \frac{c a^{2}}{2 c a} = \frac{a}{2}$

Tương tự $\frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} \leq \frac{b}{2}$ và $\frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{c}{2}$

$\Rightarrow \frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}} \leq \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow 3 - (\frac{c a^{2}}{c^{2} + a^{2}} + \frac{a b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + \frac{b c^{2}}{b^{2} + c^{2}}) \geq 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} .$

Vậy $A \geq \frac{3}{2}$ nên $\min A = \frac{3}{2} .$

Dấu “=” xảy ra khi $a = b = c = 1.$

Câu trả lời này có hữu ích không?

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=A.B

Xem đáp án » 25/06/2023 177

Câu 2:

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$
Lấy M trên cung nhỏ AC của (O) vẽ tiếp tuyến tại M cắt AB, BC lần lượt tại E,F. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BFE. Chứng minh rằng: $Δ M A C ~ Δ I F E .$

Xem đáp án » 25/06/2023 65

Câu 3:

Một con thuyền ở địa điểm D di chuyển từ bờ sông a sang bờ sông b, với vận tốc trung bình là 2km/h, vượt qua khúc sông nước chảy mạnh trong 20 phút. Biết đường đi con thuyền là DE, tạo với bờ sông 1 góc bằng $60 °$ .Tính chiều rộng khúc sông

Xem đáp án » 25/06/2023 60

Câu 4:

Giải các phương trình sau: $\sqrt{x - 1} + \sqrt{9 x - 9} + \sqrt{4 x - 4} = 12$

Xem đáp án » 25/06/2023 55

Câu 5:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Chứng minh: $B = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} .$

Xem đáp án » 25/06/2023 53

Câu 6:

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Vẽ đường kính AD của (O) kẻ CK vuông góc với AD

Chứng minh rằng: CD//OB và $B C . D C = C K . O B .$

Xem đáp án » 25/06/2023 53

Câu 7:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Vẽ đường thẳng $(d_{1})$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Xem đáp án » 25/06/2023 51

Câu 8:

Lấy điểm A trên $(O; R),$ vẽ tiếp tuyến $A x .$ Trên $A x,$ lấy điểm B, trên $(O; R)$ lấy điểm C sao cho $B C = A B .$

Chứng minh rằng: CB là tiếp tuyến của (O)

Xem đáp án » 25/06/2023 51

Câu 9:

Tính: $\frac{5}{\sqrt{5} - 1} - \frac{5}{\sqrt{5} + 1}$

Xem đáp án » 25/06/2023 50

Câu 10:

Giải các phương trình sau: $\sqrt{x^{2} - 5 x} - \sqrt{x - 5} = 0$

Xem đáp án » 25/06/2023 49

Câu 11:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Tìm tọa độ giao điểm của $(d_{1})$ và $(d_{2}) : y = x - 3.$

Xem đáp án » 25/06/2023 49

Câu 12:

Cho đường thẳng $(d_{1}) : y = 2 x + 2.$

Cho đường thẳng $(d_{3}) : y = m x + 5.$ Tìm giá trị của m để ba đường thẳng $(d_{1}), (d_{2}), (d_{3})$ cắt nhau tại một điểm.

Xem đáp án » 25/06/2023 47

Câu 13:

Tính: $\sqrt{{(\sqrt{5} - 3)}^{2}} - \sqrt{\frac{1}{5}} = |\sqrt{5} - 3| - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Xem đáp án » 25/06/2023 46

Câu 14:

Cho hai biểu thức: $A = \frac{x + 7}{3 \sqrt{x}}$ và $B = \frac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{7 \sqrt{x} + x}{9 - x}$ với $x > 0; x \neq 9$

Tính A khi x=25

Xem đáp án » 25/06/2023 43

Xem thêm các câu hỏi khác »

Đề thi liên quan

Xem thêm »

Trắc nghiệm Toán 9 (Có đáp án): Căn thức bậc hai

2 đề 20528 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra giữa học kì 2 môn Toán 9 có đáp án (Mới nhất)

41 đề 14478 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Đại Số (có đáp án)

7 đề 12827 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 có đáp án năm 2022-2023

31 đề 9573 lượt thi Thi thử
Đề thi Giữa học kỳ 2 Toán 9

33 đề 9175 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 15 phút Toán 9 Chương 1 Hình học có đáp án

7 đề 9059 lượt thi Thi thử
Trắc nghiệm Toán 9 Bài 1 (có đáp án): Căn bậc hai

2 đề 5265 lượt thi Thi thử
Đề thi Học kì 2 Toán 9 chọn lọc, có đáp án

17 đề 5099 lượt thi Thi thử
Bộ 30 đề thi vào 10 môn Toán có lời giải chi tiết

29 đề 5070 lượt thi Thi thử
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 9 Chương 1 Đại Số có đáp án

4 đề 4801 lượt thi Thi thử

Xem thêm »

Hỏi bài

Câu hỏi mới nhất

Xem thêm »