Cho hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi \[\Delta \] là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \[M\] (có hoành độ dương) sao cho\[\Delta \] cùng với hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) tạo thành tam giác có có chu vi nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi \[M\] là tiếp điểm, ta có:\[M\left( {{x_0};\frac{{{x_0} - 1}}{{{x_0} + 1}}} \right)\].

Ta có:\[y' = \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \Rightarrow k = y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{2}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là

\[\Delta :y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0} = \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 - 1}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]

Hai đường tiệm cận là \({d_1}:y = 1\) và \({d_2}:x = - 1\). Giao điểm của hai đường tiệm với tiếp tuyến là \[A\left( { - 1;\frac{{x_0^2 - 2{x_0} - 3}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}} \right)\] và \[B\left( {2{x_0} + 1;1} \right)\]. Giao điểm hai đường tiệm cận là \(I\left( { - 1;1} \right)\).

Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}IA = \frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\\IB = 2\left| {{x_0} + 1} \right|\\AB = 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\end{array} \right.\].

Chu vi là: \[IA + IB + AB = \frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} + 1} \right| + 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\]

Theo BĐT Cauchy ta có

\[\begin{array}{l}\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} + 2\left| {{x_0} + 1} \right| + 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}\\ \ge 4\left( {\sqrt[4]{{\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}}\left( {2\left| {{x_0} + 1} \right|} \right)\left( {4{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}} \right)\frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}}}} \right) = 16\left( {\sqrt[4]{2}} \right)\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

\[\frac{4}{{\left| {{x_0} + 1} \right|}} = 2\left| {{x_0} + 1} \right| = 4{\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 1} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow {x_0} = - 1 \pm \sqrt 2 \]

+ Với \[{x_0} = - 1 - \sqrt 2 \Rightarrow {y_0} = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow {\Delta _1}:y = x + 2\sqrt 2 + 2\]

+ Với \[{x_0} = - 1 + \sqrt 2 \Rightarrow {y_0} = 1 - \sqrt 2 \Rightarrow {\Delta _2}:y = x - 2\sqrt 2 + 2\].