Giải bởi Vietjack
Lời giải
Chọn C
Gọi \[I\] là trung điểm \[BC\]. Suy ra \[I\] là trung điểm \[MN\]. Đặt \[MN = x\], \[\left( {0 < x < 90} \right)\].
Ta có: \(\frac{{MQ}}{{AI}} = \frac{{BM}}{{BI}}\)\( \Leftrightarrow MQ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {90 - x} \right)\); gọi \(R\) là bán kính của trụ \( \Rightarrow R = \frac{x}{{2\pi }}\).
Thể tích của khối trụ là: \({V_T} = \pi {\left( {\frac{x}{{2\pi }}} \right)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {90 - x} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{8\pi }}\left( { - {x^3} + 90{x^2}} \right)\)
Xét \(f\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{8\pi }}\left( { - {x^3} + 90{x^2}} \right)\) với \(0 < x < 90\), \(f'\left( x \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{{8\pi }}\left( { - 3{x^2} + 180x} \right)\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 60}\end{array}} \right.\).
Khi đó suy ra \[\mathop {\max }\limits_{x \in (0;90)} f\left( x \right) = f\left( {60} \right) = \frac{{13500.\sqrt 3 }}{\pi }\].
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình vẽ.
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({f^2}\left( {{\rm{cos}}x} \right) + \left( {3 - m} \right)f\left( {{\rm{cos}}x} \right) + 2m - 10 = 0\) có đúng 4 nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{3};\pi } \right]\) là
