Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3.
Giải bởi Vietjack
Ta có:
\(\begin{array}{l}2{x^2} + 3x + 2 = 2\left( {{x^2} + \frac{3}{2}x + 1} \right) = 2\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + \frac{9}{{16}} + \frac{7}{{16}}} \right)\\ = 2\left[ {{{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)}^2} + \frac{7}{{16}}} \right] = 2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8}\end{array}\)
Vì \(2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} \ge 0;\forall x\)
Nên \(2{\left( {x + \frac{3}{4}} \right)^2} + \frac{7}{8} > 0;\forall x\)
Mà x3 + 2x2 + 3x + 2 = y3
Suy ra x3 < y3
Giả sử y3 < (x + 2)3
⇔ x3 + 2x2 + 3x + 2 < x3 + 6x2 + 12x + 8
⇔ – 4x2 – 9x – 6 < 0
⇔ 4x2 + 9x + 6 > 0
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} + 9x + 6 > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + \frac{9}{4}x + \frac{{81}}{{64}}} \right) + \frac{{15}}{{16}} > 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} + 2 \cdot x \cdot \frac{9}{8} + \frac{{81}}{{64}}} \right) + \frac{{15}}{{16}} > 0\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + \frac{9}{8}} \right)^2} + \frac{{15}}{{16}} > 0{\rm{ }}\end{array}\) (luôn đúng)
Do đó y3 < (x + 2)3
Mà x3 < y3
Nên x3 < y3 < (x + 2)3
Lại có y3 là lập phương của một số nguyên, giữa x3 và (x + 2)3 chỉ có 1 số lập phương duy nhất là (x + 1)3
Do đó y 3 = (x + 1)3
⇔ x3 + 2x2 + 3x + 2 = x3 + 3x2 + 3x + 1
⇔ x2 – 1 = 0
⇔ (x – 1)(x + 1) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{y^3} = 1 + 2 + 3 + 2 = 8\\{y^3} = - 1 + 2 - 3 + 2 = 0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = 0\end{array} \right.\)
Vậy (x; y) = (1; 2) hoặc (x; y) = (–1; 0).
Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số y = 3f(x + 2) – x3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; \(\widehat D = 50^\circ \). Tính diện tích ABCD.
Cho a là số thực dương, a ≠ 1 và \(P = {\log _{\sqrt[3]{a}}}{a^3}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x2 – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?
Cho x, y là các số thực dương và m, n là hai số thực tùy ý. Đẳng thức nào sau đây là sai?
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + x2 + mx + 1 đồng biến trên khoảng (–∞; +∞)
Với a, b, c là các số dương, chứng minh rằng
\(\left( {a + b + c} \right)\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) \ge 9\).
Chứng minh bất đẳng thức sinx < x với mọi x > 0 và sinx > x với mọi x < 0.
Chứng minh \(\frac{1}{{1 + {a^3}}} + \frac{1}{{1 + {b^3}}} + \frac{1}{{1 + {c^3}}} \ge \frac{3}{{1 + abc}}\) với a, b, c ≥ 1.
